Curiosità...
qualcuno sa come si dimostra che la serie aurea (si chiama così?)
tende a
grazie in anticipo!:hi
[math]\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...[/math]
tende a
[math]+\infty[/math]
?grazie in anticipo!:hi
Risposte
Beh...a me pare ke tende a
[math]-\infty[/math]
:concome fa la somma di infiniti numeri positivi a tendere a
[math]-\infty[/math]
???
sorry...la somma!! pensavo la successione...scusa!
perchè la successione dovrebbe tendere a - infinito? scusa, ma proprio non capisco! dovrebbe tendere a 0, perchè
o meglio
(sempre che si scriva così!:lol)
[math]\frac{1}{\infty}=0[/math]
o meglio
[math]\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \end{matrix}=0[/math]
(sempre che si scriva così!:lol)
Ok...ok...sto fuori hai ragione!
non preoccuparti... anzi, grazie per esserti interessato!
è una serie armonica, la dimostrazione se vuoi te la faccio (forse domani perchè oggi nn ho tempo) ma è con gli integrali
con gli integrali direi di no... non so neanche cosa siano!
cmq, so che la cosa può sembrare strana, ma se consideri la funzione y=1/x (che richiama 1/n), vedi che è un'iperbole equilatera che a infinito va a 0, tuttavia nn è sufficiente per dire che converge.
l'integrale (definito) di una funzione nn è altro che l'area del sottografico, cioè quella compresa tra funzione e asse x. calcolando l'integrale (anche se nn lo sai fare te lo assicuro) si vede che quest'area è infinita; poi c'è un criterio (detto "del confronto integrale" ) che ti assicura che se l'integrale di una funzione converge, allora converge pure la serie ad essa associata; se diverge, diverge pure la serie. essendo l'integrale divergente, trai la conclusione che la serie armonica diverge.
nn si può dire altrettanto ad esempio per y=1/x^2.. intuitivamente puoi vedere che per x-->inf, 1/x^2 va a 0 molto + "velocemente" rispetto a 1/x; cmq per dimostrarlo si ricorre al medesimo criterio
l'integrale (definito) di una funzione nn è altro che l'area del sottografico, cioè quella compresa tra funzione e asse x. calcolando l'integrale (anche se nn lo sai fare te lo assicuro) si vede che quest'area è infinita; poi c'è un criterio (detto "del confronto integrale" ) che ti assicura che se l'integrale di una funzione converge, allora converge pure la serie ad essa associata; se diverge, diverge pure la serie. essendo l'integrale divergente, trai la conclusione che la serie armonica diverge.
nn si può dire altrettanto ad esempio per y=1/x^2.. intuitivamente puoi vedere che per x-->inf, 1/x^2 va a 0 molto + "velocemente" rispetto a 1/x; cmq per dimostrarlo si ricorre al medesimo criterio
ma perchè l'integrale divergr nella serie armonica e non nella y=x^2? anche li è più o meno la stessa cosa...
y=1/x^2 (nn y=x^2)
gli integrali nn sono i limiti.. per cui se un limite va a 0 nn è detto che l'integrale vada a 0.. in ogni caso mi pare sia evidente che 1/x^2 vada a 0 più velocemente. per ora nn puoi fare altre considerazioni, almeno fino a qndo nn farai gli integrali (verso la fine della 5)
gli integrali nn sono i limiti.. per cui se un limite va a 0 nn è detto che l'integrale vada a 0.. in ogni caso mi pare sia evidente che 1/x^2 vada a 0 più velocemente. per ora nn puoi fare altre considerazioni, almeno fino a qndo nn farai gli integrali (verso la fine della 5)
si, va + velocemente, ma se 1/x^2 non sarà mai 0, l'area della funzione sarà infinita e quindi la funzione sarà divergente...
No plum, è qui che ti sbagli!
L'integrale calcola l'area della regione di piano compresa sotto la curva data dalla funzione
Proprio per il fatto che la funzione
Magia della matematica! :lol
L'integrale calcola l'area della regione di piano compresa sotto la curva data dalla funzione
[math]y=f(x)[/math]
e l'asse delle x.Proprio per il fatto che la funzione
[math]1/x^2[/math]
va a zero (per x che va ad infinito) più velocemente della funzione 1/x, accade che l'area della figura sotto la prima funzione sia finita mentre quella sotto la funzione 1/x risulti infinita!Magia della matematica! :lol
si, ora ho capito; e un po' come dire
[math]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...=1[/math]
(come ragionamento, intendo: la somma di infiniti elementi non da per forza un numero infinito). non ci sono altri metodi per spiegarlo? magari senza usare i log?
Non è così semplice.
Quello di cui stiamo parlando in maniera specifica qui, rientra nel campo di argomento di quelle che si dicono serie numeriche. Una serie numerica è un oggetto della forma
dove
I problemi relativi alla somma di una serie numerica (o come si dice, alla sua convergenza) rivestono la parte più importante relativa allo studio di questi oggetti. Ad esempio, la serie geometrica
ha come somma (converge a)
Quello di cui stiamo parlando in maniera specifica qui, rientra nel campo di argomento di quelle che si dicono serie numeriche. Una serie numerica è un oggetto della forma
[math]S=\sum_{n=0}^\infty a_n[/math]
dove
[math]\{a_n\}[/math]
è una successione di numeri reali (i.e. una apllicazione che ad ogni numero naturale n associa un numero reale [math]a_n[/math]
).I problemi relativi alla somma di una serie numerica (o come si dice, alla sua convergenza) rivestono la parte più importante relativa allo studio di questi oggetti. Ad esempio, la serie geometrica
[math]S=\sum_{n=0}^\infty q^n[/math]
ha come somma (converge a)
[math]1/(1-q)[/math]
quando [math]|q|
[math]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...=1[/math]
è quindi un caso particolare [math](q=\frac{1}{2})[/math]
di[math]S=\sum_{n=0}^\infty q^n[/math]
e fin qui ci sono.
ciampax :
Ad esempio, per determinare la somma delle serie armoniche bisogno passare per la divergenza dell'integrale di 1/x
ma se le serie armoniche (ne esiste più di una?) hanno divergenza infinita, è impossibile determinarne la somma (sempre che abbia capito bene)!
a proposito di serie, ho sentito che cambiando l'ordine degli elementi di una serie, questa possa diventare da divergente a convergente (o il contrario)... direi che è decisamente assurdo! sarebbe come dire che 2-1=1, mentre -1+2=
[math]+\infty![/math]
direi che non sono molto portato per la matematica pura!:lol
Eh Eh!
Sì, le serie armoniche in generale hanno la forma
con
Per quanto riguarda il fatto del cambiare l'ordine degli elementi, sì è vero, ci sono paradossi per cui serie divergenti si possono trasformare in convergenti e viceversa.
Questo accade a cuasa del fatto che certe somme, almeno fino ad un numero finito (ma alto) di elementi danno risultati che per n sempre maggiore tendono ad essere finite, mentre altre somme sono tali per cui al limite tendono all'infinito. E' possibile scrivere una somma in un modo piuttosto che in un altro, ma i paradossi si basano sul fatto di contare la somma fino ad un numero finito e poi mandare tale somma all'infinito. Infatti, se non succede che in generale il termine generico
Sì, le serie armoniche in generale hanno la forma
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}[/math]
con
[math]\alpha\in\mathbb{R}[/math]
. Tali serie (si può dimostrare) convergono quando [math]\alpha>1[/math]
mentre divergono in tutti gli altri casi.Per quanto riguarda il fatto del cambiare l'ordine degli elementi, sì è vero, ci sono paradossi per cui serie divergenti si possono trasformare in convergenti e viceversa.
Questo accade a cuasa del fatto che certe somme, almeno fino ad un numero finito (ma alto) di elementi danno risultati che per n sempre maggiore tendono ad essere finite, mentre altre somme sono tali per cui al limite tendono all'infinito. E' possibile scrivere una somma in un modo piuttosto che in un altro, ma i paradossi si basano sul fatto di contare la somma fino ad un numero finito e poi mandare tale somma all'infinito. Infatti, se non succede che in generale il termine generico
[math]a_n[/math]
di una serie numerica diventi sempre più piccolo al crescere di n, si incappa in tali paradossi.
ciampax :
Questo accade a cuasa del fatto che certe somme, almeno fino ad un numero finito (ma alto) di elementi danno risultati che per n sempre maggiore tendono ad essere finite, mentre altre somme sono tali per cui al limite tendono all'infinito. E' possibile scrivere una somma in un modo piuttosto che in un altro, ma i paradossi si basano sul fatto di contare la somma fino ad un numero finito e poi mandare tale somma all'infinito. Infatti, se non succede che in generale il termine generico[math]a_n[/math]di una serie numerica diventi sempre più piccolo al crescere di n, si incappa in tali paradossi.
:con non mi è molto chiaro... potresti spiegarlo magari con un esempio (sempre che esista)?
MMMMMMMMMMMM!!!!!!!!!!
Vedo di cercare qualcosa appena ho tempo!
Vedo di cercare qualcosa appena ho tempo!
immaginavo che la mia fosse una richiesta impossibile, ma bisogna sempre provare... soprattutto se il lavoro spetta ad altri!:lol
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