Derivata seconda di una funzione.
Salve a tutti. Dovendo calcolare i punti di flesso della funzione (1+3x^2)^(1/3) (ovvero: radice di indice 3 di 1 più x al quadrato)
mi sono calcolato la derivata seconda:
(1-8x^2 ) / (1+3x^2)^(2/3)
l'ho posta maggiore di 0 e ho calcolato i punti di flesso che hanno come ascissa +- 2^(1/2)/4.
Il "problema" è che andando a controllare i risultati sul libro, noto che i punti di flesso hanno come ascissa +-2^(1/3).
Ho sbagliato forse a calcolare la derivata seconda?
Sbaglio forse nel calcolare la derivata di (1+3x^2)^2/3 che mi risulta uguale a [2*2*(1+3x^2)*6x]/ 3*(1+3x^2)^1/3 ? Probabilmente non devo moltiplicare il tutto per la derivata dell'argomento (1+3x^2)^2------>2(1+3x^2)*6x ?
E' da questa mattina che provo e riprovo a calcolare la derivata seconda, aiutatemi!
Mi scuso per la forma nella quale sono poste le funzioni, ma non ho saputo fare altrimenti. Grazie.
mi sono calcolato la derivata seconda:
(1-8x^2 ) / (1+3x^2)^(2/3)
l'ho posta maggiore di 0 e ho calcolato i punti di flesso che hanno come ascissa +- 2^(1/2)/4.
Il "problema" è che andando a controllare i risultati sul libro, noto che i punti di flesso hanno come ascissa +-2^(1/3).
Ho sbagliato forse a calcolare la derivata seconda?
Sbaglio forse nel calcolare la derivata di (1+3x^2)^2/3 che mi risulta uguale a [2*2*(1+3x^2)*6x]/ 3*(1+3x^2)^1/3 ? Probabilmente non devo moltiplicare il tutto per la derivata dell'argomento (1+3x^2)^2------>2(1+3x^2)*6x ?
E' da questa mattina che provo e riprovo a calcolare la derivata seconda, aiutatemi!
Mi scuso per la forma nella quale sono poste le funzioni, ma non ho saputo fare altrimenti. Grazie.
Risposte
Basta che metti i dollari tra inizio espressione e fine espressione per le formule 
A me cmq la derivata seconda viene $2(1 - x^2) / (3x^2 + 1)^(5/3)$
A me cmq la derivata seconda viene $2(1 - x^2) / (3x^2 + 1)^(5/3)$
Sono d'accordo con Gatto89, anche a me la derivata seconda viene così.
Poiché anche avendo calcolato la derivata seconda a "mente fresca", non mi trovo con i "vostri" risultati, deve esserci qualche errore di base; vi posto quindi tutti i passaggi:
$y=(1+3x^2)^(1/3)$ ------> $y'=2x/(1+3x^2)^(2/3)$
$y''=[2*(1+3x^2)^(2/3) -(2x*2)/3(1+3x^2)^(-1/3)*2(1+3x^2)*6x]*(1+3x^2)^(-4/3)$
-Svolgendo il minimo comune multiplo, effettuando qualche moltiplicazione elementare, mettendo in evidenza $(1+3x^2)$ e portando lo stesso membro fuori radice al denominatore, ho:
$y''=[(1+3x^2)(2-16x^2)]/(1+3x^2)*(1+3x)^(-2/3)$
-Semplificando, il risultato non <> cambia!
Dove sbaglio?
$y=(1+3x^2)^(1/3)$ ------> $y'=2x/(1+3x^2)^(2/3)$
$y''=[2*(1+3x^2)^(2/3) -(2x*2)/3(1+3x^2)^(-1/3)*2(1+3x^2)*6x]*(1+3x^2)^(-4/3)$
-Svolgendo il minimo comune multiplo, effettuando qualche moltiplicazione elementare, mettendo in evidenza $(1+3x^2)$ e portando lo stesso membro fuori radice al denominatore, ho:
$y''=[(1+3x^2)(2-16x^2)]/(1+3x^2)*(1+3x)^(-2/3)$
-Semplificando, il risultato non <
Dove sbaglio?
EDIT: ho sbaglaito a scrivere
dopo cercherò di esserti più utile
dopo cercherò di esserti più utile
$y=(1+3x^2)^(1/3)$ ------> $y'=2x/(1+3x^2)^(2/3)$
qui ok
$y''=[2*(1+3x^2)^(2/3) -(2x*2)/3(1+3x^2)^(-1/3)*2(1+3x^2)*6x]*(1+3x^2)^(-4/3)$
qui mi sembra ci sia un errore.
derivata seconda=
$(2((1+3x^2)^(2/3))-2x2/3(1+3x^2)^(-1/3)6x)/((1+3x^2)^(4/3))$
che in un paio di passaggi diventa appunto
$2((1-x^2)/((1+3x^2)^(5/3)))
qui ok
$y''=[2*(1+3x^2)^(2/3) -(2x*2)/3(1+3x^2)^(-1/3)*2(1+3x^2)*6x]*(1+3x^2)^(-4/3)$
qui mi sembra ci sia un errore.
derivata seconda=
$(2((1+3x^2)^(2/3))-2x2/3(1+3x^2)^(-1/3)6x)/((1+3x^2)^(4/3))$
che in un paio di passaggi diventa appunto
$2((1-x^2)/((1+3x^2)^(5/3)))
attenzione i passaggi sono questi:
$y=(1+3*x^2)^(1/3)$
$ y'= (1/3)*(1+3*x^2)^((1/3)-1)*6x = 2x*(1+3*x^2)^(-2/3) $
$y''= D(2x)*[(1+3*x^2)^(-2/3)]+2x*D[(1+3*x^2)^(-2/3)]=2*(1+3*x^2)^(-2/3)+2x*[(-2/3)*((1+3*x^2)^((-2/3)-1))*6x]$
$y''=2*(1+3*x^2)^(-2/3)-8(x^2)*(1+3*x^2)^(-5/3) $
Riscriviamo in questo modo
$y''=2*[1/[(1+3*x^2)^(2/3))-(4*x^2)/((1+3*x^2)^(5/3))] $
il mcm è $(1+3*x^2)^(5/3)$,quindi
$y''=2*[(1+3*x^2-4*x^2)/((1+3*x^2)^(5/3))] =2*[(1-x^2)/((1+3*x^2)^(5/3))] $
speriamo che sia chiaro
ciao
$y=(1+3*x^2)^(1/3)$
$ y'= (1/3)*(1+3*x^2)^((1/3)-1)*6x = 2x*(1+3*x^2)^(-2/3) $
$y''= D(2x)*[(1+3*x^2)^(-2/3)]+2x*D[(1+3*x^2)^(-2/3)]=2*(1+3*x^2)^(-2/3)+2x*[(-2/3)*((1+3*x^2)^((-2/3)-1))*6x]$
$y''=2*(1+3*x^2)^(-2/3)-8(x^2)*(1+3*x^2)^(-5/3) $
Riscriviamo in questo modo
$y''=2*[1/[(1+3*x^2)^(2/3))-(4*x^2)/((1+3*x^2)^(5/3))] $
il mcm è $(1+3*x^2)^(5/3)$,quindi
$y''=2*[(1+3*x^2-4*x^2)/((1+3*x^2)^(5/3))] =2*[(1-x^2)/((1+3*x^2)^(5/3))] $
speriamo che sia chiaro
ciao
Ho confrontato la mia derivata con la vostra e ho riscontrato una sola differenza (determinante):
quando vado a calcolare la derivata di: $(1+3x^2)^(2/3)$ io svolgo la derivata della radice e moltiplico per la derivata dell'argomento $(1+3x^2)^2$
quando invece l'argomento, "da considerare", è solo $(1+3x^2)$.
Ricapitolando, grazie "a voi" ho appreso che la derivata di $(1+3x^2)^(2/3)$ è: $[2/3*(1+3x^2)^(-1/3)]*6x$
e non $[2/3*(1+3x^2)^(-1/3)]*6x*2(1+3x^2)$.
Ho capito bene?
quando vado a calcolare la derivata di: $(1+3x^2)^(2/3)$ io svolgo la derivata della radice e moltiplico per la derivata dell'argomento $(1+3x^2)^2$
quando invece l'argomento, "da considerare", è solo $(1+3x^2)$.
Ricapitolando, grazie "a voi" ho appreso che la derivata di $(1+3x^2)^(2/3)$ è: $[2/3*(1+3x^2)^(-1/3)]*6x$
e non $[2/3*(1+3x^2)^(-1/3)]*6x*2(1+3x^2)$.
Ho capito bene?
Sì, adesso ci siamo.
Ciao
Ciao
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