Determinazione di parametri tali per cui la funzione ecc...

[Zero87]

Salve ragazzi, mi sono imbattuto in questo esercizio di scuola superiore nei confronti del quale non ho saputo dare una risposta. In esso non bisogna utilizzare limiti/derivate e cose simili.
O, meglio, la risposta l'ho data, ma credo sia errata dal momento che la soluzione è $a=-2$. Ma andiamo con ordine.

Abbiamo la funzione
$f(x)={ ( 2^x-1 \qquad \qquad \qquad x \le 0 ),( \frac{ax+b}{x} \qquad \qquad x>0):}$

Determinare i valori dei parametri $a$ e $b$ tali per cui essa passi per $(2,0)$ e tale che il suo estremo superiore sia $2$.

Ora, il primo quesito è semplice, sostituisco e ottengo $b=-2a$.

Per il secondo, considero solo la seconda scrittura dal momento che $2^x-1\le 0$ sempre per $x\le 0$. Cosa faccio allora?
Pongo
$\frac{ax-2a}{x}\le 2$
cioè penso che la funzione deve sempre assumere valore minore o uguale a $2$ per definizione di estremo superiore.

Riordinando un po' e pensando al fatto che per $x>0$ il denominatore è sempre positivo (dunque lo tolgo proprio di mezzo), ottengo
$ax-2a-2x \le 0$
ovvero
$2a-ax+2x \ge 0$
la risolvo in $a$ e ottengo
$a \ge \frac{2x}{2-x}$.

Disegno le iperboli che corrispondono all'$=$ e ottengo che la zona dove vale quella condizione è quella centrale. In essa è compreso tutto l'asse $x$ (per le $x$ positive, ricordo che sono ristretto lì) dunque concludo che vale per qualsiasi $a$.

[size=80]La soluzione è sbagliata ma non ho idea di quale sia quella giusta, a mia scusante posso dire che sono 7 anni che non ho a che fare con un esercizio del genere. [/size]

[minomic]

Ciao! Secondo me c'è un problema quando risolvi \[2a - ax + 2x \ge 0\] Infatti \[\left(2-x\right)a \ge -2x\] e adesso non conosciamo il segno di $(2-x)$, quindi credo che sia da spezzare in due casi: $02$. Non sono sicuro, comunque la butto lì!

PS. Io ad occhio avrei detto (evidentemente sbagliando) $a=2$ perchè avrei inteso l'estremo superiore come l'altezza dell'asintoto dell'iperbole omografica ($y = a/c$).

[Zero87]

"minomic":Ciao! Secondo me c'è un problema quando risolvi \[2a - ax + 2x \ge 0\] Infatti \[\left(2-x\right)a \ge -2x\] e adesso non conosciamo il segno di $(2-x)$, quindi credo che sia da spezzare in due casi: $02$. Non sono sicuro, comunque la butto lì!

Grazie per la segnalazione.

Se la correggo nel mio metodo, ottengo
$a \ge -\frac{2x}{2-x}$ che, essendo opposta a quella che ho trovato, mi dà... nessuna soluzione.

[minomic]

Confesso che però ho ancora qualche dubbio. Se prendiamo $a = -2$ come dice la soluzione la curva è \[y = \frac{-2x+4}{x}\] e secondo me il suo estremo superiore non è $2$. Se invece prendiamo $a = 2$ la curva che si ottiene è \[y = \frac{2x-4}{x}\] e questa tende a $2$ per $x -> oo$. Quindi io avrei detto $a=2$ in base al ragionamento del post di prima. Però non so...

[Zero87]

"minomic":Io ad occhio avrei detto (evidentemente sbagliando) $a=2$ perchè avrei inteso l'estremo superiore come l'altezza dell'asintoto dell'iperbole omografica ($y = a/c$).

Sai che adesso che ci penso, mi sa che invece hai ragione?
Anche perché ricordo che quando si facevano iperboli e robe simili e per fare il grafico c'erano queste rette prestabilite che poi con i limiti si capisce anche il loro significato.

In fondo quella roba là, al variare di $a$ è tutta una iperbole e l'estremo superiore è anche l'asintoto se è crescente e tende a un valore finito...
Però in questo caso mi sembra solo un po' difficile perché potrebbe capitare per $x>0$ da qualche parte l'asintoto verticale e lì vuol dire che l'estremo superiore non c'è. In questo momento ho più dubbi che certezze riguardo l'esercizio, magari ci ripenso su con calma.

[alessandra.dicarlo]

Il mistero è risolto!!!!
L'iperbole in questione ha per asintoto orizzontale y=a/c (dove c=1) quindi y=a, allora a deve essere per forza uguale al valore dell'estremo superiore assegnato!!!! a=2

Grazieeeeeeeeeeeeee

[giammaria2]

Concordo nel dire che la soluzione è $a=2$ ed il mio ragionamento è praticamente identico all'ultimo di Zero87.
Poiché $b=-2a$, ci interessa la curva
$y=(ax-2a)/x$
nella sola parte $x>0$. Il suo grafico è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani e l'estremo superiore si ha in corrispondenza all'asintoto orizzontale, che è $y=a$. Se l'estremo superiore è $2$, deve essere $a=2$.

[Zero87]

"giammaria":Poiché $b=-2a$, ci interessa la curva
$y=(ax-2a)/x$
nella sola parte $x>0$.

Ma tu guarda, sapevo che era semplice anche perché quella $x$ isolata al denominatore - che vedevo ininfluente nello studio del segno nel primo metodo (scrauso) che ho usato - garantisce che assume un asintoto per $x=0$ e non in mezzo alla regione $x>0$ che stiamo considerando.

Ho perso un occasione per evitare una figuraccia...

EDIT
Solo un piccolo appunto dato che in questi giorni c'è stata gente che ha spammato qua... non si sa mai, voglio evitare un ban!

"alessandra.dicarlo":Il mistero è risolto!!!![...]

Non ho due nick (queste cose le lascio fare ad altri), è solo che alessandra.dicarlo è l'unica forumista che conosco al di là del forum e stamattina stavamo parlando di questo esercizio... poi ho postato io perché dopo un ora che stavo a scrivere non sapevo dove sbattere la testa!

Un grazie a giammaria e minomic che m'hanno/c'hanno aiutato.