Definizione radiante
Buon pomeriggio a tutti, ho deciso di approfondire la goniometria e sto ricominciando dagli inizi. Sto ripassando la definizione di radiante e ho dei dubbi. Ho caricato l'immagine del libro e dunque farò riferimento a quanto vi è detto.
Anzitutto, quando dice "Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava" non capisco a cosa alluda; ammetto di non ripassare geometria da un bel po', ma non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico. O forse non c'è e sono io troppo "metafisico" nell'andare alla ricerca dei perché?
Buona serata a tutti e grazie per l'aiuto!
Anzitutto, quando dice "Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava" non capisco a cosa alluda; ammetto di non ripassare geometria da un bel po', ma non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Secondariamente, non capisco quella proporzione. Nel senso, la parte a sinistra ok, non la comprendo perché fa riferimento a quella "presunta" proporzionalità, ma perlomeno vedo dove va a parare; quanto alla parte a destra, anche lì, che rapporto sussiste tra la circonferenza e l'angolo giro? Voglio dire: so che la circonferenza misura 2pigreco, ma, appunto, questo fonda il rapporto di proporzionalità?
In terzo luogo, non capisco questo: "cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto l/r non varia al variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a." Nel senso, graficamente ovviamente capisco perché; ma mi manca un fondamento teorico. O forse non c'è e sono io troppo "metafisico" nell'andare alla ricerca dei perché?
Buona serata a tutti e grazie per l'aiuto!
Risposte
"mgrau":
[quote="Ema2003"]non ricordo di aver sentito parlare di proporzionalità fra archi e angoli: qualcuno potrebbe spiegarmela o, comunque, cosa andare a ripassare?
Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti. Non occorre che siano oggetti speciali quelli di cui si fa il rapporto: perchè no, un arco diviso un angolo? A sinistra hai una arco qualsiasi diviso l'angolo al centro corrispondente, a destra hai l'arco costituito dall'intera circonferenza, diviso l'angolo al centro corrispondente, ossia l'angolo giro. [/quote]
Davvero?
E dove l'hai trovato scritto?
Tipo "metri al secondo"
È un "fisico"
Lo vedete in modo diverso.
È un "fisico"
Lo vedete in modo diverso.
@mgrau
Premesso che mi pare già abbastanza confuso, lasciami finire
Per adesso, non ho ancora parlato di misure ma di "associazioni", "legami", ...
Premesso che mi pare già abbastanza confuso, lasciami finire
Per adesso, non ho ancora parlato di misure ma di "associazioni", "legami", ...
"axpgn":
Tipo "metri al secondo"
È un "fisico"
Lo vedete in modo diverso.
No, non c'entra nulla.
Per me, mgrau la vede così ...
"axpgn":
Per me, mgrau la vede così ...
E sbaglia se il motivo è questo.
Perciò ho chiesto.
@gugo82
[ot]
Quale sarebbe la frase censurabile?[/ot]
[ot]
"gugo82":
Davvero?
E dove l'hai trovato scritto?
Quale sarebbe la frase censurabile?[/ot]
@ mgrau: [ot]L'ho evidenziata appositamente in grassetto.
E non c'entra nulla la censura.[/ot]
E non c'entra nulla la censura.[/ot]
@gugo82
[ot]vuoi dire, se ho capito bene, che un rapporto si dà solo fra grandezze omogeene?[/ot]
[ot]vuoi dire, se ho capito bene, che un rapporto si dà solo fra grandezze omogeene?[/ot]
@ mgrau:
[ot]
Se le vogliamo chiamare così... Ma nel caso specifico non c'è nemmeno da tirare in ballo tutto 'sto armamentario.
Infatti quello di cui si calcola il rapporto è la misura della lunghezza d'arco e la misura della lunghezza del raggio, le quali, essendo misure, sono numeri reali non negativi.[/ot]
[ot]
"mgrau":
@gugo82
vuoi dire, se ho capito bene, che un rapporto si dà solo fra grandezze omogeene?
Se le vogliamo chiamare così... Ma nel caso specifico non c'è nemmeno da tirare in ballo tutto 'sto armamentario.
Infatti quello di cui si calcola il rapporto è la misura della lunghezza d'arco e la misura della lunghezza del raggio, le quali, essendo misure, sono numeri reali non negativi.[/ot]
@gugo82[ot]
Armamentario? Boh...
E poi, io veramente parlavo di rapporto fra arco e angolo, non fra arco e raggio...
Ma, per quanto mi riguarda, possiamo lasciar perdere. Non sono nè un purista nè un nominalista.
e questo anche a proposito della parola "censurabile"(qui) : chissà come ci si deve riferire alle espressioni che non incontrano il tuo favore...
e anche a proposito della bacchettata (oddio, sarà la parola giusta?) che mi hai dato quando ho scritto che un fascio di rette parallele non ha un centro (qui)[/ot]
"gugo82":
Ma nel caso specifico non c'è nemmeno da tirare in ballo tutto 'sto armamentario.
Infatti quello di cui si calcola il rapporto è la misura della lunghezza d'arco e la misura della lunghezza del raggio, le quali, essendo misure, sono numeri reali non negativi.
Armamentario? Boh...
E poi, io veramente parlavo di rapporto fra arco e angolo, non fra arco e raggio...
Ma, per quanto mi riguarda, possiamo lasciar perdere. Non sono nè un purista nè un nominalista.
e questo anche a proposito della parola "censurabile"(qui) : chissà come ci si deve riferire alle espressioni che non incontrano il tuo favore...
e anche a proposito della bacchettata (oddio, sarà la parola giusta?) che mi hai dato quando ho scritto che un fascio di rette parallele non ha un centro (qui)[/ot]
"axpgn":
Hai detto che ti è chiaro che alla circonferenza possiamo associare il numero $2pi$ (alla semicirconferenza la metà cioè $pi$, ad un quarto di circonferenza il numero $pi/2$ e così via).
Ma ti deve essere chiaro che associo il numero $2pi$ ad OGNI circonferenza, indipendentemente dal raggio che sia un millimetro o un anno luce.
Ne consegue che dire "circonferenza" o dire $2pi$ è la stessa cosa.
E così pure per le semicirconferenze e per ogni frazione di circonferenza.
E ricordati che una circonferenza è un arco (e così pure una semicirconferenza e una qualsiasi frazione di circonferenza).
Quindi abbiamo associato archi con numeri, ok?
Ora pensa ad una circonferenza e ad un angolo al centro (come nei tuoi disegni); ogni angolo al centro intercetta sulla circonferenza un arco (per essere precisi due perché divide la circonferenza in due parti ma sorvoliamo su questo per ora e concentriamoci su un arco solo).
Se pensi all'angolo giro (hai presente?) quanta parte della circonferenza intercetta (o sottende che è lo stesso)?
E se pensi all'angolo piatto quanta parte della circonferenza intercetta?
E se pensi all'angolo retto?
Di conseguenza abbiamo questa associazione: Angolo giro - intera circonferenza - numero $2pi$
E quest'altra: Angolo piatto - semicirconferenza - numero $pi$
E così via ... e tutto questo indipendentemente da quanto è grande la circonferenza.
Se è chiaro fino a qui poi proseguiamo ...
Cordialmente, Alex
Fin qui, tutto chiaro. Possiamo andare avanti (comunque dai, sono scemo e tutto, ma è difficile che creda che gli archi si misurano in radianti, anche se da alcune mie "meravigliose" gaffe potrei sembrare incline a ciò...
)
Premessa: non usare il tasto "CITA" per rispondere, non serve a quello! Si deve usare per quotare porzioni dei messaggi precedenti quando le si vuole evidenziare, riportare tutto il messaggio non solo è inutile ma oltremodo fastidioso oltre che costringere l'interlocutore a tentar di capire dove sta la parte importante del post che invece non c'è ...
Per rispondere si usa il tasto "RISPONDI"
Proseguendo nel discorso fatto, abbiamo assodato che è possibile abbinare in modo FISSO e non dipendente dalle dimensioni della circonferenza (cioè non dipendenti dal raggio), parti della circonferenza (ovvero archi che spaziano dal singolo punto all'intera circonferenza) sia a numeri sia ad angoli, ne consegue che, allo stesso modo, è possibile abbinare, in modo FISSO, angoli a numeri, OK?
Per esempio, "angolo giro"=$2pi$, "angolo piatto"=$pi$, "angolo retto"=$pi/2$
Questo è un modo di misurare gli angoli.
Siccome quando si misura una grandezza, è necessario associarle una unità di misura (ovvero un campione di confronto), per "comodità", se così si può dire, anche quando misuriamo gli angoli adottiamo questa "convenzione" e quindi diciamo che l'angolo piatto misura $pi$ radianti.
Ma l'angolo che misura un radiante quanta parte è della circonferenza? È semplice $1/(2pi)$
Va bene fino a qui?
Cordialmente, Alex
P.S.:
Premesso che questo non l'ho detto io ma mgrau, non è poi una cosa del tutto campata in aria; spesso in geometria, quando si parla di archi non si intende solo o unicamente la misura della lunghezza dell'arco ma proprio all'angolo sotteso tant'è vero che le funzioni trigonometriche inverse si chiamano arcotangente, arcoseno, arcocoseno e restituiscono un valore che è quello dell'angolo, in radianti, e non la lunghezza dell'arco in metri.
Per rispondere si usa il tasto "RISPONDI"
Proseguendo nel discorso fatto, abbiamo assodato che è possibile abbinare in modo FISSO e non dipendente dalle dimensioni della circonferenza (cioè non dipendenti dal raggio), parti della circonferenza (ovvero archi che spaziano dal singolo punto all'intera circonferenza) sia a numeri sia ad angoli, ne consegue che, allo stesso modo, è possibile abbinare, in modo FISSO, angoli a numeri, OK?
Per esempio, "angolo giro"=$2pi$, "angolo piatto"=$pi$, "angolo retto"=$pi/2$
Questo è un modo di misurare gli angoli.
Siccome quando si misura una grandezza, è necessario associarle una unità di misura (ovvero un campione di confronto), per "comodità", se così si può dire, anche quando misuriamo gli angoli adottiamo questa "convenzione" e quindi diciamo che l'angolo piatto misura $pi$ radianti.
Ma l'angolo che misura un radiante quanta parte è della circonferenza? È semplice $1/(2pi)$
Va bene fino a qui?
Cordialmente, Alex
P.S.:
"Ema2003":
... ma è difficile che creda che gli archi si misurano in radianti, ...
Premesso che questo non l'ho detto io ma mgrau, non è poi una cosa del tutto campata in aria; spesso in geometria, quando si parla di archi non si intende solo o unicamente la misura della lunghezza dell'arco ma proprio all'angolo sotteso tant'è vero che le funzioni trigonometriche inverse si chiamano arcotangente, arcoseno, arcocoseno e restituiscono un valore che è quello dell'angolo, in radianti, e non la lunghezza dell'arco in metri.
@ mgrau: [ot]
Armamentario? Boh...
E poi, io veramente parlavo di rapporto fra arco e angolo, non fra arco e raggio... [/quote]
Uguale.
Ciò di cui si calcola il rapporto sono le misure, che sono numeri reali non negativi.
Scrivere di rapporto tra due oggetti geometrici non ha molto significato nel quadro teorico di riferimento, non trovi?
E ciò che c'entra?
Sinceramente, cado dalle nuvole.
Non mi aspettavo dei rilievi simili (ed infondati) da parte tua...[/ot]
"mgrau":
@gugo82[quote="gugo82"] Ma nel caso specifico non c'è nemmeno da tirare in ballo tutto 'sto armamentario.
Infatti quello di cui si calcola il rapporto è la misura della lunghezza d'arco e la misura della lunghezza del raggio, le quali, essendo misure, sono numeri reali non negativi.
Armamentario? Boh...
E poi, io veramente parlavo di rapporto fra arco e angolo, non fra arco e raggio... [/quote]
Uguale.
Ciò di cui si calcola il rapporto sono le misure, che sono numeri reali non negativi.
Scrivere di rapporto tra due oggetti geometrici non ha molto significato nel quadro teorico di riferimento, non trovi?
"mgrau":
Ma, per quanto mi riguarda, possiamo lasciar perdere. Non sono nè un purista nè un nominalista.
E ciò che c'entra?
"mgrau":
e questo anche a proposito della parola "censurabile"(qui) : chissà come ci si deve riferire alle espressioni che non incontrano il tuo favore...
e anche a proposito della bacchettata (oddio, sarà la parola giusta?) che mi hai dato quando ho scritto che un fascio di rette parallele non ha un centro (qui)
Sinceramente, cado dalle nuvole.
Non mi aspettavo dei rilievi simili (ed infondati) da parte tua...[/ot]
Sì, so che non l'avevi detto tu, era una risposta generale diciamo. Quanto alle funzioni inverse, è vero, sono d'accordo, non mi era venuto in mente.
Comunque, anche fin qui ci sono. Nel frattempo, ti ringrazio per tutto il tempo che mi stai dedicando e mi auguro di aver risposto in maniera corretta questa volta
Comunque, anche fin qui ci sono. Nel frattempo, ti ringrazio per tutto il tempo che mi stai dedicando e mi auguro di aver risposto in maniera corretta questa volta
Possibile mai che ci vogliano tante pagine e tanti interventi per definire una cosa cosí semplice come il radiante?
https://it.wikipedia.org/wiki/Radiante
E pure nella voce di Wikipedia c’è una cavolata, questa :
il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.
l’autore non sa la differenza tra numero puro e grandezza adimensionale. Ce ne facciamo una ragione?
NO.
@Alex
circa un anno fa scrivevi giustamente questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8463263
e quella discussione che non trovavi forse è questa ?
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p917716
https://it.wikipedia.org/wiki/Radiante
E pure nella voce di Wikipedia c’è una cavolata, questa :
il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.
l’autore non sa la differenza tra numero puro e grandezza adimensionale. Ce ne facciamo una ragione?
NO. @Alex
circa un anno fa scrivevi giustamente questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8463263
e quella discussione che non trovavi forse è questa ?
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p917716
"axpgn":
P.S.: [quote="Ema2003"]... ma è difficile che creda che gli archi si misurano in radianti, ...
Premesso che questo non l'ho detto io ma mgrau, non è poi una cosa del tutto campata in aria; spesso in geometria, quando si parla di archi non si intende solo o unicamente la misura della lunghezza dell'arco ma proprio all'angolo sotteso tant'è vero che le funzioni trigonometriche inverse si chiamano arcotangente, arcoseno, arcocoseno e restituiscono un valore che è quello dell'angolo, in radianti, e non la lunghezza dell'arco in metri.[/quote]
Il punto è proprio questo.
Il fatto che ci sia diretta proporzionalità tra la misura della lunghezza d'arco e quella dell'ampiezza dell'angolo al centro corrispondente consente di identificare le due misure quando il raggio della circonferenza di riferimento è unitario... Infatti a volte si usa il termine "ampiezza di un arco" per denotare quella dell'angolo al centro corrispondente.
"Shackle":
Possibile mai che ci vogliano tante pagine e tanti interventi per definire una cosa cosí semplice come il radiante?
Vedi Shackle, come al solito è una questione di Didattica ... l'articolo di Wikipedia può essere il "non plus ultra" della chiarezza e semplicità ma se non lo è per l'OP, non ce ne facciamo niente.
Tant'è vero che l'OP ha aperto questa discussione proprio perché non comprendeva appieno quello che dice il suo libro (che, almeno dal punto di vista teorico, dovrebbe essere pure meglio di Wikipedia).
Quindi io cerco di fare del mio meglio (si spera
) per chiarirglielo ... ovviamente tutti gli interventi sono benvenuti Cordialmente, Alex
@Alex
concordo con te. Comunque ora volevo evidenziare principalmente che il radiante è una grandezza adimensionale e non un numero puro. Chi dice “numero puro” viene inesorabilmente bocciato all’esame di Macchine.
Se il motore della tua auto fa n= 4000 rpm, cioè giri al minuto, la velocità angolare è uguale a $omega = (2\pin)/(60) (rad) /s $ , e di qui non si scappa. ( ma questa è volgare roba da ingegneri...gentaglia !)
Altro che numero puro, il radiante!
concordo con te. Comunque ora volevo evidenziare principalmente che il radiante è una grandezza adimensionale e non un numero puro. Chi dice “numero puro” viene inesorabilmente bocciato all’esame di Macchine.
Se il motore della tua auto fa n= 4000 rpm, cioè giri al minuto, la velocità angolare è uguale a $omega = (2\pin)/(60) (rad) /s $ , e di qui non si scappa. ( ma questa è volgare roba da ingegneri...gentaglia !)
Altro che numero puro, il radiante!
@Ema
Ricapitolando, abbiamo assodato che esiste un "legame" fisso tra angoli e archi, un legame di proporzionalità diretta (se l'angolo si dimezza, si dimezza l'arco corrispondente e si dimezza la misura corrispondente, rivedi gli esempi fatti: l'angolo piatto è metà dell'angolo giro e difatti la semicirconferenza è lunga la metà della circonferenza e pure il numero associato all'angolo piatto (cioè $pi$) è la metà di quello associato alla circonferenza (cioè $2pi$)).
Quindi se ci dicessero che un angolo misura $pi/3$ noi sappiamo che è un angolo pari a un sesto di circonferenza ($(pi/3)/(2pi)=1/6$).
E ne consegue che se poi volessimo disegnare l'arco corrispondente a tale angolo su una circonferenza ben precisa (ovvero con un raggio $r$ fissato) non dovremmo fare altro che prendere la lunghezza di tale circonferenza ($C=2pir$) e moltiplicarla per $1/6$ ovvero il nostro arco $l$ sarà lungo $l=C*1/6=(2pir)/6=(pir)/3$
E così facendo puoi passare da ampiezze di angoli a lunghezze di archi (specifici di una circonferenza) e viceversa.
Cordialmente, Alex
Ricapitolando, abbiamo assodato che esiste un "legame" fisso tra angoli e archi, un legame di proporzionalità diretta (se l'angolo si dimezza, si dimezza l'arco corrispondente e si dimezza la misura corrispondente, rivedi gli esempi fatti: l'angolo piatto è metà dell'angolo giro e difatti la semicirconferenza è lunga la metà della circonferenza e pure il numero associato all'angolo piatto (cioè $pi$) è la metà di quello associato alla circonferenza (cioè $2pi$)).
Quindi se ci dicessero che un angolo misura $pi/3$ noi sappiamo che è un angolo pari a un sesto di circonferenza ($(pi/3)/(2pi)=1/6$).
E ne consegue che se poi volessimo disegnare l'arco corrispondente a tale angolo su una circonferenza ben precisa (ovvero con un raggio $r$ fissato) non dovremmo fare altro che prendere la lunghezza di tale circonferenza ($C=2pir$) e moltiplicarla per $1/6$ ovvero il nostro arco $l$ sarà lungo $l=C*1/6=(2pir)/6=(pir)/3$
E così facendo puoi passare da ampiezze di angoli a lunghezze di archi (specifici di una circonferenza) e viceversa.
Cordialmente, Alex
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