Criterio Di Derivabilità

[davicos]

Salve a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento circa la verifica di derivabilità di una funzione in un intervallo e non in un punto.
Per esempio: $ f(x)=x^(2/3) $ ( non so come fare la radice cubica) $-1;1$

Per verificarne la derivabilità devo fare la derivata della funzione per vedere qual'è il dominio?
Perchè leggevo che fare la derivata e poi il limite di quest'ultima non funziona sempre, quindi devo calcolare il limite del rapporto incrementale, però se l'esercizio mi chiede di verificare la derivabilità della funzione in un intervallo allora come procedo?
Grazie!

[davicos]

Per esempio:

$ { ( e^x-1ifx<0 ),( 3x^2+2x ifx>=0 ):} $

Non è derivabile in $0$ calcolando il rapporto incrementale, invece facendo le derivate dei singoli rami i domini sono comunque tutti i reali quindi avrei risposto "erroneamente" che è derivabile ovunque. Non riesco a capire che procedimenti effettuare per verificare la derivabilità...
Grazie!

[anto_zoolander]

Allora la condizione necessaria per la derivabilità è la continuità.
Se una funzione non è continua, dimentica di derivarla in quel punto. Questo non vuol dire però che la funzione non ammetta derivata, che è un altro paio di maniche.

Dopo aver verificato la continuità, ti tocca vedere se derivando la funzione ci sono particolari punti in cui vengono a crearsi problemi. Come ad esempio $|x|$ è una funzione continua su tutto $RR$ ma non è derivabile in $x=0$

$d/dx(|x|)=sign(x)$

Presenta un punto angoloso in $x=0$

Ora veniamo al tuo caso:

${(e^x-1 if x<0),(3x^2+2x if xgeq0):}$

Intanto nota le due funzioni sono continue nei rispettivi intervalli, ora dobbiamo vedere se la funzione è continua in $0$

$lim_(x->0^-)e^x-1=[1-1]=0$

$lim_(x->0^+)3x^2+2x=0$

Dunque le due funzioni si 'agganciano' nel punto $x=0$, ora dobbiamo vedere se esiste finito il limite del rapporto incrementale ed esso risulta lo stesso.

$lim_(h->0^-)(e^(0+h)-1-e^0+1)/h=lim_(h->0^-)(e^(0+h)-e^0)/h$

$lim_(h->0^-)(e^h-1)/h=1$

Calcoliamo l'altro..

$lim_(h->0^+)(3(0+h)^2+2(0+h))/h=lim_(h->0^+)3h+2=2$

I limiti sono diversi quindi non è derivabile, ed in particolare non lo è per punto angoloso.
Se poi per curiosità volessi verificare la cosa:

$tan(alpha-beta)=(2-1)/(1+2*1)=1/3$

$arctan(1/3)approx18,4349º$

[davicos]

Si le funzioni a trati non mi creano particolari dubbi sul da farsi. Il problema è per la funzione tipo $f(x)=x^(2/3)$ che non so cosa dovrei fare se non derivarla e verificare per quali valori mi crea problemi (come ad esempio lo zero). Così dovrei fare? Cioè se non vedo dei punti che mi potrebbero causare problemi nella funzione allora la derivo e verifico??

[anto_zoolander]

Per quanto riguarda quella composizione di radice cubica esterna e potenza di $2$ interna, il dominio è tutto $RR$
Puoi calcolare la derivata e vedere cosa succede:

$D[x^(2/3)]=2/3*x^(2/3-1)=2/3*x^(-1/3)=2/(3x^(1/3))$

Nota che succede qualcosa in $x=0$
Volendo essere 'pillicusi' dovremmo andare a calcolare il limite del rapporto incrementale in $x=0$ di $h->0^+$ e $h->0^-$

$lim_(x->0^-)2/(3x^(1/3))=-infty$

$lim_(x->0^+)2/(3x^(1/3))=+infty$

Questo si chiama 'punto di cuspide' ovvero quando i coefficienti angolari delle rette tangenti divergono entrambi a $infty$ ma con segno opposto. Se fossero stati entrambi a $+infty$ o $-infty$ si sarebbe parlato di flesso a tangente verticale. Sempre non derivabile.

C'è un teorema che permette di pensare direttamente alla derivata, senza passare per il limite del rapporto incrementale.
Che alla fine si comporta al contrario.

Prima calcoli la derivata e poi mandi calcoli la pendenza nei punti fastidiosi.
Mentre con il limite del rapporto incrementale a volte non sai dove si trovano quei punti fastidiosi, a meno che non stai guardando il grafico.

Naturalmente stiamo parlando della stessa cosa, solo che magari l'approccio con il limite richiede più dimestichezza appunto con i limiti, perché saltano fuori molte cose antipatiche certe volte.
Mentre avendo la derivata già pronta te ne esci facilmente. Naturalmente la cosa importante è sapere sempre cosa si sta facendo.

[davicos]

Certo anche perchè avvolte facendo il limite della derivata non funziona e quindi è sempre meglio fare il limite del rapporto incrementale. Quindi in sintesi se ho una funzione a tratti (dove conosco appunto i punti fastidiosi) faccio il limite del rapporto incrementale, invece se ho funzioni come quella della radice cubica è bene fare la derivata e vedere qual'è il dominio. Grazie!