Definizione

[Sk_Anonymous]

C'è qualcuno che saprebbe darmi la corretta e rigorosa definizione di "o piccolo" e "o grande" portando eventualmente qualche esempio?
Vi ringrazio

[freddofede]

"ENEA84":C'è qualcuno che saprebbe darmi la corretta e rigorosa definizione di "o piccolo" e "o grande" portando eventualmente qualche esempio?
Vi ringrazio

L'o piccolo serve ad indicare una funzione infinitesima in un punto. Per esempio, $lim_(x->0)x^2=0$ equivale a dire che $x^2$ è un o piccolo di 1, cioè $x^2 = o(1)$, per $x->0$. Analogamente $1/x = o(1)$ per $x->+oo$ ...

Nello stesso modo si dice che $f(x) = o(g(x))$ (f(x) è un o piccolo di g(x) ) in $x_0$ se $lim_(x->x_0)(f(x))/(g(x)) = 0$.

Per l'O grande aspetta un secondo...

[freddofede]

Per O grande ho questa definizione: Formalmente, una funzione g (n) ∈ O(f(n)) se esiste una costante c ≠ 0 ed un valore N > 0 per cui g (n) ≤ cf (n) per ogni n > N. Ad esempio, secondo questa definizione, la funzione $g(n) = 2n^2 + 3n + 1 ∈ O(n^2 )$ basta infatti prendere c=6 e già per n=1 si ha $g (n) ≤ 6n^2$. In pratica, g(n) è O(f(n)) se g cresce al massimo quanto f.

[Sk_Anonymous]

Ho trovato sul "Pagani-Salsa" le seguenti
definizioni:
1) Se g è definitivamente diversa da zero per $x->x_0$,allora
$f(x)=o(g(x))$ significa $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$
ovvero che f(x) è infinitesimo di ordine superiore a g per $x->x_0$.
Allora $f(x)=o(1)$ significa semplicemente che $f(x)$ è infinitesimo. Perciò la formula
$lim_(x->x_0)f(x)=l$,se $l in R$, equivale a $f(x)=l+o(1) $ $(x->x_0)$.

2) Nelle medesime ipotesi di sopra
$f(x)=O(g(x))$ significa $f(x)/g(x)$ definitivamente limitato per $x->x_0$.
In particalare,$f(x)=O(1)$ significa che $f(x)$ è definitivamente limitata per $x->x_0$ (ciò non esclude che $f(x)$ possa essere infinitesima).