Derivate
Ho questo problema da svolgere e non so come e cosa fare. Qualcuno potrebbe darmi una mano? grazie
Sia la funzione f definita per tutti gli x reali da
$f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2+(x-4)^2+(x-5)^2$ determinare il minimo f.
Sia la funzione f definita per tutti gli x reali da
$f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2+(x-4)^2+(x-5)^2$ determinare il minimo f.
Risposte
Come si usano le derivate per trovare i punti di min/max di una funzione? Sul tuo libro c'è scritto di sicuro ...
Ciao antony !
Come saprai, per trovare i punti stazionari di una funzione (tra cui i minimi), bisogna studiare il segno della derivata prima, cioè calcolare la derivata prima della funzione e studiare la disequazione ponendo, ad esempio, $>= 0$.
Procediamo con ordine. Calcoliamo la derivata prima della tua funzione ottenendo, con le usuali regole di derivazione:
$f'(x)=2(x-1)+2(x-2)+2(x-3)+2(x-4)+2(x-5)$ che, raccogliendo, diventa: $f'(x)=2(x-1+x-2+x-3+x-4+x-5)=2(5x-15)$. Ora studiamo il segno della derivata prima trattandola come una disequazione: $f'(x)=2(5x-15)>=0$ ottenendo $x>=3$, il che vuol dire che la nostra funzione sarà decrescente per $x<3$, si annulla in $x=3$ e diventa crescente per $x>3$. Dunque ha nel punto di ascissa $x=3$ il suo minimo. Sostituendo l'ascissa trovata nella funzione data si trova la y corrispondente: $f(3)=(3-1)^2+(3-2)^2+(3-3)^2+(3-4)^2+(3-5)^2=10$ e dunque abbiamo trovato il punto di minimo della funzione $P(3;10)$.
Spero di esserti stato utile e di aver compreso la tuo richiesta
Ad ogni modo, come consiglia axpgn, ti invito a chiarire quanto prima questo argomento anche col tuo professore, in quanto è uno degli argomenti portanti del programma del quinto anno di matematica in uno scientifico. Resto a disposizione per ulteriori chiarimenti.
Saluti
Come saprai, per trovare i punti stazionari di una funzione (tra cui i minimi), bisogna studiare il segno della derivata prima, cioè calcolare la derivata prima della funzione e studiare la disequazione ponendo, ad esempio, $>= 0$.
Procediamo con ordine. Calcoliamo la derivata prima della tua funzione ottenendo, con le usuali regole di derivazione:
$f'(x)=2(x-1)+2(x-2)+2(x-3)+2(x-4)+2(x-5)$ che, raccogliendo, diventa: $f'(x)=2(x-1+x-2+x-3+x-4+x-5)=2(5x-15)$. Ora studiamo il segno della derivata prima trattandola come una disequazione: $f'(x)=2(5x-15)>=0$ ottenendo $x>=3$, il che vuol dire che la nostra funzione sarà decrescente per $x<3$, si annulla in $x=3$ e diventa crescente per $x>3$. Dunque ha nel punto di ascissa $x=3$ il suo minimo. Sostituendo l'ascissa trovata nella funzione data si trova la y corrispondente: $f(3)=(3-1)^2+(3-2)^2+(3-3)^2+(3-4)^2+(3-5)^2=10$ e dunque abbiamo trovato il punto di minimo della funzione $P(3;10)$.
Spero di esserti stato utile e di aver compreso la tuo richiesta
Ad ogni modo, come consiglia axpgn, ti invito a chiarire quanto prima questo argomento anche col tuo professore, in quanto è uno degli argomenti portanti del programma del quinto anno di matematica in uno scientifico. Resto a disposizione per ulteriori chiarimenti.
Saluti
"BayMax":
Ciao antony !
Come saprai, per trovare i punti stazionari di una funzione (tra cui i minimi), bisogna studiare il segno della derivata prima, cioè calcolare la derivata prima della funzione e studiare la disequazione ponendo, ad esempio, $>= 0$.
Procediamo con ordine. Calcoliamo la derivata prima della tua funzione ottenendo, con le usuali regole di derivazione:
$f'(x)=2(x-1)+2(x-2)+2(x-3)+2(x-4)+2(x-5)$ che, raccogliendo, diventa: $f'(x)=2(x-1+x-2+x-3+x-4+x-5)=2(5x-15)$. Ora studiamo il segno della derivata prima trattandola come una disequazione: $f'(x)=2(5x-15)>=0$ ottenendo $x>=3$, il che vuol dire che la nostra funzione sarà decrescente per $x<3$, si annulla in $x=3$ e diventa crescente per $x>3$. Dunque ha nel punto di ascissa $x=3$ il suo minimo. Sostituendo l'ascissa trovata nella funzione data si trova la y corrispondente: $f(3)=(3-1)^2+(3-2)^2+(3-3)^2+(3-4)^2+(3-5)^2=10$ e dunque abbiamo trovato il punto di minimo della funzione $P(3;10)$.
Spero di esserti stato utile e di aver compreso la tuo richiesta
Ad ogni modo, come consiglia axpgn, ti invito a chiarire quanto prima questo argomento anche col tuo professore, in quanto è uno degli argomenti portanti del programma del quinto anno di matematica in uno scientifico. Resto a disposizione per ulteriori chiarimenti.
Saluti
tu non sei umano. Sei stato velocissimo oltre che gentilissimo. Prova a controllare nel tuo albero genealogico secondo me troverai qualche medaglia Fields.. grazie ancora max
Figurati antony, non c'è di che !! Ti ringrazio dei complimenti, anche se, fidati di me, assolutamente e decisamente immeritati 
. Qui, su questo fantastico forum, ho trovato persone davvero in gamba che sono non un gradino, ma una scala (e di quelle belle alte 
) oltre il mio elementare livello (e lo dico con cognizione di causa, non con falsa modestia) e, per quanto mi riguarda, irraggiungibili dal punto di vista matematico, pertanto rigiro a tutti loro i tuoi complimenti. Saluti
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