Derivata di $y=ln(x)$

[gygabyte017]

Sto studiando le derivate per conto mio, ma mi sono bloccato nel calcolare la derivata di $y=ln(x)$... Magari è facilissimo ma io non ci riesco:

$f(x)=ln(x)$
$f'(x)=lim_(dx->0)(ln(x+dx)-ln(x))/dx$

Adesso come si va avanti?!? So che il risultato è $f'(x) = 1/x$

Grazie!

[giuseppe87x]

Applica la proprietà dei logaritmi secondo la quale $loga-logb=log(a/b)$, poi porta $Deltax$ a esponente e ti verrà fuori il limite notevole.

PS: quando applichi la derivata come limite del rapporto incrementale non ha senso scrivere l'incremento della variabile indipendente come un infinitesimo, è corretto scrivere semplicemente $Deltax$.

[gygabyte017]

Quindi:

$f'(x)=lim_(Deltax->0)(ln(x+Deltax)-ln(x))/(Deltax)=$$lim_(Deltax->0)ln((x+Deltax)/x)/(Deltax)=$$lim_(Deltax->0)ln(1+(Deltax)/x)^(1/(Deltax))=$

Giusto?? Ma dov'è il limite notevole??

[giuseppe87x]

riprendo da dove hai finito tu:

$...=lim_(Deltaxto0)ln(1+(Deltax)/x)^(x/(xDeltax))=1/x(lim_(Deltaxto0)lne)=1/x$

chiaro?

NB: $lim_(ato0)(1+a)^(1/a)=e; a in RR$

[gygabyte017]

Chiarissimo! Grazie 1000

[gygabyte017]

Tanto per provarne un'altra, è giusta questa?

$f(x)=sin(x)$

$f'(x)=lim_(Deltax->0)(sin(x+Deltax)-sin(x))/(Deltax) = lim_(Deltax->0)(sin(x)*cos(Deltax)+sin(Deltax)*cos(x)-sin(x))/(Deltax)=lim_(Deltax->0)sin(Deltax)/(Deltax)lim_(Deltax->0)cos(x) = cos(x)$

[giuseppe87x]

Non capisco bene quello che hai fatto; nell'ultimo passaggio poi ti sei dimenticato un segno...prova ad utilizzare invece le formule di prostaferesi.

[Sk_Anonymous]

puoi arrivare anche più semplicemente alla soluzione in questo modo: metti in evidenza il sinx al nunumeratore quindi avrai lim (sinDx cosx)/Dx + lim sinx (cosDx - 1)/Dx , il primo limite viene cosx , il secondo invece viene zero :
lim (cosDx - 1)/Dx * (cosDx + 1)/Dx * Dx/(cosDx + 1) = lim ((cosDx)^2 -1)/Dx^2 * Dx/(cosDx +1) = -1 * 0/2 = 0