Derivate!!!!!!!!!
C'è qualcuno che mi sa spiegare come va svolta la derivata di una funzione composta? Nell'esercizio che avevo già scritto 1 fratto x+sqrt X^2 + 1 devo applicare la regola ma ho dei dubbi. Prima devo risolvere la radice ma poi non so come continuare perchè c'è sia la derivata della funzione reciproca che quella composta. Come si fa? Vi prego aiutatemi!!
Risposte
Allora...
la derivata è (-1/(x+sqrt(x^2 +1))^2)*(1 + (1/2)*(2x)*1/sqrt(x^2 +1))
Allora... Prima di tutto fai la derivata di f(x)^(-1), cioè
-1*(f(x)^-2)*f'(x).
f'(x) sarebbe la derivata di (x+sqrt(x^2+1)), che sai essere 1 + g'(x), dove g(x)=sqrt(x^2+1). Beh riapplichi lo stesso metodo dell'inizio e ti viene (1/2)*(g(x)^(-1/2))*g'(x)
Paola
la derivata è (-1/(x+sqrt(x^2 +1))^2)*(1 + (1/2)*(2x)*1/sqrt(x^2 +1))
Allora... Prima di tutto fai la derivata di f(x)^(-1), cioè
-1*(f(x)^-2)*f'(x).
f'(x) sarebbe la derivata di (x+sqrt(x^2+1)), che sai essere 1 + g'(x), dove g(x)=sqrt(x^2+1). Beh riapplichi lo stesso metodo dell'inizio e ti viene (1/2)*(g(x)^(-1/2))*g'(x)
Paola
quando una funzione è composta, no devi fare altro che moltiplicare le derivate delle funzioni componenti. ti faccio alcuni esempi:
sen(x^2): le funzioni sono t=x^2 e sen(t). allora la derivata è 2x*cos(t) e quindi 2x*cos(x^2)
f(x) = sqrt(cos(x^3)): t=x^3 t'=3x
z=cos(t) z'= -sen(x^3
w=sqrt(z) w'= 1/(sqrt(cos(x^3)
f'(x)= (-sen(x^3))*3x*(1/(sqrt(cos(x^3))
per l'esercizio che hai chiesto tu, è un quoziente
al numeratore c'è uno e al denominatore c'è una f composta. segui la normale legge della derivat di un quoziente, e quando devi mettere la derivata del denominatore, basta che applichi la regola che ti ho spiegato prima.
sen(x^2): le funzioni sono t=x^2 e sen(t). allora la derivata è 2x*cos(t) e quindi 2x*cos(x^2)
f(x) = sqrt(cos(x^3)): t=x^3 t'=3x
z=cos(t) z'= -sen(x^3
w=sqrt(z) w'= 1/(sqrt(cos(x^3)
f'(x)= (-sen(x^3))*3x*(1/(sqrt(cos(x^3))
per l'esercizio che hai chiesto tu, è un quoziente
al numeratore c'è uno e al denominatore c'è una f composta. segui la normale legge della derivat di un quoziente, e quando devi mettere la derivata del denominatore, basta che applichi la regola che ti ho spiegato prima.
Grazie per avermi risposto! Lo so che chiedo molto ma siccome sono stata assente a scuola quando la prof. ha spiegato mi serve un esempio.. Io ho fatto come hai detto ma non mi viene il risultato del libro. Non è che potresti farmi vedere lo svolgimento dell'esercizio? Il risultato è 1 -x/sqrt x^2-1 Grazie mille!!
ok, allora la nostra f(x) è 1/(x+sqrt(X^2 + 1)). se no la guardiamo nel suo complesso, questo è un quoziente dove al numeratore c'è 1 e al denominatore c'è (x+sqrt(X^2 + 1). come saprai, la regola per la derivata di un quoziente è [(D*N')-(N*D')] / D^2. benissimo, ora basta sostituire in questa forumla tutte le cose. D lo abbiamo N lo abbiamo, N' lo abbiamo (la derivata di 1 è 0). ci manca solo di calcolare D'.
D=x + sqrt(X^2 + 1)
osserviamo questo denominatore. notiamo che è la somma di 2 funzioni. il primo addendo è x, il secondo addendo è sqrt(X^2 + 1). come saprai, la derivata di una somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate. quindi la derivata D' sarà uguale alla derivata di x che è 1 + la derivata di sqrt(X^2 + 1). svolgiamo allora la derivata di questa funzione, che come vedi è una funzione composta. (non so se hai notato, ma il fatto delle funzioni composte entra in gioco solo ora)
sqrt(X^2 + 1)-----> la funzione più "interna" è (x^2+1)e noi diciamo che (x^2+1)=t. La funzione diventa quindi sqrt(t). la regola delle funzioni composte ice che la der di una f composta è il prodotto delle derivate di tutte le funzioni componenti, in questo caso 2 che sono (x^2+1) e sqrt(t). la derivata di (x^2+1) è (2x). la derivata di sqrt(t) è uguale 1/2(sqrt(t) = 1/2(sqrt(x^2+1). la derivata di sqrt(X^2 + 1) sarà quindi [1/2(sqrt(x^2+1)]*(2x) = (2x)/2(sqrt(x^2+1) = x/(sqrt(x^2+1).
possiamo scrivere allora la derivata D' che cercavamo prima come somma di 1+[x/(sqrt(x^2+1)]
riassumiamo:
N= 1
N'= 0
D=(x+sqrt(X^2 + 1)
D'= 1+[x/(sqrt(x^2+1)]
mettiamo questi dati nella forumula della derivata quoziente [(D*N')-(N*D')] / D^2. siccome N' è 0, (D*N')=0. quindi la formula si riduce a -(N*D')/ D^2. poi siccome N=1 allora -(N*D') diventa -D'. la forumla si riduce ulteriormente a -(D')/D (fare queste utili considerazioni ci è servito perchè così mi risparmio di scrivere un po' di conti). sostiutendo nella forumla otteniamo
-{1+[x/(sqrt(x^2+1)]}/[x+sqrt(X^2 + 1)]^2 poi risolvi tu
spero di aver fatto i conti giusti xk sono le 2 e no ho testa di rifarli ciaoooo
D=x + sqrt(X^2 + 1)
osserviamo questo denominatore. notiamo che è la somma di 2 funzioni. il primo addendo è x, il secondo addendo è sqrt(X^2 + 1). come saprai, la derivata di una somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate. quindi la derivata D' sarà uguale alla derivata di x che è 1 + la derivata di sqrt(X^2 + 1). svolgiamo allora la derivata di questa funzione, che come vedi è una funzione composta. (non so se hai notato, ma il fatto delle funzioni composte entra in gioco solo ora)
sqrt(X^2 + 1)-----> la funzione più "interna" è (x^2+1)e noi diciamo che (x^2+1)=t. La funzione diventa quindi sqrt(t). la regola delle funzioni composte ice che la der di una f composta è il prodotto delle derivate di tutte le funzioni componenti, in questo caso 2 che sono (x^2+1) e sqrt(t). la derivata di (x^2+1) è (2x). la derivata di sqrt(t) è uguale 1/2(sqrt(t) = 1/2(sqrt(x^2+1). la derivata di sqrt(X^2 + 1) sarà quindi [1/2(sqrt(x^2+1)]*(2x) = (2x)/2(sqrt(x^2+1) = x/(sqrt(x^2+1).
possiamo scrivere allora la derivata D' che cercavamo prima come somma di 1+[x/(sqrt(x^2+1)]
riassumiamo:
N= 1
N'= 0
D=(x+sqrt(X^2 + 1)
D'= 1+[x/(sqrt(x^2+1)]
mettiamo questi dati nella forumula della derivata quoziente [(D*N')-(N*D')] / D^2. siccome N' è 0, (D*N')=0. quindi la formula si riduce a -(N*D')/ D^2. poi siccome N=1 allora -(N*D') diventa -D'. la forumla si riduce ulteriormente a -(D')/D (fare queste utili considerazioni ci è servito perchè così mi risparmio di scrivere un po' di conti). sostiutendo nella forumla otteniamo
-{1+[x/(sqrt(x^2+1)]}/[x+sqrt(X^2 + 1)]^2 poi risolvi tu
spero di aver fatto i conti giusti xk sono le 2 e no ho testa di rifarli
ciaoooo
Grazie mille per aver fatto l'esercizio ora ho capito cosa sbagliavo. Grazie ancora!!!
prego, quando vuoi......
(cmq io ho usato un metodo diverso da prime.number)
Hai svolto l'ultimo passaggio per vedere se viene come il libro?
(cmq io ho usato un metodo diverso da prime.number)
Hai svolto l'ultimo passaggio per vedere se viene come il libro?
Si viene. Cmq non ho tanto capito come abbia svolto l'esercizio prime number. Bè grazie se ho bisogno chiedo a te allora!!
nono anche il metodo di primenumber è corretto, anzi il suo è più elegante del mio.
Scusate io avevo fatto tutto in maniera sommaria... [:P]
Cercherò di essere più chiara la prossima volta! Ciao!
Paola
Cercherò di essere più chiara la prossima volta! Ciao!
Paola
Ma non ti preoccupare! Anzi grazie di avermi risposto!
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