Definizione radiante
Buon pomeriggio a tutti, ho deciso di approfondire la goniometria e sto ricominciando dagli inizi. Sto ripassando la definizione di radiante e ho dei dubbi. Ho caricato l'immagine del libro e dunque farò riferimento a quanto vi è detto.
Anzitutto, quando dice "Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava" non capisco a cosa alluda; ammetto di non ripassare geometria da un bel po', ma non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico. O forse non c'è e sono io troppo "metafisico" nell'andare alla ricerca dei perché?
Buona serata a tutti e grazie per l'aiuto!
Anzitutto, quando dice "Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava" non capisco a cosa alluda; ammetto di non ripassare geometria da un bel po', ma non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico. O forse non c'è e sono io troppo "metafisico" nell'andare alla ricerca dei perché?
Buona serata a tutti e grazie per l'aiuto!
Risposte
"Ema2003":
non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti. Non occorre che siano oggetti speciali quelli di cui si fa il rapporto: perchè no, un arco diviso un angolo? A sinistra hai una arco qualsiasi diviso l'angolo al centro corrispondente, a destra hai l'arco costituito dall'intera circonferenza, diviso l'angolo al centro corrispondente, ossia l'angolo giro.
"Ema2003":
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
Vedi sopra. Occhio che la lunghezza della circonferenza non è $2pi$, ma $2pi$R
"Ema2003":
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico. O forse non c'è e sono io troppo "metafisico" nell'andare alla ricerca dei perché?
Non ti so rispondere in modo formale, però personalmente mi basterebbe notare che si passa da una circonferenza ad un'altra con una dilatazione/restrizione che modifica le lunghezze di raggio e arco dello stesso fattore
Prendi due circonferenze concentriche, prendi un angolo piatto, quanto vale il rapporto tra la lunghezza della semicirconferenza interna col suo raggio? Quanto vale il rapporto tra la lunghezza della semicirconferenza esterna e il suo raggio? Cosa noti?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ho visto l'immagine che hai postato e ho preso il libro, a colpo sicuro! È un'altra edizione perché i numeri delle pagine non coincidono.
Prendi un circonferenza, un angolo al centro e il corrispondente arco sulla circonferenza. Se moltiplichi l'angolo per un certo numero $k$, anche l'arco che gli corrisponde sarà moltiplicato per $k$. E questo vale per qualunque numero $k$ usato.
Un'intera circonferenza avrà come angolo al centro l'angolo giro, mezza circonferenza la metà dell'angolo giro cioè l'angolo piatto, un quarto di circonferenza avrà come angolo al centro l'angolo retto cioè un quarto dell'angolo giro, ...
Per un breve ripasso consiglio il capitolo G5 del volume di seconda.
Come ti ho già detto, l'angolo al centro che sottende all'intera circonferenza è l'angolo giro, la proporzione quindi è:
l'arco sta all'angolo giro corrispondente in gradi come l'intera circonferenza sta all'angolo giro in gradi, tradotto in simboli algebrici
$l:alpha°=2 pi r: 360°$
Qui andiamo su un altro tipo di proporzionalità: quella tra il raggio della circonferenza e l'arco a cui sottende un fissato angolo $alpha$, infatti dalla precedente proporzione ottieni $alpha° = 360° * l/(2pi r)$ cioè $alpha°=(360°)/(2pi)*l/r$ che equivale a $alpha°= k*l/r$ ovvero l'angolo fissato è uguale ad una costante $k=(360°)/(3pi)$ moltiplicata per il rapporto $l/r$.
"Ema2003":
Anzitutto, quando dice "Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava" non capisco a cosa alluda; ammetto di non ripassare geometria da un bel po', ma non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Prendi un circonferenza, un angolo al centro e il corrispondente arco sulla circonferenza. Se moltiplichi l'angolo per un certo numero $k$, anche l'arco che gli corrisponde sarà moltiplicato per $k$. E questo vale per qualunque numero $k$ usato.
Un'intera circonferenza avrà come angolo al centro l'angolo giro, mezza circonferenza la metà dell'angolo giro cioè l'angolo piatto, un quarto di circonferenza avrà come angolo al centro l'angolo retto cioè un quarto dell'angolo giro, ...
Per un breve ripasso consiglio il capitolo G5 del volume di seconda.
"Ema2003":
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
Come ti ho già detto, l'angolo al centro che sottende all'intera circonferenza è l'angolo giro, la proporzione quindi è:
l'arco sta all'angolo giro corrispondente in gradi come l'intera circonferenza sta all'angolo giro in gradi, tradotto in simboli algebrici
$l:alpha°=2 pi r: 360°$
"Ema2003":
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico.
Qui andiamo su un altro tipo di proporzionalità: quella tra il raggio della circonferenza e l'arco a cui sottende un fissato angolo $alpha$, infatti dalla precedente proporzione ottieni $alpha° = 360° * l/(2pi r)$ cioè $alpha°=(360°)/(2pi)*l/r$ che equivale a $alpha°= k*l/r$ ovvero l'angolo fissato è uguale ad una costante $k=(360°)/(3pi)$ moltiplicata per il rapporto $l/r$.
"@melia":
Ho visto l'immagine che hai postato e ho preso il libro, a colpo sicuro! È un'altra edizione perché i numeri delle pagine non coincidono.
[quote="Ema2003"]
Anzitutto, quando dice "Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava" non capisco a cosa alluda; ammetto di non ripassare geometria da un bel po', ma non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Prendi un circonferenza, un angolo al centro e il corrispondente arco sulla circonferenza. Se moltiplichi l'angolo per un certo numero $k$, anche l'arco che gli corrisponde sarà moltiplicato per $k$. E questo vale per qualunque numero $k$ usato.
Un'intera circonferenza avrà come angolo al centro l'angolo giro, mezza circonferenza la metà dell'angolo giro cioè l'angolo piatto, un quarto di circonferenza avrà come angolo al centro l'angolo retto cioè un quarto dell'angolo giro, ...
Per un breve ripasso consiglio il capitolo G5 del volume di seconda.
"Ema2003":
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
Come ti ho già detto, l'angolo al centro che sottende all'intera circonferenza è l'angolo giro, la proporzione quindi è:
l'arco sta all'angolo giro corrispondente in gradi come l'intera circonferenza sta all'angolo giro in gradi, tradotto in simboli algebrici
$l:alpha°=2 pi r: 360°$
"Ema2003":
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico.
Qui andiamo su un altro tipo di proporzionalità: quella tra il raggio della circonferenza e l'arco a cui sottende un fissato angolo $alpha$, infatti dalla precedente proporzione ottieni $alpha° = 360° * l/(2pi r)$ cioè $alpha°=(360°)/(2pi)*l/r$ che equivale a $alpha°= k*l/r$ ovvero l'angolo fissato è uguale ad una costante $k=(360°)/(3pi)$ moltiplicata per il rapporto $l/r$.[/quote]
Ciao, guarda il libro che utilizziamo è matematica.azzurro, non so di che anno. Tuttavia, ammetto che non mi piace molto; non so come siano gli altri manuali, però il nostro mi sembra scevro di esempi e, quando vi sono, sono assai più semplici degli esercizi. Comunque ora ci interessa poco.
Per quanto riguarda il primo paragrafo, ho capito la proporzione; il problema è che però non capisco l'ultimo paragrafo. Ho provato a ricavare la prima formula che hai scritto, ma non riesco ad isolare alpha. Mi spiegheresti come hai fatto?
Posto che comunque non ho capito quel passaggio del libro, in linea di principio mi sembra un po' strano. Nel senso, cosa significa che "gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi"? Per quanto sia probabile che mi sbagli, il raggio, credo, è uguale in tutta la circonferenza. Dunque da dove deriva la proporzionalità? Anche se l'arco aumenta, il raggio sempre del medesimo valore è (ovviamente sempre ammesso che ricordi bene.) Magari la risposta sta nell'ultimo paragrafo che hai scritto, però ahimè non l'ho compreso. Ad ogni modo, ti ringrazio infinitamente per la celerità e per il tempo che mi hai dedicato. Buona serata!
"axpgn":
Prendi due circonferenze concentriche, prendi un angolo piatto, quanto vale il rapporto tra la lunghezza della semicirconferenza interna col suo raggio? Quanto vale il rapporto tra la lunghezza della semicirconferenza esterna e il suo raggio? Cosa noti?
Cordialmente, Alex
Ciao, scusami, cosa intendi con lunghezza della semicirconferenza? Il perimetro?
Grazie per la risposta, comunque! Buona serata
"mgrau":
[quote="Ema2003"]non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti. Non occorre che siano oggetti speciali quelli di cui si fa il rapporto: perchè no, un arco diviso un angolo? A sinistra hai una arco qualsiasi diviso l'angolo al centro corrispondente, a destra hai l'arco costituito dall'intera circonferenza, diviso l'angolo al centro corrispondente, ossia l'angolo giro.
"Ema2003":
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
Vedi sopra. Occhio che la lunghezza della circonferenza non è $2pi$, ma $2pi$R
"Ema2003":
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico. O forse non c'è e sono io troppo "metafisico" nell'andare alla ricerca dei perché?
Non ti so rispondere in modo formale, però personalmente mi basterebbe notare che si passa da una circonferenza ad un'altra con una dilatazione/restrizione che modifica le lunghezze di raggio e arco dello stesso fattore[/quote]
Ti ringrazio per le risposte! Mi mancava una definizione rigorosa del concetto di proporzione. Ora, grazie anche alle spiegazioni di melia, mi è più chiaro. Quanto all'ultima questione, non preoccuparti, piano piano tenterò di capire cosa c'è sotto. Buona serata e grazie!
@Ema
Scusami ma conosci la differenza tra il cerchio e la circonferenza?
Scusami ma conosci la differenza tra il cerchio e la circonferenza?
"Ema2003":
Dunque da dove deriva la proporzionalità? Anche se l'arco aumenta, il raggio sempre del medesimo valore è
Non funziona così. Qui tu stai immaginando di variare l'angolo, e lasciar fisso il raggio.
Invece si tratta di fissare l'angolo e far variare il raggio. La proporzionalità fra raggio e arco significa che se aumenti il raggio di un certo fattore, l'arco aumenta dello stesso fattore.
"axpgn":
@Ema
Scusami ma conosci la differenza tra il cerchio e la circonferenza?
Ehm, teoricamente sì. Ho sparato qualche cavolata grossa?
"mgrau":
[quote="Ema2003"]Dunque da dove deriva la proporzionalità? Anche se l'arco aumenta, il raggio sempre del medesimo valore è
Non funziona così. Qui tu stai immaginando di variare l'angolo, e lasciar fisso il raggio.
Invece si tratta di fissare l'angolo e far variare il raggio. La proporzionalità fra raggio e arco significa che se aumenti il raggio di un certo fattore, l'arco aumenta dello stesso fattore.[/quote]
Ciao, grazie per la risposta. Ti chiedo scusa, ma a quest'ora davvero non ho la testa per dedicarmi a matematica. Ci ripenso domattina. Grazie di nuovo per la risposta, comunque. Buona serata!
@Ema
Beh, se chiedi che cosa sia la lunghezza della circonferenza allora mancano le basi e diventa difficile capirsi ...
La lunghezza della circonferenza è pari a $2pir$ dove $r$ rappresenta la lunghezza del raggio.
Detto questo, riesci a rispondere alle domande che ho fatto?
Beh, se chiedi che cosa sia la lunghezza della circonferenza allora mancano le basi e diventa difficile capirsi ...
La lunghezza della circonferenza è pari a $2pir$ dove $r$ rappresenta la lunghezza del raggio.
Detto questo, riesci a rispondere alle domande che ho fatto?
"axpgn":
@Ema
Beh, se chiedi che cosa sia la lunghezza della circonferenza allora mancano le basi e diventa difficile capirsi ...
La lunghezza della circonferenza è pari a $2pir$ dove $r$ rappresenta la lunghezza del raggio.
Detto questo, riesci a rispondere alle domande che ho fatto?
Ciao, in effetti hai ragione, sono un po' un cretino... La geometria non mi è mai piaciuta (almeno fino ad ora) e mi pento di non averla mai studiata per bene. Come finisco di ripassare tutte le nozioni sui numeri, passo subito alla geometria.
Ad ogni modo, ho provato a fare quel che mi hai detto, sperando di non aver commesso errori. Ho notato che il rapporto tra le semicirconferenze ed i loro raggi equivale a $ k \pi $ Giusto? O di nuovo ho fatto una cavolata?
Grazie per l'aiuto e buona giornata!
Di nuovo hai risposto a casaccio. Il rapporto tra la semicirconferenza e il raggio è $pi$ senza nessun parametro davanti.
"@melia":
Di nuovo hai risposto a casaccio. Il rapporto tra la semicirconferenza e il raggio è $pi$ senza nessun parametro davanti.
Hai ragione, ho fatto una cavolata nel calcolo, me ne accorgo solo ora. In effetti mi viene $ \pi $ sempre.
Quindi potremmo associare la semicirconferenza (che è un arco) di qualsiasi cerchio al numero $pi$, così come la circonferenza al numero $2pi$ e un quarto di circonferenza al numero $pi/2$.
Comincia ad essere più chiaro adesso l'argomento?
Cordialmente, Alex
Comincia ad essere più chiaro adesso l'argomento?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Quindi potremmo associare la semicirconferenza (che è un arco) di qualsiasi cerchio al numero $pi$, così come la circonferenza al numero $2pi$ e un quarto di circonferenza al numero $pi/2$.
Comincia ad essere più chiaro adesso l'argomento?
Cordialmente, Alex
Allora, inizia sì ad essermi più chiaro; ma ci sono ancora 2 cose che mi lasciano perplesso. La prima riguarda sempre "gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi": con raggi, a questo punto del ragionamento, penso che il libro non intenda il valore numerico, quanto più, diciamo, "l'allargarsi" o "il restringersi" conseguentemente all'aumento dell'angolo che insiste sui raggi, corretto? Ad esempio, se si ha l'angolo di 180 gradi, l'arco descrive una semicirconferenza; tuttavia, se aumento l'angolo di 9o gradi, "si allarga" pure l'arco e quindi pervengo a $ 3/2pi $. Chiedo scusa se è poco chiaro, spero si capisca ciò che intendo.
In secondo luogo, alla luce di ciò, perché, stando al libro, quando misuro un arco uso come unità di misura il raggio della circonferenza? Se il ragionamento di sopra è corretto, dovrei utilizzare l'angolo, suppongo.
Nella speranza di non aver sparato altre cavolate, ti ringrazio di nuovo per l'aiuto e ti auguro un buon pomeriggio
Devi decidere cosa lasciare fisso.
Se lasci fisso il raggio, allora l'arco è proporzionale all'angolo al centro.
Se fissi l'angolo, allora l'arco è proporzionale al raggio.
La sai vero la definizione di "proporzionalità diretta"?
Se lasci fisso il raggio, allora l'arco è proporzionale all'angolo al centro.
Se fissi l'angolo, allora l'arco è proporzionale al raggio.
La sai vero la definizione di "proporzionalità diretta"?
"@melia":
Devi decidere cosa lasciare fisso.
Se lasci fisso il raggio, allora l'arco è proporzionale all'angolo al centro.
Se fissi l'angolo, allora l'arco è proporzionale al raggio.
La sai vero la definizione di "proporzionalità diretta"?
Sì, detto volgarmente "se aumenta uno, aumenta l'altro." Spero di non sbagliarmi almeno su questo.
Ok, nel primo caso, se si lascia fisso il raggio, mi è chiaro. Forse ho capito anche il secondo ed ho individuato il malinteso: io penso al raggio come la semplice misura del raggio della circonferenza. Per converso, in questo caso devo considerare la somma dei due raggi che sottendono l'angolo (come ho evidenziato nella foto che allego.) Era questo il problema? Od ho sparato una cavolata? (Spero di no
)
Hai detto che ti è chiaro che alla circonferenza possiamo associare il numero $2pi$ (alla semicirconferenza la metà cioè $pi$, ad un quarto di circonferenza il numero $pi/2$ e così via).
Ma ti deve essere chiaro che associo il numero $2pi$ ad OGNI circonferenza, indipendentemente dal raggio che sia un millimetro o un anno luce.
Ne consegue che dire "circonferenza" o dire $2pi$ è la stessa cosa.
E così pure per le semicirconferenze e per ogni frazione di circonferenza.
E ricordati che una circonferenza è un arco (e così pure una semicirconferenza e una qualsiasi frazione di circonferenza).
Quindi abbiamo associato archi con numeri, ok?
Ora pensa ad una circonferenza e ad un angolo al centro (come nei tuoi disegni); ogni angolo al centro intercetta sulla circonferenza un arco (per essere precisi due perché divide la circonferenza in due parti ma sorvoliamo su questo per ora e concentriamoci su un arco solo
).
Se pensi all'angolo giro (hai presente?) quanta parte della circonferenza intercetta (o sottende che è lo stesso)?
E se pensi all'angolo piatto quanta parte della circonferenza intercetta?
E se pensi all'angolo retto?
Di conseguenza abbiamo questa associazione: Angolo giro - intera circonferenza - numero $2pi$
E quest'altra: Angolo piatto - semicirconferenza - numero $pi$
E così via ... e tutto questo indipendentemente da quanto è grande la circonferenza.
Se è chiaro fino a qui poi proseguiamo ...
Cordialmente, Alex
Ma ti deve essere chiaro che associo il numero $2pi$ ad OGNI circonferenza, indipendentemente dal raggio che sia un millimetro o un anno luce.
Ne consegue che dire "circonferenza" o dire $2pi$ è la stessa cosa.
E così pure per le semicirconferenze e per ogni frazione di circonferenza.
E ricordati che una circonferenza è un arco (e così pure una semicirconferenza e una qualsiasi frazione di circonferenza).
Quindi abbiamo associato archi con numeri, ok?
Ora pensa ad una circonferenza e ad un angolo al centro (come nei tuoi disegni); ogni angolo al centro intercetta sulla circonferenza un arco (per essere precisi due perché divide la circonferenza in due parti ma sorvoliamo su questo per ora e concentriamoci su un arco solo
).Se pensi all'angolo giro (hai presente?) quanta parte della circonferenza intercetta (o sottende che è lo stesso)?
E se pensi all'angolo piatto quanta parte della circonferenza intercetta?
E se pensi all'angolo retto?
Di conseguenza abbiamo questa associazione: Angolo giro - intera circonferenza - numero $2pi$
E quest'altra: Angolo piatto - semicirconferenza - numero $pi$
E così via ... e tutto questo indipendentemente da quanto è grande la circonferenza.
Se è chiaro fino a qui poi proseguiamo ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
...
Ne consegue che dire "circonferenza" o dire $2pi$ è la stessa cosa.
...
E ricordati che una circonferenza è un arco (e così pure una semicirconferenza e una qualsiasi frazione di circonferenza).
Quindi abbiamo associato archi con numeri, ok?
Qui secondo me lo confondi. Finirà col credere che sia gli archi che gli angoli, si misurino in radianti
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