Derivabilità in un punto
Ciao a tutti.
Per verificare la derivabilità di una funzione in un punto applico la definizione di derivata e calcolo il limite del rapporto incrementale destro e sinistro. Se coincidono deduco che la funzione sia derivabile in quel punto.
Applicando questo metodo alla funzione seguente nel punto $x = 0$ ho qualche difficoltà.
$f(x)={(1, x>0), (0, x=0), (-1, x<0):}$;
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-1; ymax=1; axes(); xmin=-10; xmax=0; plot("-1"); xmin=0; xmax=10; plot("1"); fill="black"; circle([0, 0], 0.1);[/asvg]
La funzione è evidente che non sia continua in $x = 0$ e quindi non derivabile in quel punto.
Calcolo il limite del rapporto incrementale destro e sinistro:
$ lim_(h -> 0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(h -> 0^+) (1-0)/h = +infty$
$ lim_(h -> 0^-) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(h -> 0^-) (-1-0)/h = +infty$
Credo di sbagliare qualcosa, ma non so dove.
Per verificare la derivabilità di una funzione in un punto applico la definizione di derivata e calcolo il limite del rapporto incrementale destro e sinistro. Se coincidono deduco che la funzione sia derivabile in quel punto.
Applicando questo metodo alla funzione seguente nel punto $x = 0$ ho qualche difficoltà.
$f(x)={(1, x>0), (0, x=0), (-1, x<0):}$;
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-1; ymax=1; axes(); xmin=-10; xmax=0; plot("-1"); xmin=0; xmax=10; plot("1"); fill="black"; circle([0, 0], 0.1);[/asvg]
La funzione è evidente che non sia continua in $x = 0$ e quindi non derivabile in quel punto.
Calcolo il limite del rapporto incrementale destro e sinistro:
$ lim_(h -> 0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(h -> 0^+) (1-0)/h = +infty$
$ lim_(h -> 0^-) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(h -> 0^-) (-1-0)/h = +infty$
Credo di sbagliare qualcosa, ma non so dove.
Risposte
Perché fai tendere $h$ da destra e da sinistra?
Devono coincidere ma anche essere un valore finito per poter considerare derivabile.
"axpgn":
Perché fai tendere $h$ da destra e da sinistra?
Per calcolare il valore della sua derivata destra e di quella sinistra. Non è corretto come l'ho impostato?
"otta96":
Devono coincidere ma anche essere un valore finito per poter considerare derivabile.
Ok, è vero non ci avevo pensato. Ma quindi i calcoli sono corretti? Perchè pensavo al significato geometrico della derivata come coefficiente angolare della retta tangente, per cui mi aspettavo di avere zero come risultato del rapporto incrementale e non "+ infinito".
Io sarei più cauto ad usare $h$ in questo modo, preferisco il limite "originale" $lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$, sono più sicuro 
Comunque, il problema sta in quel che dice otta96.
Eh ma quale valore ti aspettavi per la tangente? Lì, volendo, la funzione va da $-1$ a $1$ immediatamente, quindi più ripida di così
Comunque, il problema sta in quel che dice otta96.
"Phoenix23":
Perchè pensavo al significato geometrico della derivata come coefficiente angolare della retta tangente,
Eh ma quale valore ti aspettavi per la tangente? Lì, volendo, la funzione va da $-1$ a $1$ immediatamente, quindi più ripida di così
"Phoenix23":
Perchè pensavo al significato geometrico della derivata come coefficiente angolare della retta tangente, per cui mi aspettavo di avere zero come risultato del rapporto incrementale e non "+ infinito".
E in un certo senso è così, cioè un coefficiente angolare di $+\infty$ sarebbe una retta verticale, che è la cosa più vicina ad una retta tangente in questo caso. Comunque il calcolo va bene.
Ora mi è tutto chiaro. Grazie mille
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