Criterio di convergenza di Cauchy.
Salve,
ho dei problemi nel capire alcuni punti di teoria del criterio di convergenza di Cauchy.
Spero gentilmente e pazientemente possiate darmi un aiuto per comprendere meglio il tutto.
Io dico sia la parte teorica, quello che ho capito penso bene e quello dove ho dei problemi.
Bene.
dato il seguente:
Criterio di convergenza di Cauchy: Condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie:
$\sum_{k=1}^oo = a_1 + a_2 + a_3 + ...$
sia convergente è che, fissato comunque un numero $\epsilon > 0$, esista un $n_(\epsilon)$ tale che $n>n_(\epsilon)$ e $\AA p >= 1$ risulti:
$|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$
da tale criterio discende il seguente teorema:
Condizione necessaria affinche la serie $\sum_{k=1}^oo a_k$ converga è che: $lim_(k->+oo) a_k = 0$
Dimostrazione:
il teorema è immediatamente dimostrato non appena si ponga $p=1$ in $\sum_{k=1}^oo = a_1 + a_2 + a_3 + ...$.
Infatti se la serie è convergente $\AA \epsilon >0$ e per $p=1$ risulta:
$|a_(n+1)| < \epsilon \iff lim_(k->oo) a_k = 0$
-> ecco quello che dico io:
se $0$ è il limite della successione significa che al crescere di $k$ $a_k$ risulta essere una approssimazione di 0.
Se fissiamo un numero positivo $\epsilon$, esiste un indice $n_(\epsilon)$, dopo il quale tutti i termini della successione differiscono da $0$
meno di $\epsilon$ cioè si dovrebbe avere quindi:
$|a_k - 0| < \epsilon$
$\Rightarrow |a_k| < \epsilon$
$\AA n > n_(\epsilon)$
dal momento che il limite è $= 0$ allora $n_(\epsilon) = n$ ?
quindi sin dal primo termine si avra che ognuno di tali termini differisce dal limite meno di $\epsilon$ ?
quindi in che modo discende dal criterio il teorema?
inoltre andando avanti con la teoria:
La condizione che il termine generico $a_k$ tende a zero è pero' solo necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie.
Infatti considerando la serie armonica:
$\sum_{k=1}^oo 1/k = 1+1/2+1/3+...$
diverge anche se $lim_(k->+oo) 1/k = 0$
Infatti posto $p=n$ in $|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$ si avrà:
$1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) > 1/(2n) + 1/(2n) + ... + 1/(2n) = n*(1/(2n))=1/2$
perciò la $|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$ non sarà verificata per nessun $n$ se si sceglie $\epsilon < 1/2$
pertanto la serie armonica non converge.
-> come avvengono quei passaggi e perchè c'è il simbolo di $>$ ?
andando ancora avanti:
Inoltre poiche la successione ${S_n}$ delle somme parziali è crescente, per il teorema sulle successioni monotone essa ammette limite che sarà $+oo$ non essendo finito.
-> quest'ultima frase che vuol dire?
mille grazie davvero a tutti.
ho dei problemi nel capire alcuni punti di teoria del criterio di convergenza di Cauchy.
Spero gentilmente e pazientemente possiate darmi un aiuto per comprendere meglio il tutto.
Io dico sia la parte teorica, quello che ho capito penso bene e quello dove ho dei problemi.
Bene.
dato il seguente:
Criterio di convergenza di Cauchy: Condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie:
$\sum_{k=1}^oo = a_1 + a_2 + a_3 + ...$
sia convergente è che, fissato comunque un numero $\epsilon > 0$, esista un $n_(\epsilon)$ tale che $n>n_(\epsilon)$ e $\AA p >= 1$ risulti:
$|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$
da tale criterio discende il seguente teorema:
Condizione necessaria affinche la serie $\sum_{k=1}^oo a_k$ converga è che: $lim_(k->+oo) a_k = 0$
Dimostrazione:
il teorema è immediatamente dimostrato non appena si ponga $p=1$ in $\sum_{k=1}^oo = a_1 + a_2 + a_3 + ...$.
Infatti se la serie è convergente $\AA \epsilon >0$ e per $p=1$ risulta:
$|a_(n+1)| < \epsilon \iff lim_(k->oo) a_k = 0$
-> ecco quello che dico io:
se $0$ è il limite della successione significa che al crescere di $k$ $a_k$ risulta essere una approssimazione di 0.
Se fissiamo un numero positivo $\epsilon$, esiste un indice $n_(\epsilon)$, dopo il quale tutti i termini della successione differiscono da $0$
meno di $\epsilon$ cioè si dovrebbe avere quindi:
$|a_k - 0| < \epsilon$
$\Rightarrow |a_k| < \epsilon$
$\AA n > n_(\epsilon)$
dal momento che il limite è $= 0$ allora $n_(\epsilon) = n$ ?
quindi sin dal primo termine si avra che ognuno di tali termini differisce dal limite meno di $\epsilon$ ?
quindi in che modo discende dal criterio il teorema?
inoltre andando avanti con la teoria:
La condizione che il termine generico $a_k$ tende a zero è pero' solo necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie.
Infatti considerando la serie armonica:
$\sum_{k=1}^oo 1/k = 1+1/2+1/3+...$
diverge anche se $lim_(k->+oo) 1/k = 0$
Infatti posto $p=n$ in $|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$ si avrà:
$1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) > 1/(2n) + 1/(2n) + ... + 1/(2n) = n*(1/(2n))=1/2$
perciò la $|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$ non sarà verificata per nessun $n$ se si sceglie $\epsilon < 1/2$
pertanto la serie armonica non converge.
-> come avvengono quei passaggi e perchè c'è il simbolo di $>$ ?
andando ancora avanti:
Inoltre poiche la successione ${S_n}$ delle somme parziali è crescente, per il teorema sulle successioni monotone essa ammette limite che sarà $+oo$ non essendo finito.
-> quest'ultima frase che vuol dire?
mille grazie davvero a tutti.
Risposte
"cloe009":No. Cerca di esprimerti meglio, in particolare la frase in rosso non significa nulla. Consiglio di ripassare la definizione di successione convergente a $0$:
Se fissiamo un numero positivo $\epsilon$, esiste un indice $n_(\epsilon)$, dopo il quale tutti i termini della successione differiscono da $0$
meno di $\epsilon$ cioè si dovrebbe avere quindi:
$|a_k - 0| < \epsilon$
$\Rightarrow |a_k| < \epsilon$
$\AA n > n_(\epsilon)$
dal momento che il limite è $= 0$ allora $n_(\epsilon) = n$ ?
Per definizione una successione $(a_n)_{n=1} ^\infty$ converge a $0$ se e solo se comunque si prenda $epsilon>0$ esiste un indice $N_epsilon$ tale che per ogni $n>N_epsilon$ risulta $|a_n-0|
Per capire bene il concetto di successione convergente io ho trovato utilissima la locuzione per $n$ sufficientemente grande (o l'avverbio definitivamente che ha lo stesso significato). Data una successione $(a_n)_{n=1}^\infty$, diremo che una certa proprietà è vera per $n$ sufficientemente grande se essa è vera da un certo indice in poi. Ad esempio la definizione di sopra di successione convergente a $0$ si può riformulare come:
una successione $(a_n)_{n=1}^\infty$ converge a $0$ se e solo se comunque si prenda $epsilon>0$ risulta $|a_n-0|
Naturalmente se ti sembra che questa formulazione ti confonda lasciala perdere subito.
Infatti posto $p=n$ in $|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$ si avrà:Anche qui potrebbe tornare utile il discorso di prima. Riscrivo il criterio di Cauchy per serie usando la locuzione per $n$ sufficientemente grande:
$1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) > 1/(2n) + 1/(2n) + ... + 1/(2n) = n*(1/(2n))=1/2$
perciò la $|a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)| < \epsilon$ non sarà verificata per nessun $n$ se si sceglie $\epsilon < 1/2$
pertanto la serie armonica non converge.
-> come avvengono quei passaggi e perchè c'è il simbolo di $>$ ?
Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie $sum_{n=1}^\infty a_n$ converga è che per ogni $epsilon>0$ e per ogni $p>=1$ risulti $|a_{n+1}+...+a_{n+p}|< \epsilon$ per $n$ sufficientemente grande.
Ora vogliamo mostrare che la serie armonica non verifica questo criterio. Se lo verificasse, dovrebbe farlo in particolare per $epsilon=1/2$; inoltre, poiché il criterio deve valere per ogni $p>=1$, a maggior ragione dovrà valere se decidiamo, arbitrariamente, che $p=n$: dovremmo quindi avere che $|a_{n+1}+...+a_{2n}|<1/2$ per $n$ sufficientemente grande. Ma con il ragionamento che hai postato si arriva a dimostrare che vale la disuguaglianza inversa per tutte le $n$. Quindi il criterio non può essere verificato.
andando ancora avanti:Dovresti ripassare il teorema sui limiti delle successioni monotone, se lo hai fatto. Rileggilo, poi ne riparliamo.
Inoltre poiche la successione ${S_n}$ delle somme parziali è crescente, per il teorema sulle successioni monotone essa ammette limite che sarà $+oo$ non essendo finito.
grazie mille ma ancora non mi è chiaro perchè porre $p = n$ ?
ed inoltre per ottenere $\epsilon < 1/2$ dai passaggi di prima,
si dovrebbe procedere in questo modo?
$|a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+p)| < \epsilon$
ponendo $p = n$ dovrei ottenere:
$|a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+n)| < \epsilon$
$|a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(2n)| < \epsilon$
e poi?
praticamente non mi sono chiari quei passaggi che effettua...
ed inoltre per ottenere $\epsilon < 1/2$ dai passaggi di prima,
si dovrebbe procedere in questo modo?
$|a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+p)| < \epsilon$
ponendo $p = n$ dovrei ottenere:
$|a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(n+n)| < \epsilon$
$|a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_(2n)| < \epsilon$
e poi?
praticamente non mi sono chiari quei passaggi che effettua...
Ho apportato una piccola modifica al post precedente, vedi se adesso ti è più chiaro; comunque appena posso cercherò di spiegarti meglio.
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