Derivabilità; concavità e flessi di funzione con modulo

[Forconi]

Buongiorno, mi potreste aiutare:

La Funzione: $ (|x-2|)/(x^2)$

Ora trovo eventuali punti di massimo e minimo: c’è un punto di massimo (4;1/8).

Verifico la derivabilità in x=2  dove la funzione è continua, quindi potrebbe essere derivabile. In x=2 c’è un punto angoloso, infatti calcolando il limite destro e sinistro in x=2 di f’(x) ottengo valori finiti, ma diversi.

Calcolo concavità e flessi studiando il segno della derivata seconda, ottengo che f(x) volge la concavità in alto in $(x<0) v (04) e f(x) volge la concavità in basso (2< x < 4).

Quindi c’è un flesso di coordinate (4;1/8)

Com’è possibile che in (4;1/8) ci sia contemporaneamente un punto di massimo e un punto di flesso?

Quando calcolo la derivabilità, poi si deve sempre calcolare la concavità e flessi al fine di disegnare il grafico della funzione data?

Ringraziando per l’aiuto che vorrete darmi, saluto.

Martina

 

[mgrau]

"Forconi":
Calcolo concavità e flessi studiando il segno della derivata seconda, ottengo che f(x) volge la concavità in alto in $(x<0) v (04) e f(x) volge la concavità in basso (2< x < 4).

Quindi c’è un flesso di coordinate (4;1/8)

 

La derivata seconda mi pare che si azzeri per x = 6, non 4

[Forconi]

F’(x) è $(x^2 -4x)/ x^4$ per  $(x<0) v (02$

 F’’(x) è $(-2x+8)/ x^4$ per  $(x<0) v (02$

Studio il segno delle due derivate seconde. Per l’intervallo  $(x<0) v (0
N:  -2x+8>=0 soluzione  x<4

D: x^4 >0  soluzione per ogni x appartenente ad R tranne 0

Per l’intervallo  $x>2$ la funzione volge la concavità in alto per $ (24 infatti:

N: $2x-8 >0$ soluzione  x>4

D: $(x^4)>0$ soluzione per ogni x appartenente ad R tranne 0

Quindi nel punto x=4 c’è un cambio di concavità quindi un flesso.

Ho fatto di nuovo i calcoli, ma non trovo l’errore.

[teorema55]

Certo, la derivata seconda si annulla per

$x=6$

e in x=6 trovi il punto di flesso:

$F' (6, 1/9)$

Ho pensato che la funzione è:

$y=(x-2)/x^2$ per x>2

e

$y=(2-x)/x^2$ per x<2

In x=2 in effetti c'è un punto angoloso in cui non hanno significato né la derivata prima né la seconda (tutte valgono 0/0)

Credo che l'errore stia nello sviluppo della derivata seconda. Io ottengo

$f''(x)=(2x|x-2|-12|x-2|)/(x^5-2x^4)$

che è priva di significato in x=2.

Raccogliendo al numeratore |x-2| e trascurando il denominatore ottieni

$|x-2|(2x-12)=0$

per

$x=2$ non accettabile, e

$x=6$ accettabile.

[Forconi]

Quindi se trovo un punto di non derivabilitá non ha senso cercare concavita e flessi? In pratica nello studio di una funzione non capisco quando mi devo fermare.

[teorema55]

Mai

[Forconi]

Mi potreste consigliare un sito dove ci siano i vari step da seguire secondo il tipo di funzione. Purtroppo ho un po' di confusione.

[mgrau]

"Forconi":Quindi se trovo un punto di non derivabilitá non ha senso cercare concavita e flessi? In pratica nello studio di una funzione non capisco quando mi devo fermare.

No, guarda, non c'entra il punto non derivabile, è solo che hai sbagliato qualcosa nel calcolare la derivata seconda

[teorema55]

Google..............e poi hai di che sbizzarrirti. Secondo me

http://www.****.it

è eccellente.

[teorema55]

Questo è il grafico della funzione in un intorno di

$x=2$

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Curva verde la f(x)
Curva blu la f'(x)
Curva rossa la f''(x)