Derivate (64732)

[feli1993]

Salve, potreste aiutarmi nel risolvere questi esercizi sulle derivate, e spiegarmele.

1 esericizio: Calcola la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto c.
f(x)=1\2radice di x risultato: 1\4radice di c
f(x)=2xallaterza-x risultato:6c(alla seconda) - 1
f(x)= 1\xalquadrato -1 risultato: - 2c\(c(al quadrato) - 1)al quadrato
f(x)= -xalquadrato + 4x risultato: -2c+4

2 esercizio:determina l'equazione della retta tangente al grafico della seguente funzione, nel punto di ascissa.
y= xallaseconda - 2x c=-2 risultato: y=-6x-4
y= 2radice di x c=4 risultato: y=1\2x+2

Grazie in anticipo.

[BIT5]

Mi occorre sapere se le derivate le calcolate con le regole o con la definizione di rapporto incrementale..

[enrico___1]

[math]f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}[/math]

Sapendo che

[math]f(x)=\sqrt{x}[/math]

e che

[math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]

Infatti

[math]f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}[/math]

la derivata è

[math]f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]

[math]f'(x)=\frac{1}{4\sqrt{x}}[/math]

Con il rapporto incrementale

[math]
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}
[/math]

Per trovare la derivata dobbiamo calcolare

[math]\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}[/math]

cioè

[math]\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]

Il calcolo però era di

[math]\frac{1}{2}\sqrt{x}[/math]

e non di

[math]\sqrt{x}[/math]

, come ho fatto io. Però moltiplicando il risultato ottenuto per

[math]\frac{1}{2}[/math]

ottieni quanto cercato:

[math]\frac{1}{4\sqrt{x}}[/math]