Dall'area di un segmento Parabolico all'equazione
Mi stavo dilettando con un problema sulle parabole per diletto personale.
Ad un certo punto dovevo determinare l'equazione di una parabola $y=ax^2+bx+c$
Due dati sono il passaggio per due punti.
Mentre il terzo è determinare l'area del segmento parabolico che ha per estremi i due punti.
Ho trovato l'Area ma non so come usare l'area per trovare il terzo elemento da mettere nel sistema a tre incognite per determinare la parabola.
Consigli?
Ad un certo punto dovevo determinare l'equazione di una parabola $y=ax^2+bx+c$
Due dati sono il passaggio per due punti.
Mentre il terzo è determinare l'area del segmento parabolico che ha per estremi i due punti.
Ho trovato l'Area ma non so come usare l'area per trovare il terzo elemento da mettere nel sistema a tre incognite per determinare la parabola.
Consigli?
Risposte
Prima i conti, poi le risposte 
Domanda: l'area del segmento parabolico con gli integrali o con Archimede?
E' la prova della sessione ordinaria della maturità 1982 
Vi salto la parte che ho risolto per conto mio, arriviamo ad un punto dove abbiamo il triangolo ABC con $A(3;0) B(0;sqrt(3)) C(0;2sqrt(3))$
Si determinino i coefficienti dell'equazione $ y=ax^2+bx+c $ in modo che la parabola da essa rappresentata passi per i vertici A e B del triangolo e divida questo in due parti delle quali quella determinata dal lato AB sia la metà dell'altra.
Area di ABC è $A=(3sqrt(3))/2$ perché ho fatto la distanza punto (C) retta (passante per AB)
Per il teorema di Archimede sui segmenti parabolici so che l'area della "sezione" di parabola è $2/3$ di quella del rettangolo con base AB e altezza h.
Quindi due terzi area del rettangolo è uguale a un terzo area del triangolo:
$2/3(2sqrt(3)h)=sqrt(3)/2$
Da cui $A=(3sqrt(3))/4$
(Spero di non aver commesso errori)
Questo mi serve come terza condizione per determinare la parabola essendo la prima e la seconda il passaggio per A e per B ma non so come procedere
Edit: Sono in IV quindi non conosco ancora gli integrali
Vi salto la parte che ho risolto per conto mio, arriviamo ad un punto dove abbiamo il triangolo ABC con $A(3;0) B(0;sqrt(3)) C(0;2sqrt(3))$
Si determinino i coefficienti dell'equazione $ y=ax^2+bx+c $ in modo che la parabola da essa rappresentata passi per i vertici A e B del triangolo e divida questo in due parti delle quali quella determinata dal lato AB sia la metà dell'altra.
Area di ABC è $A=(3sqrt(3))/2$ perché ho fatto la distanza punto (C) retta (passante per AB)
Per il teorema di Archimede sui segmenti parabolici so che l'area della "sezione" di parabola è $2/3$ di quella del rettangolo con base AB e altezza h.
Quindi due terzi area del rettangolo è uguale a un terzo area del triangolo:
$2/3(2sqrt(3)h)=sqrt(3)/2$
Da cui $A=(3sqrt(3))/4$
(Spero di non aver commesso errori)
Questo mi serve come terza condizione per determinare la parabola essendo la prima e la seconda il passaggio per A e per B ma non so come procedere
Edit: Sono in IV quindi non conosco ancora gli integrali
Se sai tutte queste cose, ad occhio direi che puoi anche trovare il punto della parabola che determina $h$. Capito cosa intendo?
Riconosco però che sia un procedimento scomodo, e sicuramente ci sarà qualche trucco più saggio!
Riconosco però che sia un procedimento scomodo, e sicuramente ci sarà qualche trucco più saggio!
Puoi spiegarmi meglio? $h$ credo corrisponda al vertice se condotto perpendicolare ad esso dalla base AB (penso)
Appunto! la parabola identifica un rettangolo di area $A$, tramite un'altezza $h$ relativa ad $AB$. Ma se la parabola ti dà questa $h$ significa che passa da un certo punto che dista $h$ da $AB$.
Quindi mi devo trovare la retta parallela ad $AB$ e a distanza $h$, poi trovarmi il vertice in funzione di $x$ quindi $V(x;...)$ e poi fare distanza Vertice (in funzione di x) retta passante per $AB$ uguale ad $h$?
In questo modo penso si riesca, ma ti conviene molto passare 5 minuti in più a pensare ad un modo migliore.
Infatti ora che ci penso potrei trovare la tangente e porre nella condizione $Δ=0$
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