Da dove arriva il numero e
premetto il fatto che sono conscio di tutto quello che riguarda l'argomento "funzione esponenziale" fino agli integrali ed oltre. mi è sorta una domanda un po' strana, magari voi avete la risposta visto che google può solo riportare quello che altri hanno già scritto 
da dove cavolo arriva la lettera e? perchè vale 2.17 e non 13.78 ad esempio?
non rispondetemi che è definita come:
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$
perchè allora dovreste spiegarmi perchè è definita così e non con un altro limite che portava a quel 13.78
inoltre riuscirei a capire(e non solo imparare a memoria) l'identità di eulero. a proposito, potreste spiegarmi(basta un link naturalmente) come è definita la funzione esponenziale nel campo complesso? magari collegando le varie cose arriverei a intuire tutti i nessi dell'identità di eulero
da dove cavolo arriva la lettera e? perchè vale 2.17 e non 13.78 ad esempio?
non rispondetemi che è definita come:
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$
perchè allora dovreste spiegarmi perchè è definita così e non con un altro limite che portava a quel 13.78
inoltre riuscirei a capire(e non solo imparare a memoria) l'identità di eulero. a proposito, potreste spiegarmi(basta un link naturalmente) come è definita la funzione esponenziale nel campo complesso? magari collegando le varie cose arriverei a intuire tutti i nessi dell'identità di eulero
Risposte
Per iniziare parliamo in campo reale.
Quanto vale questo limite $\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$ ? Si dimostra abbastanza facilmente che è maggiore di 2 e minore di 3, ma non è possibile trovare un numero razionale soluzione di tale limite, quindi ci si trova di fronte al problema di indicare questo numero che inizia con 2,71 ma ha infiniti decimali.
La scelta più opportuna è quella di comportarci come è stato fatto con il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, indicarlo con una lettera, quindi per indicarlo è stato deciso di usare la $e$.
Tutto il resto può essere spiegato e dimostrato, ma la risposta alla tua prima domanda è questa. Migliori approfondimenti li puoi trovare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Nepero
Quanto vale questo limite $\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$ ? Si dimostra abbastanza facilmente che è maggiore di 2 e minore di 3, ma non è possibile trovare un numero razionale soluzione di tale limite, quindi ci si trova di fronte al problema di indicare questo numero che inizia con 2,71 ma ha infiniti decimali.
La scelta più opportuna è quella di comportarci come è stato fatto con il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, indicarlo con una lettera, quindi per indicarlo è stato deciso di usare la $e$.
Tutto il resto può essere spiegato e dimostrato, ma la risposta alla tua prima domanda è questa. Migliori approfondimenti li puoi trovare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Nepero
Il numero $ e $ vale 2.718.......
google e wikipedia li so a memoria tra un po'...è per quello che ho chiesto qui, non vi pare? 
@ @melia
tutto quello che hai scritto lo so e l'ho letto fino alla nausea. il fatto è che vorrei riuscire a capire:
1 perchè la funzione esponenziale con base e è l'unica con derivata e integrale coincidenti con la funzione stessa
2 come posso collegare il fatto delle derivate/integrali con il limite che abbiamo scritto su? immagino c'entri lo sviluppo di taylor ma non riesco a collegarli
ps grazie mille per lo sforzo comunque
@camilli grazie al cavolo
@ @melia
tutto quello che hai scritto lo so e l'ho letto fino alla nausea. il fatto è che vorrei riuscire a capire:
1 perchè la funzione esponenziale con base e è l'unica con derivata e integrale coincidenti con la funzione stessa
2 come posso collegare il fatto delle derivate/integrali con il limite che abbiamo scritto su? immagino c'entri lo sviluppo di taylor ma non riesco a collegarli
ps grazie mille per lo sforzo comunque
@camilli grazie al cavolo
Mi sembra di capire che nel post iniziale tu abbia trascurato di dire una cosa importante, che hai detto dopo:
1 perchè la funzione esponenziale con base e è l'unica con derivata e integrale coincidenti con la funzione stessa
Tanto è vero che stavo per risponderti così:
La più semplice e più importante equazione differenziale, $y'=y$ è soddisfatta da $y(x) = e^x$ (e suoi "multipli". Per capirci: $ke^x$).
Questa è una buona ragione per occuparsi di "e".
Che quel buffo limite di successione faccia "e" è meno importante (anche se poi si ricollega a quanto detto sopra).
Ma, visto che le tue domande cambiano "in progress", anch'io "cambio" la mia risposta.
La risposta alla tua nuova domanda è molto banale. C'è un teorema (molto importante) che lo dimostra. E' il teorema di esistenza ed unicità per le soluzioni dei problemi di Cauchy (che vuol dire: equazione differenziale + condizione iniziale).
Se hai un po' di tempo da perdere, qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
trovi una introduzione proprio ai problemi di Cauchy:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.pdf
[size=75]PS: si scrive "perché", non "perchè"[/size]
1 perchè la funzione esponenziale con base e è l'unica con derivata e integrale coincidenti con la funzione stessa
Tanto è vero che stavo per risponderti così:
La più semplice e più importante equazione differenziale, $y'=y$ è soddisfatta da $y(x) = e^x$ (e suoi "multipli". Per capirci: $ke^x$).
Questa è una buona ragione per occuparsi di "e".
Che quel buffo limite di successione faccia "e" è meno importante (anche se poi si ricollega a quanto detto sopra).
Ma, visto che le tue domande cambiano "in progress", anch'io "cambio" la mia risposta.
La risposta alla tua nuova domanda è molto banale. C'è un teorema (molto importante) che lo dimostra. E' il teorema di esistenza ed unicità per le soluzioni dei problemi di Cauchy (che vuol dire: equazione differenziale + condizione iniziale).
Se hai un po' di tempo da perdere, qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
trovi una introduzione proprio ai problemi di Cauchy:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.pdf
[size=75]PS: si scrive "perché", non "perchè"[/size]
Per cominciare dico subito che io sono uno studente di ingegneria quindi forse il meno adatto a darti certe spiegazioni, però ci provo lo stesso, mi scuso sin da ora se dirò cose sbagliate o che possano confonderti ancora di più.
Prima di tutto un paio di perplessità: sei nel forum superiori e si parla di funzione esponenziale complessa, identità di eulero e già a dicembre dici di sapere tutto riguardo gli integrali e oltre?
Comunque credo la tua domanda sia più che lecita e sia dovuto al fatto che la matematica nasce come soluzione ad alcuni problemi ma per risolverli se ne astrae completamente, e più l'astrazione è marcata più la soluzione è generale. Io credo sarebbe compito dei docenti non far perdere mai di vista lo scopo delle cose che si spiegano. Cioè fermo restando che in matematica si può definire qualsiasi cosa tu ti chiedi perchè proprio questa definizione. Ripeto si tratta di una domanda lecita ma più vai avanti con la matematica più dovrai rassegnarti a non capire subito il perchè di tante cose. Non voglio dire che devi imparare a memoria ma l'approccio di solito è questo: diciamo (tanto per fare un esempio) che io voglio calcolare l'area del mio campo (più pratico e concreto di così...) e quindi cerco di creare un modello matematico che mi risolva il problema (sai cosa sono i modelli?) Diciamo che ci sono riuscito e per calcolare questa benedetta area diciamo che devo applciare in sequenza 50 teoremi. Io che li ho "inventati" io stesso non ho problemi a seguire il filo logico e non mi meraviglio se magari nell'applicare i primi teoremi faccio calcoli che sembrano non centrare niente con l'area che voglio calcolare. Storicamente i grandi problemi della matematica vengono risolti nel corso degli anni con il contributo di tanti matematici diversi. Per di più la maggior parte dei libri e dei docenti ha un approccio del tipo: ti spiego prima i 50 teormei necessari e poi ti faccio vedere che sfruttando questi 50 teormei tu puoi calcolare finalmente la'rea del tuo campo. Quindi capisci bene che è facile quando ti viene spiegato ad esempio il primo dei 50 teoremi necessari tu non riesca a vederne il perchè.
In ogni caso, dopo questa lunga ma secondo me necessaria premessa, veniamo allo specifico della tua domanda.
Tu ti sei chiesto il perchè di e e non il perchè di pigreco. Questo ti pare giusto perchè tu per pigreco una "giustificazione" ce l'hai: è il rapporto fra la circonferenza e il suo diametro!
Una cosa "simile" è anche per e: il problema è quello di calcolare l'area sotto un'iperbole equilatera compresa fra la retta x=1 e una generica retta x=a (non so inserire disegni:-[ ) Dato che dici di conoscere gli integrali non dovresti avere problemi a convincerti del fatto che puoi pensare tale area come la somma dell'area di tanti opportuni rettangoli.
Se mi stai ancora leggendo adesso la domanda che ti dovresti porre è: quali rettangoli mi conviene prendere? con quale base? con quale altezza?
Prima di leggere la risposta cerca di dartene una da solo. Secondo me la giusta risposta a questa domanda distingue un matematico da uno come noi che sta imparando la matematica.
Comunque la grande intuizione (se nons baglio di un sacerdote nel XVII secolo) fu quella di dire $(a^n-a^(n-1))(1/a^n)=1-1/a$ per qualsiasi valore di n. Quindi si disse perdiamo n rettangoli con base $(a^1-a^0),(a^2-a^1),...(a^n-a^(n-1))$e altezza $1/a,1/a^2,...,1/a^n$.
A questo punto chiamiamo tutta quest'area che stiamo cercando $f(a^n)$ e possiamo dire che vale $f(a^n)=n(1-1/a)$ È facile notare che se chiamiamo $f(a)$ l'area di un solo rettangolino $(1-1/a)$ vale la relazione $f(a^n)=nf(a)$ proprietà molto simile a quella dei logaritmi; allo stesso modo si vede che verifica anche altre proprietà dei logaritimi (ad esempio quelle della somma e della differenza).
Dal verificare queste proprietà al voler esprimere quest'area fra l'iperbole equilatera, l'asse delle x la retta x=1 e la retta generica di ascissa x con una funzione logaritmica il passo capisci che è breve.
Se mi stai ancora leggendo dovresti chiederti: ok ha le proprietà dei logaritmi ma di quali logaritmi? cioè con quale base? Beh la risposta non è difficile: per quello ceh sappiamo sui logaritmi possiamo dire che $log_(b) (b)=1$
Quindi per trovare la base che sto cercando mi basta cercare quel valore di x per cui l'area sotto l'iperbole fra la retta x=1 e la retta generica di ascissa x vale proprio 1. Chiamiamo proprio e questo numero.
Quindi alla domanda che cos'è il numero e la prima risposta che si dovrebbe dare è: è quel numero reale tale che l'area compresa fra l'iperbole equilatera, la retta x=1 e la retta x=e vale proprio 1.
In quuest'ultima frase hai avuto finalmente (credo) la risposta alla domanda che avevi fatto
Tutto il resto è fuffa! Cioè se prendi la successione (sai cosa sono le successioni?) $a_n=(1+1/n)^n$ si dimostra che questa successione ammette un limite finito (e puoi calcolarne un valore approssimato) proprio pari al numero e definito sopra.
Prima di tutto un paio di perplessità: sei nel forum superiori e si parla di funzione esponenziale complessa, identità di eulero e già a dicembre dici di sapere tutto riguardo gli integrali e oltre?
Comunque credo la tua domanda sia più che lecita e sia dovuto al fatto che la matematica nasce come soluzione ad alcuni problemi ma per risolverli se ne astrae completamente, e più l'astrazione è marcata più la soluzione è generale. Io credo sarebbe compito dei docenti non far perdere mai di vista lo scopo delle cose che si spiegano. Cioè fermo restando che in matematica si può definire qualsiasi cosa tu ti chiedi perchè proprio questa definizione. Ripeto si tratta di una domanda lecita ma più vai avanti con la matematica più dovrai rassegnarti a non capire subito il perchè di tante cose. Non voglio dire che devi imparare a memoria ma l'approccio di solito è questo: diciamo (tanto per fare un esempio) che io voglio calcolare l'area del mio campo (più pratico e concreto di così...) e quindi cerco di creare un modello matematico che mi risolva il problema (sai cosa sono i modelli?) Diciamo che ci sono riuscito e per calcolare questa benedetta area diciamo che devo applciare in sequenza 50 teoremi. Io che li ho "inventati" io stesso non ho problemi a seguire il filo logico e non mi meraviglio se magari nell'applicare i primi teoremi faccio calcoli che sembrano non centrare niente con l'area che voglio calcolare. Storicamente i grandi problemi della matematica vengono risolti nel corso degli anni con il contributo di tanti matematici diversi. Per di più la maggior parte dei libri e dei docenti ha un approccio del tipo: ti spiego prima i 50 teormei necessari e poi ti faccio vedere che sfruttando questi 50 teormei tu puoi calcolare finalmente la'rea del tuo campo. Quindi capisci bene che è facile quando ti viene spiegato ad esempio il primo dei 50 teoremi necessari tu non riesca a vederne il perchè.
In ogni caso, dopo questa lunga ma secondo me necessaria premessa, veniamo allo specifico della tua domanda.
Tu ti sei chiesto il perchè di e e non il perchè di pigreco. Questo ti pare giusto perchè tu per pigreco una "giustificazione" ce l'hai: è il rapporto fra la circonferenza e il suo diametro!
Una cosa "simile" è anche per e: il problema è quello di calcolare l'area sotto un'iperbole equilatera compresa fra la retta x=1 e una generica retta x=a (non so inserire disegni:-[ ) Dato che dici di conoscere gli integrali non dovresti avere problemi a convincerti del fatto che puoi pensare tale area come la somma dell'area di tanti opportuni rettangoli.
Se mi stai ancora leggendo adesso la domanda che ti dovresti porre è: quali rettangoli mi conviene prendere? con quale base? con quale altezza?
Prima di leggere la risposta cerca di dartene una da solo. Secondo me la giusta risposta a questa domanda distingue un matematico da uno come noi che sta imparando la matematica.
Comunque la grande intuizione (se nons baglio di un sacerdote nel XVII secolo) fu quella di dire $(a^n-a^(n-1))(1/a^n)=1-1/a$ per qualsiasi valore di n. Quindi si disse perdiamo n rettangoli con base $(a^1-a^0),(a^2-a^1),...(a^n-a^(n-1))$e altezza $1/a,1/a^2,...,1/a^n$.
A questo punto chiamiamo tutta quest'area che stiamo cercando $f(a^n)$ e possiamo dire che vale $f(a^n)=n(1-1/a)$ È facile notare che se chiamiamo $f(a)$ l'area di un solo rettangolino $(1-1/a)$ vale la relazione $f(a^n)=nf(a)$ proprietà molto simile a quella dei logaritmi; allo stesso modo si vede che verifica anche altre proprietà dei logaritimi (ad esempio quelle della somma e della differenza).
Dal verificare queste proprietà al voler esprimere quest'area fra l'iperbole equilatera, l'asse delle x la retta x=1 e la retta generica di ascissa x con una funzione logaritmica il passo capisci che è breve.
Se mi stai ancora leggendo dovresti chiederti: ok ha le proprietà dei logaritmi ma di quali logaritmi? cioè con quale base? Beh la risposta non è difficile: per quello ceh sappiamo sui logaritmi possiamo dire che $log_(b) (b)=1$
Quindi per trovare la base che sto cercando mi basta cercare quel valore di x per cui l'area sotto l'iperbole fra la retta x=1 e la retta generica di ascissa x vale proprio 1. Chiamiamo proprio e questo numero.
Quindi alla domanda che cos'è il numero e la prima risposta che si dovrebbe dare è: è quel numero reale tale che l'area compresa fra l'iperbole equilatera, la retta x=1 e la retta x=e vale proprio 1.
In quuest'ultima frase hai avuto finalmente (credo) la risposta alla domanda che avevi fatto
Tutto il resto è fuffa! Cioè se prendi la successione (sai cosa sono le successioni?) $a_n=(1+1/n)^n$ si dimostra che questa successione ammette un limite finito (e puoi calcolarne un valore approssimato) proprio pari al numero e definito sopra.
. . . “da dove arriva il numero $e$ ?” . . . da dove vuoi.
Che cos’è? : $e$ è il numero irrazionale che ha proprietà taumaturgiche (per la matematica).
Vuoi saperne di più? Studia la matematica per almeno 40 anni .
Che cos’è? : $e$ è il numero irrazionale che ha proprietà taumaturgiche (per la matematica).
Vuoi saperne di più? Studia la matematica per almeno 40 anni .
STRAquoto la risposta di Feliciano!
mi ha chiarito un paio di idee pure a me! grande
mi ha chiarito un paio di idee pure a me! grande
"Feliciano":ho 18 anni, itis informatica, 5a. abbiamo appena finito tutto il campo degli integrali definiti e a gennaio riprenderemo con quelli indefiniti. il fatto è che mi sta appassionando un libro che penso alcuni/molti di voi conoscano che parla dell'ipotesi di riemann. ad un certo punto viene usata la funzione zeta con argomenti complessi e visto che viene nominato il fatto che fornisco alla funzione esponenziale argomenti complessi mi ritrovo una funzione periodica quale la sinusoide mi ha reso parecchio curioso. com'è possibile che inserendo numeri immaginari nella funzione esponenziale mi ritrovi il seno? immagino per lo stesso motivo per cui vale l'identità di eulero. ed è per questo che vorrei collegare il tutto, non mi piace prendere per assunto nulla senza capirlo
Per cominciare dico subito che io sono uno studente di ingegneria quindi forse il meno adatto a darti certe spiegazioni, però ci provo lo stesso, mi scuso sin da ora se dirò cose sbagliate o che possano confonderti ancora di più.
Prima di tutto un paio di perplessità: sei nel forum superiori e si parla di funzione esponenziale complessa, identità di eulero e già a dicembre dici di sapere tutto riguardo gli integrali e oltre?
.
ti ringrazio perchè anche se spevo già la storia dell'area sotto l'iperbole equilatera tu mi hai fatto vedere il problema dall'angolazione opposta. che era proprio la spiegazione geometrica della provenienza di e. naturalmente quella di pi me l'avevano spiegata a suo tempo quindi non mi sono riposto la domanda semplicemente perchè ero soddisfatto della spiegazione che avevo ricevuto
tanto per essere sicuro, correggimi se sbaglio, quello che mi hai detto sarebbe la descrizione a parole di: $\int_1^e dx/x = 1$
adesso però mi devo chiedere perchè tra le tante funzioni che potevano darmi questa benedetta e la natura ha scelto proprio l'iperbole equilatera
e naturalmente passare al capire perchè $\e^i$ mi fa una sinusoide
adesso picchiatemi pure
"tubazza123":
adesso però mi devo chiedere perchè tra le tante funzioni che potevano darmi questa benedetta e la natura ha scelto proprio l'iperbole equilatera
e naturalmente passare al capire perchè $\e^i$ mi fa una sinusoide
adesso picchiatemi pure
Caro tubazza, mi sei molto simpatico! A cominciare dal nick... Forse perchè mi ricordi che anch'io alla tua età ero acceso da questo sacro
fuoco del capire i perchè più profondi nascosti tra le pieghe della matematica. Perchè la natura abbia scelto l'iperbole equilatera è una domanda molto simile a quelle della serie ... chi siamo? ... da dove veniamo? eh, eh!!
E questo riporta ad un'annosa e mai risolta questione se la matematica sia un'invenzione umana o è l'uomo che scova la ratio che è già insita nella natura... Come vedi il livello è Marzulliano, eh, eh!!!
Ma se vai avanti negli studi, scopri che man mano il mosaico si ricompone e cominci a mettere tutti i tasselli al posto giusto. Peccato però che più ti si svelano indizi, più il giallo si complica; in matematica non fai in tempo a toglierti un dubbio che ti si aprono nuove infinite avventure di pensiero.
Può sembrare frustrante ma è meravigliosamente intrigante e, se riesci a non mandare tutto a p.. , scopri che anche l'arte di attendere i momenti giusti per capire le cose ha un suo perchè!
coraggio
"tubazza123":
tanto per essere sicuro, correggimi se sbaglio, quello che mi hai detto sarebbe la descrizione a parole di: $\int_1^e dx/x = 1$
e naturalmente passare al capire perchè $\e^i$ mi fa una sinusoide
adesso picchiatemi pure
Dunque secondo me stai correndo un po' troppo, comunque non sarò certo io a fermarti.
Quello che ti ho detto prima puoi chiaramente vederla come la descrizione a parole di quell'integrale però se mi permetti così me la sminuisci: cioè gli integrali non erano ancora stati inventati quando sono stati fatti questi ragionamenti.
Per quanto riguarda poi la funzione complessa e la conseguente identità di Eulero comincio col dirti che io l'ho studiata solo quest'anno al secondo anno di ingegneria. Adesso non mi sembra il caso di farti un trattato nozionistico sulla questione non per niente facile. Però se il tuo problema è giustificare $e^j+1=0$ puoi semplicemente prendere la formula di eulero come definizione; cioè DEFINISCI nel campo complesso la funzione esponenziale come $e^(jx)=cosx+jsinx$. Da qui puoi facilmente verificare che $e^(J.pi)=cos(.pi)+jsin(.pi)$ da cui ricavi banlmente l'identità di eulero.
Se poi questa come DEFINIZIONE (e ti dico che all'inizio dell'anno ce l'hanno presentata proprio come definizione) non ti convince e vuoi capire come è venuto in mente a qualcuno di darla puoi vedere la cosa così: (in questo modo ti ricolleghi anche all'altra tua questione sull'identità fra funzione esponenziale e sua derivata)
Naturalmente ti dirò giusto qualcosina che contribuirà semplicemnte a confonderti di più e accendere ancora di più la tu acuriosità perchè spiegarti tutto sarebbe impossibile (soprattutto in un forum).
Praticamente diciamo che a me serve una funzione la cui derivata sia uguale alla funzioen stessa (mi serve perchè è "comoda" in numerose applciazioni). Osservo che la la derivata della "funzione" $1+x+x^2/2+x^3/6+...x^n/(n!)$ è proprio $1+x+x^2/2+x^3/6+...x^(n-1)/((n-1)!)$ che per n che tende all'infinito sono esattamente la stessa cosa.
Quindi adesso dovresti accettare con meno riserve il fatto ceh qualcunoa bbia deciso di DEFINIRE la funzione esponenziale nel campo complesso proprio come $e^z$ = (per definizione) $1+z+z^2/2+z^3/6+...z^n/(n!)$ (conosci le serie?)
Da questa definizione, conoscendo la formula di Taylor (la conosci?)e i modi di rappresentazione dei numeri complessi, si ricava facilmente la formula di eulero che prima ti ho presentato come definizione.
"Feliciano":complimenti sinceri
al secondo anno di ingegneria
feliciano ti voglio bene!
conosco le serie e lo sviluppo di taylor solo per curiosità personale e la stessa cosa vale per le equazioni differenziali visto che le studierò nei prossimi 4 mesi. quindi anche se ho compreso abbastanza di quello che mi hai detto rimango con qualche dubbio che immagino verrà risolto tra breve. grazie ancora di tutto e per lo sbattimento che ti sei dato fino ad ora.
una cosa ancora: se uso il piano di argand per rappresentare i numeri reali e immaginari è semplice capire come la funzione esponenziale si possa attuare tramite un semplice procedimento. mi sposto dall'origine x volte la misura della base della funzione verso destra se la base è positiva e verso sinistra se è negativa.
una descrizione come questa per l'esponenziale complessa si può dare?
conosco le serie e lo sviluppo di taylor solo per curiosità personale e la stessa cosa vale per le equazioni differenziali visto che le studierò nei prossimi 4 mesi. quindi anche se ho compreso abbastanza di quello che mi hai detto rimango con qualche dubbio che immagino verrà risolto tra breve. grazie ancora di tutto e per lo sbattimento che ti sei dato fino ad ora.
una cosa ancora: se uso il piano di argand per rappresentare i numeri reali e immaginari è semplice capire come la funzione esponenziale si possa attuare tramite un semplice procedimento. mi sposto dall'origine x volte la misura della base della funzione verso destra se la base è positiva e verso sinistra se è negativa.
una descrizione come questa per l'esponenziale complessa si può dare?
$z = e^(i\theta)$ fa un cerchio, perchè sei nel piano dei numeri complessi.. non una sinusoide..
certo ci sono mille altre cose da dire..
la butto lì per aumentare la confusione.. mi sembra che non è stato detto..
certo ci sono mille altre cose da dire..
la butto lì per aumentare la confusione.. mi sembra che non è stato detto..
cavolo adesso sono abbastanza confuso. mi spiegate bene questa storia del cerchio? se possibile anche con qualcosa di grafico visto che si è dimostrato un metodo abbastanza semplice per farmi capire il concetto di $pi$ ed $e$ ?
ps buon natale, dopo il cenone, quando uno non riesce a dormire si piazza al pc a cazzeggiare
ps buon natale, dopo il cenone, quando uno non riesce a dormire si piazza al pc a cazzeggiare
“…adesso sono abbastanza confuso”, buon segno vuol dire che incominci a capire qualche cosa.
Definizioni:
“$\pi$ is the ratio between circumference and diameter shared by all circles.”
“$e$ is the base amount of growth shared by all continually growing processes.”
La prima la conosci, la seconda … hai tutte le vacanze di Natale per capirla.
Definizioni:
“$\pi$ is the ratio between circumference and diameter shared by all circles.”
“$e$ is the base amount of growth shared by all continually growing processes.”
La prima la conosci, la seconda … hai tutte le vacanze di Natale per capirla.
"GIBI":vorrei essere conscio di capirlo però
“…adesso sono abbastanza confuso”, buon segno vuol dire che incominci a capire qualche cosa.
ora ho le definizioni geometriche di $pi$(che naturalmente sapevo già) e $e$ e tanto mi basta per capire da dove escono fuori.
rimangono però i dubbi sulle funzioni esponenziali complesse. se qualcuno mi chiarisse anche questo mi farebbe un grandissimo favore
la domanda principale è questa:
una cosa ancora: se uso il piano di argand per rappresentare i numeri reali e immaginari è semplice capire come la funzione esponenziale si possa attuare tramite un semplice procedimento. mi sposto dall'origine x volte la misura della base della funzione verso destra se la base è positiva e verso sinistra se è negativa.
una descrizione come questa per l'esponenziale complessa si può dare?
Il numero $e$ può essere visto veramente in tantissimi modi.
Vi propongo questa definizione alternativa di $e$:
un punto materiale si muove lungo un segmento di lunghezza uguale a $1$ metro,
partendo da un estremo del segmento verso l'altro con velocità iniziale $1$ $m/s$ e
tale che la sua velocità sia data dalla formula
$v = 1 - x$
dove $x$ indica lo spazio percorso dall'inizio.
In pratica la velocità del punto materiale decresce linearmente con lo spazio percorso.
Cosa c'entra il numero $e$ con questa storia?
Semplice:
$e = 1/(1-x(1))$
cioè
$e$ è il reciproco della strada che resta da percorrere quando è
passato 1 secondo dall'inizio.
Vi propongo questa definizione alternativa di $e$:
un punto materiale si muove lungo un segmento di lunghezza uguale a $1$ metro,
partendo da un estremo del segmento verso l'altro con velocità iniziale $1$ $m/s$ e
tale che la sua velocità sia data dalla formula
$v = 1 - x$
dove $x$ indica lo spazio percorso dall'inizio.
In pratica la velocità del punto materiale decresce linearmente con lo spazio percorso.
Cosa c'entra il numero $e$ con questa storia?
Semplice:
$e = 1/(1-x(1))$
cioè
$e$ è il reciproco della strada che resta da percorrere quando è
passato 1 secondo dall'inizio.
spiegata in una maniera un po' più "matematica"?
intendo con funzioni, derivate eccecc
intendo con funzioni, derivate eccecc
"tubazza123":
spiegata in una maniera un po' più "matematica"?
intendo con funzioni, derivate eccecc
Semplice:
$dx/dt = 1 - x$
$x(0) = 1$
dove $t$ è il tempo.
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