Derivata di una funzione contenente il modulo.

[Dlofud]

Buongiorno ragazzi, stavo derivando questa funzione:

$y=ln((|x|-1)/x)$

e mi sono reso conto che non saprei come derivare correttamente una funzione contenente un modulo.

Dovrei forse riscriverla nella sua versione a tratti, considerando $x>=0$ ed $x<0$ e derivare separatamente le due braccia?

O c'è un'altro iter consigliato più canonico?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

In generale se hai una funzione \( f(x) \) e vuoi calcolare la derivata di \( \left| f(x) \right| \) nota che che in primo luogo non è derivabile quando \(f(x) = 0 \), pertanto puoi derivarla solamente se \( f(x) \neq 0 \). In questo caso.
\[ \left| f(x) \right| = \sqrt{ f^2(x) } = \left( f^2(x) \right)^{1/2} \]
Da cui
\[ \frac{d}{dx} \left( f^2(x) \right)^{1/2}= \frac{1}{2} \left( f^2(x) \right)^{1/2-1} \cdot \left( \frac{d}{dx} f^2(x) \right) = \frac{1}{2} \left( f^2(x) \right)^{-1/2}\left( 2 f(x) f'(x) \right) = \frac{f(x) f'(x)}{\left| f(x) \right|} \]

Venendo al tuo esercizio occhio che devi trovare il dominio di definizione della tua funzione \( \ln \left( \frac{\left| x \right| - 1 }{x} \right) \). Per derivare \( \frac{d}{dx} \left| x \right| \) applichi quanto ti ho detto sopra usando \( f(x) = x \).

NB: saresti tentato di pensare che \( \left( f^2(x) \right)^{1/2} = f(x) \) ma questo è falso poiché la regola che \( \left( a^b \right)^c = a^{bc} \) vale solo per \( a \geq 0 \). Da cui risulta che in generale \( \left( f^2(x) \right)^{1/2} \neq f(x) \).

[giammaria2]

Nel tuo caso mi sembra più comodo derivare la funzione a tratti (uso le tue parole). Prima però è bene trovarne il dominio e noti che è formato da due intervalli:
- il primo è $-1 - il secondo è $x>1$ ed in esso $|x|=x$

[_clockwise]

A mio avviso il calcolo diventa più semplice se si introduce la funzione segno \( \text{sgn}(x) \), che è definita in questo modo:

\( \text{sgn}(x)= \begin{cases}
-1, &\text{se}\:x<0\\
0, &\text{se}\:x=0\\
1, &\text{se}\:x>0
\end{cases}\)

È ora abbastanza facile notare che:

\( |x|=x\:\text{sgn}(x) \)

Infatti:

- se \(x\) è positiva, verrà moltiplicata per 1 e rimarrà positiva;
- se è negativa, verrà moltiplicata per -1 e diventerà positiva;
- se è nulla, verrà moltiplicata per zero e ovviamente rimarrà tale.[/list:u:2bni4eaj]
Perciò si può applicare la regola della derivata di un prodotto per calcolare la derivata del valore assoluto:


\( \dfrac{d}{dx}|x|=\text{sgn}(x)\dfrac{d}{dx}x+x\dfrac{d}{dx}\text{sgn}(x)=\text{sgn}(x)=\dfrac{|x|}{x} \)

(La derivata della funzione segno è nulla su tutto \(\mathbb{R}\), perché, che assuma il valore 0 o 1 o -1, resta sempre una costante.) Nota che la derivata non esiste per \(x=0\), e infatti si tratta di un punto angoloso per la funzione \(f(x)=|x|\).

Per finire, la derivata della tua funzione è:

\( y'=\dfrac{x}{|x|-1}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{|x|-1}{x}\right)=\dfrac{x}{|x|-1}\dfrac{\dfrac{|x|}{x}\cdot x-(|x|-1)}{x^2}=\dfrac{1}{x(|x|-1)} \)

Si potrebbe procedere anche spezzando (cioè applicando la proprietà distributiva) l'argomento del logaritmo nei termini \(\text{sgn}(x)\) e \(-x^{-1}\). Generalmente è sconsigliato manipolare l'espressione analitica di una funzione prima di lavorarci su (esempio: la funzione \(f(x)=x/x\) è diversa dalla funzione \(f(x)=1\)), ma, siccome così facendo non modifichiamo nessuna delle sue proprietà, allora licet. Ciò facilità il calcolo della derivata della funzione interna, dato che la derivata della funzione segno è 0 e quella di \(x^{-1}\) è arcinota.

[gugo82]

Deriva le due espressioni che ottieni distinguendo i casi.

[Dlofud]

Ragazzi, grazie! Ho provato ad eseguire nuovamente l'esercizio per conto mio, seguendo i vostri consigli, ed ora arrivo alla soluzione!

Devo riflettere ancor'un po' sul procedimento inserendo la funziona segno, ma è una tecnica accattivante.