Derivata

[scuola1234]

Buonasera per favore mo direste gentilmente dove sbaglio?
Y=$(3+e^x)$×$(sinx)$ =
Mi viene
$e^x$×$sinx$ +$(3+e^x)$×($cosx$)
Ma che devo continuare a fare i prodotti delle derivate?
Grazie

[anto_zoolander]

Ti assicuro che nemmeno allo scientifico/industriale ti insegnano la miglior matematica del mondo. Il trucco è studiare molto soli e colmare i propri dubbi con chi ne sa di più.

[scuola1234]

Meno male che ci siete voi...vi avrò stupito con delle domande sciocche
Scusatemi
grazie mille

[scuola1234]

"anto_zoolander":Così è troppo generico. Bisogna distinguere la derivata in un punto, e la funzione derivata che è una funzione.
Appena ho la possibilità cerco di spiegarti un po' la situazione(se qualcuno non mi anticipa).
Inoltre logaritmi e goniometria sono importantissimi.

Riguardo il tuo dubbio, no, non si può. Si può dimostrare però che:

$sinx+cosx=sqrt2sin(x+pi/4)$

Considera che non è $sin*x$ ma $sin(x)$ dove $x$ rappresenta o un angolo, o la lunghezza di un arco di circonferenza.
Poniamo un attimo per assurdo che si possa raccogliere $x$

$sinx+cosx=x(sin+cos)$ dovremmo dare significato alla scrittura si $sin$ e $cos$ in se e per se, il che porterebbe al fatto che siano due costanti. Che va contro la definizione di seno e coseno. Quindi non si può.

EDIT:

ti metto tutto sotto spoiler.

la derivata nasce dal voler dare un'ulteriore definizione di 'tangente a una curva'.

la tangente è la posizione limite di una retta secante ad una curva nei punti $P,Q$ al tendere del punto $Q$ al punto $P$

Ora quindi prendiamo una generica curva $f(x)$ e due punti di questa curva $P(x_0,f(x_0))$ e $Q(x_0+h,f(x_0+h)$ dove $h$ rappresenta un incremento a piacere diverso da $0$.
Vogliamo adesso calcolare la retta passante per questi due punti, dove il centro del fascio sarà su $P$

$y=m(x-x_0)+f(x_0)$ dobbiamo concentrarci sul coefficiente angolare della retta, poiché è quello che ci donerà la tangenza.

$m=(f(x_0+h)-f(x_0))/((x_0+h)-x_0)=(f(x_0+h)-f(x_0))/h=(Deltay)/(Deltax)$

questo è il coefficiente angolare di una retta passante per quei due punti. Sfruttiamo la definizione

$Q->P$ ovvero $Q(x_0+h,f(x_0+h))->P <=> h->0$ ma se $h->0 => (Deltay)/(Deltax)=0/0$

Questo rapporto di infinitesimi ci darà un risultato interessante, ovvero quello di coefficiente angolare della retta tangente ad una curva in punto ma dobbiamo operare a limite.

$lim_(h->0)(Deltay)/(Deltax)=lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$

Quindi così abbiamo trovato cosa è $f'(x_0)$ ovvero il limite del rapporto incrementale, che risulta essere un numero. Da questo:

la derivata calcolata in un punto è un numero

Estendendo il concetto ad un caso generale, che tenga in considerazione tutti i punti della curva, si entra nella nozione di funzione derivata che è quello che interessa a noi.

E' una funzione che associa ad ogni punto, il suo coefficiente angolare.

$f':x->f'(x)$ ogni punto avrà coordinate $P(x,f'(x))$ dove la prima coordinata rappresenta un punto dell'ascissa, la seconda coordinata è il coefficiente angolare che ha la retta tangente a $f(x)$ in quel punto.

$f'(x)=lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$

la funzione derivata è una funzione(ed in particolare abbiamo detto che funzione è)

ora possiamo parlare di derivata del prodotto di funzioni. Cosa significa?

$z(x)=f(x)*g(x)$ vogliamo dare un senso a $z'(x)=D[f(x)*g(x)]$ ovvero voglio sapere come si deriva il prodotto di due funzioni che dipendono da $x$. Cominciamo applicando la definizione:

$z'(x)=lim_(h->0)(f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x))/h$ facciamo un piccolo trucco matematico aggiungendo e togliendo $f(x)*g(x+h)$

$z'(x)=lim_(h->0)(f(x+h)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-f(x)*g(x+h)-f(x)*g(x))/h$

$z'(x)=lim_(h->0)(g(x)*(f(x+h)-f(x))+f(x)*(g(x+h)-g(x)))/h$

che riordinando un po' diventa..

$z'(x)=g(x)*lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h+f(x)*lim_(h->0)(g(x+h)-g(x))/h$


ovvero $z'(x)=f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x)$ cosa che già ti avevano detto

così si dimostrano tutte le derivate.. Spero ti serva a qualcosa.

Quindi neanche in $lnx+cosx$ si può mettere a fattor comune la x?

[igiul1]

"scuola1234":Quindi neanche in lnx+cosx si può mettere a fattor comune la x?

No! la $x$ non è fattore di un prodotto ma argomento delle funzioni in oggetto.

Un consiglio
se non hai chiaro il concetto ed il significato di funzione è bene che te li vai a rivedere.