Derivata
$D (x^4+4x)/sqrtx$
solo oggi sono state spiegate le regole di derivazione: somma e prodotto,null'altro..in base a queste 2 regole come si svolge la suddetta derivata?e qualcuno per caso sa la dimostrazione di $Dx^n=nx^(n-1)$ fatta col triangolo di tartaglia?
grazie anticipatamente.
solo oggi sono state spiegate le regole di derivazione: somma e prodotto,null'altro..in base a queste 2 regole come si svolge la suddetta derivata?e qualcuno per caso sa la dimostrazione di $Dx^n=nx^(n-1)$ fatta col triangolo di tartaglia?
grazie anticipatamente.
Risposte
$f(x)=(x^4+4x)/(sqrt(x))$; raggruppando al numeratore si ha: $f(x)=(x(x^3+4))/(sqrt(x))$; portando $sqrt(x)$ al numeratore si ha: $f(x)=(x^(-1/2))*x(x^3+4)$, quindi $f(x)=x^(-1/2+1)*(x^3+4) rarr sqrt(x)*(x^3+4)$. Questa funzione è del tipo $f(x)*g(x)$ e quindi è applicabile la regola di derivazione del prodotto. Lascio continuare a te.
Saluti, Ermanno.
Saluti, Ermanno.
e se non voglio usare la regola del prodotto?non si puo' svolgere?
"Eve":
e se non voglio usare la regola del prodotto?non si puo' svolgere?
Beh l'altro metodo è la derivazione di un rapporto, ma da quanto ho letto non l'hai studiato.
grazie!
Oppure calcolando il limite del rapporto incrementale
La dimostrazione della regola di derivazione di una potenza ennesima è fatta per induzione su n. Magari più tardi la posto.
Dimostrazione:
$f(x)=x^n$
$f(x+h)=(x+h)^n=x^n+nx^(n-1)h+nx^(n-2)h^2..............+nxh^(n-1)+h^n-x^n.$
$Dy=(x+h)^n=x^n+nx^(n-1)h+nx^(n-2)h^2..............+nxh^(n-1)+h^n-x^n-x^n$ a questo punto il mio prof ha messo in evidenza la h e verrebbe: $h(nx^(n-1)+........nh^(n-2)x+h^(n-1))$
adesso calcolando il rapporto incrementale,dividendo per h viene $nx^(n-1)+........nh^(n-2)x+h^(n-1)$ e calcolando il limite del rapporto incrementale viene : $lim_(h->0)(Dy)/(Dx)=lim_(h->0)(nx^(n-1)+.....nh^(n-1)x+h^(n-1))=nx^(n-1)$
il mio problema sorge quando vedo che si mette in evidenza h e pur essendocitermini senza h come $nx^(n-1)$ non vengono modificati mentre termini contenenti la h ovviamente con la messa in evidenza la perdono..non so se sono stata chiara..beh potete spiegarmi meglio come avviene il procedimento di questa dimostrazione??
Grazie,.
$f(x)=x^n$
$f(x+h)=(x+h)^n=x^n+nx^(n-1)h+nx^(n-2)h^2..............+nxh^(n-1)+h^n-x^n.$
$Dy=(x+h)^n=x^n+nx^(n-1)h+nx^(n-2)h^2..............+nxh^(n-1)+h^n-x^n-x^n$ a questo punto il mio prof ha messo in evidenza la h e verrebbe: $h(nx^(n-1)+........nh^(n-2)x+h^(n-1))$
adesso calcolando il rapporto incrementale,dividendo per h viene $nx^(n-1)+........nh^(n-2)x+h^(n-1)$ e calcolando il limite del rapporto incrementale viene : $lim_(h->0)(Dy)/(Dx)=lim_(h->0)(nx^(n-1)+.....nh^(n-1)x+h^(n-1))=nx^(n-1)$
il mio problema sorge quando vedo che si mette in evidenza h e pur essendocitermini senza h come $nx^(n-1)$ non vengono modificati mentre termini contenenti la h ovviamente con la messa in evidenza la perdono..non so se sono stata chiara..beh potete spiegarmi meglio come avviene il procedimento di questa dimostrazione??
Grazie,.
Lo sviluppo di $(x+h)^n $ non è corretto : i coefficienti non sono tutti $n $ ma i coefficienti binomiali "n su k " con k che varia tra 0 e n .
Comunque quando calcoli $lim_(h rarr 0 )( Delta y)/h $ , tutti i termini vanno a 0 , tranne appunto $n*x^(n-1)$ che infatti non dipende da $ h $ .
Comunque quando calcoli $lim_(h rarr 0 )( Delta y)/h $ , tutti i termini vanno a 0 , tranne appunto $n*x^(n-1)$ che infatti non dipende da $ h $ .
si ok ma nella messa in evidenza il 1 termine è rimasto uguale..una messa in evidenza accomuna termini divisibili per la stessa quantità..qui non è cosi eppure è stato ugualmente fatto..perchè?
$ x^n $ si cancella con $-x^n $ , dopodichè resta $h*n*x^(n-1)+h^2*x^(n-2)+... $ e raccogliendo $h $ che semplifichi con $ h $ che è a denominatore, allora a numeratore resta $n*x^(n-1)+h*x^(n-2)+... $ , a parte il primo tutti i termini sono con $h$ e quindi quando fai tendere $ h rarr 0 $ spariscono e resta solo $ n*x^(n-1)$
"Eve":
$D (x^4+4x)/sqrtx$
solo oggi sono state spiegate le regole di derivazione: somma e prodotto,null'altro..in base a queste 2 regole come si svolge la suddetta derivata?e qualcuno per caso sa la dimostrazione di $Dx^n=nx^(n-1)$ fatta col triangolo di tartaglia?
grazie anticipatamente.
Se vuoi usare soltanto le regole di somma e prodotto, basta trasformare la funzione usando le banalissime regole sulle potenze. Otterrai:
$D(x^(7/2)+4x^(1/2))$
Ci sarebbe ancora da trasformare, dato che è presente il prodotto di una costante per una potenza, ma ci si arriva facilmente.
grazie camillo..non l'avevo proprio vista quella semplificazione,mi devi scusare!
ps.Laura mi è tutto chiaro,grazie!
ps.Laura mi è tutto chiaro,grazie!
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