Curiosità Logaritmica
Salve a tutti,
I Logaritmi dovrebbero semplificare i calcoli, almeno cosi riporta il mio libro di analisi con un bel esempio :
$ 1024:64 $ utilizzando i Logaritmi diventa:
$ log_2 1024 =10 $ e $ log_2 64 =6 $ ottenendo $10-6=4$ di cui $ log_2 4 =16 $ infatti!
$ 1024:64=16 $
Ho provato a fare un esempio
$720:30=24$ utilizzando i logaritmi non è affatto facile trovare il $ log_2 720 =9.493 $ ipotizzando di fare tutti i conti con carta e penna .....
Dove sbaglio?
I Logaritmi dovrebbero semplificare i calcoli, almeno cosi riporta il mio libro di analisi con un bel esempio :
$ 1024:64 $ utilizzando i Logaritmi diventa:
$ log_2 1024 =10 $ e $ log_2 64 =6 $ ottenendo $10-6=4$ di cui $ log_2 4 =16 $ infatti!
$ 1024:64=16 $
Ho provato a fare un esempio
$720:30=24$ utilizzando i logaritmi non è affatto facile trovare il $ log_2 720 =9.493 $ ipotizzando di fare tutti i conti con carta e penna .....
Dove sbaglio?
Risposte
Non è sempre comodo passare per i logaritmi.
Partiamo dall'inizio:
Tu vuoi risolvere $m/n$ (ad esempio $1024/64$ oppure $720/30$)
Sfruttando una proprietà dei logaritmi, si ha che $m/n=a^(log_a m/n)$ (nel nostro caso avevamo $a=2$)
Sfruttando un'altra proprietà, si arriva ad avere $m/n=a^(log_a m - log_a n)$
Questo è ciò che si sfrutta per "semplificare" la divisione"
Quindi la divisione può essere semplificata con i logaritmi solo se esiste un certo numero $a$ tale che $log_a m$ e $log_a n$ sono facilmente calcolabili.
Nell'esempio proposto dal libro, abbiamo $m=1024$ ed $n=16$, che sono (guarda caso) potenze di $2$.
Nel tuo esempio non esiste alcun numero tale che sia $720$ che $30$ siano potenze (intere) di quel numero
Partiamo dall'inizio:
Tu vuoi risolvere $m/n$ (ad esempio $1024/64$ oppure $720/30$)
Sfruttando una proprietà dei logaritmi, si ha che $m/n=a^(log_a m/n)$ (nel nostro caso avevamo $a=2$)
Sfruttando un'altra proprietà, si arriva ad avere $m/n=a^(log_a m - log_a n)$
Questo è ciò che si sfrutta per "semplificare" la divisione"
Quindi la divisione può essere semplificata con i logaritmi solo se esiste un certo numero $a$ tale che $log_a m$ e $log_a n$ sono facilmente calcolabili.
Nell'esempio proposto dal libro, abbiamo $m=1024$ ed $n=16$, che sono (guarda caso) potenze di $2$.
Nel tuo esempio non esiste alcun numero tale che sia $720$ che $30$ siano potenze (intere) di quel numero
tra l'altro logaritmo in base 2 di 16 è uguale a 4.
logaritmo in base 2 di 4 non è uguale a 16.
logaritmo in base 2 di 4 non è uguale a 16.
"deian91":Si, infatti.
tra l'altro logaritmo in base 2 di 16 è uguale a 4.
logaritmo in base 2 di 4 non è uguale a 16.
Una volta arrivati a $10-6=4$ bisognava applicare l'esponenziale, non il logaritmo: $2^4=16$
"ybor4":
Salve a tutti,
I Logaritmi dovrebbero semplificare i calcoli, almeno cosi riporta il mio libro di analisi con un bel esempio :
$ 1024:64 $ utilizzando i Logaritmi diventa:
$ log_2 1024 =10 $ e $ log_2 64 =6 $ ottenendo $10-6=4$ di cui $ log_2 4 =16 $ infatti!
$ 1024:64=16 $
Ho provato a fare un esempio
$720:30=24$ utilizzando i logaritmi non è affatto facile trovare il $ log_2 720 =9.493 $ ipotizzando di fare tutti i conti con carta e penna .....
Dove sbaglio?
I logaritmi sono stati inventati quando non c'erano le calcolatrici, e i log trasformano le moltiplicazioni in addizioni.
Converrai con me che moltiplicare 10 numeri di fila è più complicato che sommarli.
Oggi questi discorsi non hanno molto più senso ed esistono libri migliori di quello che stai usando.
Grazie per le delucidazioni come sempre molto chiare e concise.
Vorrei chiedervi un ulteriore delucidazione, utilizzando o logaritmi come posso calcolare il tasso di interesse su una determinata cifra?
Provo a spiegarmi meglio, se ad esempio decidessi di depositare 1000 euro su un conto e la banca mi offrisse il 7 per cento annuo, utilizzando i logaritmi potrei calcolare il mio ammontare dopo n anni? se si come?
Naturalmente calcolandomi anno per anno il mio saldo in funzione del tasso di interesse troverei il risultato ad esempio il primo anno avrei 1070 il secondo anno avrei 1144,9 il terzo anno avrei 1225,043 e via dicendo magari con i logaritmi è più semplice....
Vorrei chiedervi un ulteriore delucidazione, utilizzando o logaritmi come posso calcolare il tasso di interesse su una determinata cifra?
Provo a spiegarmi meglio, se ad esempio decidessi di depositare 1000 euro su un conto e la banca mi offrisse il 7 per cento annuo, utilizzando i logaritmi potrei calcolare il mio ammontare dopo n anni? se si come?
Naturalmente calcolandomi anno per anno il mio saldo in funzione del tasso di interesse troverei il risultato ad esempio il primo anno avrei 1070 il secondo anno avrei 1144,9 il terzo anno avrei 1225,043 e via dicendo magari con i logaritmi è più semplice....
Per il calcolo del montante (così si chiama correttamente la somma tra capitale iniziale e interessi) non servono i logaritmi, basta una potenza:
$M=C(1+i)^n$, dove M è il montante, C il capitale iniziale, i il tasso di interesse e n il numero di periodi di capitalizzazione.
Se hai 1000 € e li capitalizzi al tasso del 7% annuo per 5 anni ottieni $M=1000*(1+7/100)^5$
I logaritmi servono per il calcolo di una delle inverse: trovare $n$ conoscendo gli altri dati.
$M=C(1+i)^n$, dove M è il montante, C il capitale iniziale, i il tasso di interesse e n il numero di periodi di capitalizzazione.
Se hai 1000 € e li capitalizzi al tasso del 7% annuo per 5 anni ottieni $M=1000*(1+7/100)^5$
I logaritmi servono per il calcolo di una delle inverse: trovare $n$ conoscendo gli altri dati.
Potresti farmi un esempio gentilmente?
Ipotizzando che il mio capitale iniziale sia di 1000 euro e dopo cinque anni ho un montante di 1402,55 come uso i logaritmi per il calcolo dell'interesse?
Ipotizzando che il mio capitale iniziale sia di 1000 euro e dopo cinque anni ho un montante di 1402,55 come uso i logaritmi per il calcolo dell'interesse?
Fai 1402.55/1000, ne calcoli il logaritmo e dividi per 5.
Quello che ottieni è circa l'interesse. Circa significa che va bene per interessi bassi <1%, tanto per fare un esempio.
$log (1+x) \approx x, \ x \to 0$
Quello che ottieni è circa l'interesse. Circa significa che va bene per interessi bassi <1%, tanto per fare un esempio.
$log (1+x) \approx x, \ x \to 0$
"ybor4":
Potresti farmi un esempio gentilmente?
Ipotizzando che il mio capitale iniziale sia di 1000 euro e dopo cinque anni ho un montante di 1402,55 come uso i logaritmi per il calcolo dell'interesse?
Basta usare la formula $M=C(1+i)^n$ da cui $M/C=(1+i)^n$ adesso passo tutto al logaritmo (di solito si usa quello in base 10, ma non cambia molto) $log(M/C)=log(1+i)^n$ applico un teorema sui logaritmi $log(M/C)=n*log(1+i)$ divido per n $log(M /C)/n=log(1+i)$ applico la funzione esponenziale, inversa del logaritmo, $10^(log(M/C)/n)=1+i$ e per finire ottengo $i=10^(log(M/C)/n)-1$
Sostituendo i valori dati: $i=10^(log(1402.55/1000)/5)-1=$si ottiene $i=0,069999$ che approssimato è $i=0,07=7$%
Grazie Mille
Non mi torna un ultima cosa, utilizzando i logaritmi dovrei poter semplificare i calcoli delle potenze.
Ad esempio se dovessi risolvere $ (1,015)^30 $ come semplifico i calcoli utilizzando i Logaritmi?
Per quello che ho capito dovrei utilizzare questa proprietà dei logaritmi $ log_a b^n $ che da $ n log_a b $ ...
Grazie anticipatamente per l'aiuto!
Ad esempio se dovessi risolvere $ (1,015)^30 $ come semplifico i calcoli utilizzando i Logaritmi?
Per quello che ho capito dovrei utilizzare questa proprietà dei logaritmi $ log_a b^n $ che da $ n log_a b $ ...
Grazie anticipatamente per l'aiuto!
Esatto, operi così
$b^n= antilog_a(log_a b^n)=antilog_a(n*log_a b)$
$b^n= antilog_a(log_a b^n)=antilog_a(n*log_a b)$
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