$Delta/4$
Al liceo mi sono perso "la lezione" in cui spiegavano cosa fosse e in che casi si usasse il $Delta/4$ (i.e. $(b^2-4ac)/4$), e non vedendolo più sulle lavagne per gli anni seguenti mi sono portato dietro la lacuna, incurante del pericolo. Oggi me la ritrovo davanti mentre si parlava di coniche... L'argomento non è dei più facili da trovare, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi a cosa serve questo Delta diviso 4 e da dove viene fuori? Anche un rimando a link andrebbe bene.
Grazie.
Grazie.
Risposte
La formula per la risoluzione di equazioni di secondo grado è
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
dividendo al numeratore e denominatore per $2$ si ottiene
$x_{1,2} = \frac{- \frac{b}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\Delta}}{a}$
e portanto $\frac{1}{2}$ dentro la radice si ottiene
$x_{1,2} = \frac{- \frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}$
e conviene usare questa formula se $b$ è pari, in questo caso infatti $\frac{b}{2}$ è un intero. Non c'è altro.
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
dividendo al numeratore e denominatore per $2$ si ottiene
$x_{1,2} = \frac{- \frac{b}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\Delta}}{a}$
e portanto $\frac{1}{2}$ dentro la radice si ottiene
$x_{1,2} = \frac{- \frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}$
e conviene usare questa formula se $b$ è pari, in questo caso infatti $\frac{b}{2}$ è un intero. Non c'è altro.
e conviene usare questa formula se $b$ è pari, in questo caso infatti $b/2$ è un intero.
(!!!!!!) Non bestemmiamo!!!! I coefficienti sono complessi o reali in generale che senso ha di parlare di pari o dispari?
A ogni modo il $delta/4$ è riferito a un trinomio di secondo grado $P(x)=ax^2+bx+c$ con $a,b,c in CC$
(tecnicamente possono stare in un qualunque campo quadratico, ossia in cui è sempre possibile l'estrazione di radice quadrata),
allora $delta/4=(b/2)^2-ac$
(!!!!!!) Non bestemmiamo!!!! I coefficienti sono complessi o reali in generale che senso ha di parlare di pari o dispari?
A ogni modo il $delta/4$ è riferito a un trinomio di secondo grado $P(x)=ax^2+bx+c$ con $a,b,c in CC$
(tecnicamente possono stare in un qualunque campo quadratico, ossia in cui è sempre possibile l'estrazione di radice quadrata),
allora $delta/4=(b/2)^2-ac$
"Help":
Al liceo mi sono perso "la lezione" in cui spiegavano cosa fosse e in che casi si usasse il $Delta/4$ (i.e. $(b^2-4ac)/4$), e non vedendolo più sulle lavagne per gli anni seguenti mi sono portato dietro la lacuna, incurante del pericolo. Oggi me la ritrovo davanti mentre si parlava di coniche... L'argomento non è dei più facili da trovare, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi a cosa serve questo Delta diviso 4 e da dove viene fuori? Anche un rimando a link andrebbe bene.
Grazie.
Puoi fare tranquillamente a meno del "delta quarti".
Non è una formula essenziale.
Francesco Daddi
"zorn":
(!!!!!!) Non bestemmiamo!!!! I coefficienti sono complessi o reali in generale che senso ha di parlare di pari o dispari?
Tu zorn, se avessi un'equazione di secondo grado, quando useresti la formula con il $\frac{\Delta}{4}$?
"Tipper":
[quote="zorn"](!!!!!!) Non bestemmiamo!!!! I coefficienti sono complessi o reali in generale che senso ha di parlare di pari o dispari?
Tu zorn, se avessi un'equazione di secondo grado, quando useresti la formula con il $\frac{\Delta}{4}$?[/quote]
quando b è multiplo di 2i......
Grazie a tutti, credevo fosse una cosa più seria.
Sì ma è un aspetto che va fatto notare agli studenti (ti assicuro che molti non sanno che la nozione di parità ha senso solo negli interi).
Sarà che sono approssimativo (del resto è fatto noto che matematico non sono e che mai lo sarò), ma mi sembrava scontato che se $b$ deve essere pari deve essere necessariemente intero...
"zorn":
Sì ma è un aspetto che va fatto notare agli studenti (ti assicuro che molti non sanno che la nozione di parità ha senso solo negli interi).
In ogni caso,anche se non intero,basta fare il m.c.m. e il ttto torna nella normalità
"Sturmentruppen":
[quote="zorn"]Sì ma è un aspetto che va fatto notare agli studenti (ti assicuro che molti non sanno che la nozione di parità ha senso solo negli interi).
In ogni caso,anche se non intero,basta fare il m.c.m. e il ttto torna nella normalità[/quote]
Se tu hai $pi x^2+sqrt2x-1=0$ come fai a fare il mcm dei coefficienti?
"Martino":
[quote="Sturmentruppen"][quote="zorn"]Sì ma è un aspetto che va fatto notare agli studenti (ti assicuro che molti non sanno che la nozione di parità ha senso solo negli interi).
In ogni caso,anche se non intero,basta fare il m.c.m. e il ttto torna nella normalità[/quote]
Se tu hai $pi x^2+sqrt2x-1=0$ come fai a fare il mcm dei coefficienti?[/quote]
In questo caso $b$ non è pari $to$ formula classica
"Sturmentruppen":
In questo caso $b$ non è pari $to$ formula classica
Scusa, tu hai detto che se $b$ non è intero (e questo è il caso) allora "basta fare il m.c.m." (parole tue). In questo caso $b=sqrt2$ non è intero eppure non puoi fare il mcm.
Forse intendevi che quando $b$ è razionale ma non intero basta fare il mcm?
"Martino":
[quote="Sturmentruppen"]In questo caso $b$ non è pari $to$ formula classica
Scusa, tu hai detto che se $b$ non è intero (e questo è il caso) allora "basta fare il m.c.m." (parole tue). In questo caso $b=sqrt2$ non è intero eppure non puoi fare il mcm.
Forse intendevi che quando $b$ è razionale ma non intero basta fare il mcm?[/quote]
si,naturalmente intendevo dire che se $binQQ$,essendo $b=c/d,d!=0,c!=d$,basta fare il mcm
Riassumendo direi che conviene applicare la formula ridotta quando $b$ è divisibile per $2$
prendo le difese degli 'interisti' (nel senso di coefficienti appartenenti a Z).
alle superiori di solito si incontrano coefficienti interi.
alex
alle superiori di solito si incontrano coefficienti interi.
alex
Mi schiero dalla parte dei "non interisti" : la formula ridotta è utile quando il termine $b$ contiene il fattore $2$ (non parlerei di divisibilità che riguarda ancora gli interi), qualunque sia $b \in CC$ (e come sottocasi $b \in RR, QQ, ZZ, NN$).
Per tagliare la testa al toro: chi userebbe la formula ridotta nella seguente equazione?
$x^2 - 6sqrt5x - 4 = 0$
Io certamente sí...
: la formula ridotta è utile quando il termine $b$ contiene il fattore $2$ (non parlerei di divisibilità che riguarda ancora gli interi), qualunque sia $b \in CC$ (e come sottocasi $b \in RR, QQ, ZZ, NN$).Per tagliare la testa al toro: chi userebbe la formula ridotta nella seguente equazione?
$x^2 - 6sqrt5x - 4 = 0$
Io certamente sí...
Interisti?
Comunque volevo solo rendere chiaro che il concetto di parità ha senso solo per interi (così come il concetto di m.c.m.! Tecnicamente hanno senso nei monoidi ma non nei gruppi!).
Infatti se pari significa, come significa, multiplo di 2, allora, se ci chiedessimo nel campo razionale se 3 è pari la risposta sarebbe sì perché $3=2*3/2$. Ciò dipende dal fatto che $(QQ\{0},*)$ è un gruppo, allora tutti gli elementi in esso sono pari.
Poi per la formula ridotta ci sono casi in cui conviene e casi in cui non conviene applicarla. Uno di questi è che l'equazione è a coefficienti interi e b è un intero pari.
Comunque volevo solo rendere chiaro che il concetto di parità ha senso solo per interi (così come il concetto di m.c.m.! Tecnicamente hanno senso nei monoidi ma non nei gruppi!).
Infatti se pari significa, come significa, multiplo di 2, allora, se ci chiedessimo nel campo razionale se 3 è pari la risposta sarebbe sì perché $3=2*3/2$. Ciò dipende dal fatto che $(QQ\{0},*)$ è un gruppo, allora tutti gli elementi in esso sono pari.
Poi per la formula ridotta ci sono casi in cui conviene e casi in cui non conviene applicarla. Uno di questi è che l'equazione è a coefficienti interi e b è un intero pari.
ritorna al "VIA!"
cito:
solo perché non aveva scritto l'ovvio fatto che si riferiva agli interi...
comunque la "divagazione" male non fa. Mi ricordo l'indignazione di un mio ex collega di studio ("studio" inteso come ufficio) perché il/la prof di mate ed oss sc aveva parlato di numeri decimali pari (spero la memoria non mi inganni, ma comunque era qualcosa a questo livello di abominio).
Certo che vedere $3.14$ è un numero pari, unito al fatto che "è" $\pi$ potrebbe avere delle interessanti conseguenze matematiche.
cito:
"Tipper":
e conviene usare questa formula se $b$ è pari, in questo caso infatti $\frac{b}{2}$ è un intero. Non c'è altro.
solo perché non aveva scritto l'ovvio fatto che si riferiva agli interi...
comunque la "divagazione" male non fa. Mi ricordo l'indignazione di un mio ex collega di studio ("studio" inteso come ufficio) perché il/la prof di mate ed oss sc aveva parlato di numeri decimali pari (spero la memoria non mi inganni, ma comunque era qualcosa a questo livello di abominio).
Certo che vedere $3.14$ è un numero pari, unito al fatto che "è" $\pi$ potrebbe avere delle interessanti conseguenze matematiche.
La "formula ridotta" e' utile anche quando l'equazione e' letterale
e puo' servire per liberare le soluzioni dal sovraccarico di fattori numerici
inessenziali.
Mi permetto di riportare una curiosa formula di risoluzione,dovuta pare a Clebsch,
e che e' la seguente :
$x_1=-(bz+2c-zsqrt(Delta))/(2az+b+sqrt(Delta))$
$x_2=-(bz+2c+zsqrt(Delta))/(2az+b-sqrt(Delta))$
Essa si caratterizza per il fatto che l'indeterminata z e' del tutto arbitraria !!!
karl
e puo' servire per liberare le soluzioni dal sovraccarico di fattori numerici
inessenziali.
Mi permetto di riportare una curiosa formula di risoluzione,dovuta pare a Clebsch,
e che e' la seguente :
$x_1=-(bz+2c-zsqrt(Delta))/(2az+b+sqrt(Delta))$
$x_2=-(bz+2c+zsqrt(Delta))/(2az+b-sqrt(Delta))$
Essa si caratterizza per il fatto che l'indeterminata z e' del tutto arbitraria !!!
karl
"karl":
La "formula ridotta" e' utile anche quando l'equazione e' letterale
e puo' servire per liberare le soluzioni dal sovraccarico di fattori numerici
inessenziali.
Mi permetto di riportare una curiosa formula di risoluzione,dovuta pare a Clebsch,
e che e' la seguente :
$x_1=-(bz+2c-zsqrt(Delta))/(2az+b+sqrt(Delta))$
$x_2=-(bz+2c+zsqrt(Delta))/(2az+b-sqrt(Delta))$
Essa si caratterizza per il fatto che l'indeterminata z e' del tutto arbitraria !!!
karl
Cosa rappresenta $z$?
Come ho scritto, z e' una indeterminata e gli puoi dare il valore che vuoi,
ottenendo sempre le due radici dell'equazione da risolvere (e qui sta la cosa curiosa!!)
Per esempio se si pone z=0 e si razionalizza il denominatore delle due formule da me indicate,
si ritrova l'ordinaria formula di risoluzione $x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)$
karl
ottenendo sempre le due radici dell'equazione da risolvere (e qui sta la cosa curiosa!!)
Per esempio se si pone z=0 e si razionalizza il denominatore delle due formule da me indicate,
si ritrova l'ordinaria formula di risoluzione $x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)$
karl
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