Cos'è un limite, concretamente?
Credo di aver capito la definizione $ \epsilon-\delta $ dei limiti... una funzione ha limite $ L $ per $ x $ tendente ad $ a $ se posso rendere la distanza tra $ L $ e $ f(x) $ piccola quanto voglio, purché $ x $ sia abbastanza vicina ad $ a $, detto in modo discorsivo. Però ancora non riesco a capire cosa sia effettivamente un limite, so che è la formalizzazione matematica di un concetto, ma quale concetto? Com'era inteso il limite, prima che Weierstrass formulasse la definizione attuale? La cosa mi sta creando difficoltà perché non riesco a vedere come questi si applichino alle derivate e agli integrali. Probabilmente non mi sono espresso in modo chiarissimo, e chiedo scusa per questo. Grazie per qualsiasi aiuto 
Risposte
Il limite indica il concetto di vicinanza, e viene usato per studiare il comportamento di una funzione in un intorno di un punto, ovvero in punti vicini ma non coincidenti con esso.
TI serve perchè molte volte la tua funzione non è definita nel punto, oppure è discontinua con un salto, e vuoi vedere come essa si comporti vicino ad esso.
Parliamo ora dei collegamenti con il calcolo differenziale e integrale.
La derivata, altro non rappresenta che la velocità di variazione della funzione che stai considerando. Se consideri ad esempio la funzione $ y = x $, la differenza tra $f(0)$ e $f(1)$ è uguale a quella tra $f(1)$ e $f(2)$, e quindi non ci sono problemi, essa varia con costanza. Se però consideri la parabola $y = x^2$, avrai che $f(1) - $f(0) = 1$ e $f(2) - $f(1) = 3$. In questo caso la variazione tra i due punti non è costante, anche se la distanza tra i punti è la stessa. Si cerca quindi di approssimare meglio questa variazione facendo tendere a zero la distanza tra i due punti.
Per il calcolo integrale è la stessa cosa, considera di far tendere a zero le distanze tra gli estremi dei trapezoidini per approssimare meglio l'area.
Prima di Weierstrass, il concetto di limite era noto "intuitivamente" nel senso che si pensava già a come si comportassero delle "funzioni" (in realtà anche il concetto formale di funzione è stato introdotto abbastanza tardi, ma se ne aveva un'idea intuitiva), vicino a punti in cui non erano definite, tipo il metodo di esaustione (https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_di_esaustione), che è la forma intuitiva del concetto di integrale, inteso come somma infinitesima di termini (in questo caso ricorda che una serie non è altro che il limite delle somme parziali di una successione, che è una funzione con dominio $NN$).
Considera comunque che il concetto di limite si è evoluto partendo dalla definizione $epsilon - delta$ Weierstrass (che formalizzò il concetto espresso da Cauchy a parole qualche anno prima), inanzitutto estendendosi agli spazi metrici (primi anni del novecento) e al concetto di limite topologico (anni venti del novecento).
TI serve perchè molte volte la tua funzione non è definita nel punto, oppure è discontinua con un salto, e vuoi vedere come essa si comporti vicino ad esso.
Parliamo ora dei collegamenti con il calcolo differenziale e integrale.
La derivata, altro non rappresenta che la velocità di variazione della funzione che stai considerando. Se consideri ad esempio la funzione $ y = x $, la differenza tra $f(0)$ e $f(1)$ è uguale a quella tra $f(1)$ e $f(2)$, e quindi non ci sono problemi, essa varia con costanza. Se però consideri la parabola $y = x^2$, avrai che $f(1) - $f(0) = 1$ e $f(2) - $f(1) = 3$. In questo caso la variazione tra i due punti non è costante, anche se la distanza tra i punti è la stessa. Si cerca quindi di approssimare meglio questa variazione facendo tendere a zero la distanza tra i due punti.
Per il calcolo integrale è la stessa cosa, considera di far tendere a zero le distanze tra gli estremi dei trapezoidini per approssimare meglio l'area.
Prima di Weierstrass, il concetto di limite era noto "intuitivamente" nel senso che si pensava già a come si comportassero delle "funzioni" (in realtà anche il concetto formale di funzione è stato introdotto abbastanza tardi, ma se ne aveva un'idea intuitiva), vicino a punti in cui non erano definite, tipo il metodo di esaustione (https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_di_esaustione), che è la forma intuitiva del concetto di integrale, inteso come somma infinitesima di termini (in questo caso ricorda che una serie non è altro che il limite delle somme parziali di una successione, che è una funzione con dominio $NN$).
Considera comunque che il concetto di limite si è evoluto partendo dalla definizione $epsilon - delta$ Weierstrass (che formalizzò il concetto espresso da Cauchy a parole qualche anno prima), inanzitutto estendendosi agli spazi metrici (primi anni del novecento) e al concetto di limite topologico (anni venti del novecento).
"Concretamente" xD, scusami mi fa ridere questa parola accostata ad un limite
La risposta alla domanda che cos'è un limite è abbastanza semplice: "Il limite è semplicemente un "numero" che gode di una proprietà, precisamente della proprietà di cui alla definizione di limite (comunque essa voglia venir formulata)".
Questo è quello che si trae dalla definizione \(\varepsilon\)/\(\delta\) che lo OP richiamava, cioé:
[N.B.: ovviamente, non mi impelago nella scrittura esplicita delle definizioni di "limite all'infinito", "limite infinito", e altre variazioni sul tema.]
Stabilito cos'è un limite, un altro paio di maniche è chiedersi come si interpreta la proprietà (L) che è caratteristica del limite: l'interpretazione euristica è quella data da sapo93.
Altro conto ancora è descrivere cosa significa ricercare (o calcolare, che dir si voglia) un limite. Questo problema è della massima importanza, perché la definizione di limite non dice alcunché su come si possa trovare un valore di \(l\) che soddisfi la (L) quando non lo si conosce già; detta altrimenti, la definizione di limite non è "costruttiva", perché fornisce sì un mezzo -cioé la (L)- per verificare se un "numero" \(l\) già determinato è o non è il limite di una funzione assegnata, ma non dice come tale "numero"/candidato limite \(l\) vada determinato nella pratica.
Credo sia importante distinguere questi tre aspetti della teoria dei limiti fin dalle superiori, in modo da sgombrare il campo da equivoci che poi inevitabilmente sorgono quando i ragazzi cominciano a studiare Analisi nelle facoltà scientifiche.
Questo è quello che si trae dalla definizione \(\varepsilon\)/\(\delta\) che lo OP richiamava, cioé:
Si dice che un numero \(l\) è il limite per \(x\) che tende a \(c\in \mathbb{R}\) della funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) se esso soddisfa la seguente proprietà:
\[
\tag{L}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in ]c-\delta ,c+\delta[\cap X\setminus \{c\},\ |f(x)-l|<\varepsilon\; ,
\]
che si legge come segue:
"in corrispondenza di ogni numero positivo \(\varepsilon\) è possibile deterinare un altro numero positivo \(\delta\) in modo che per ogni valore di \(x\) che disti da \(c\) meno di \(\delta\), diverso da \(c\) e sul quale sia possibile calcolare \(f\), risulti che \(f(x)\) dista da \(l\) meno di \(\varepsilon\)".
In tal caso si scrive:
\[
\lim_{x\to c} f(x) =l\; .
\]
[N.B.: ovviamente, non mi impelago nella scrittura esplicita delle definizioni di "limite all'infinito", "limite infinito", e altre variazioni sul tema.]
Stabilito cos'è un limite, un altro paio di maniche è chiedersi come si interpreta la proprietà (L) che è caratteristica del limite: l'interpretazione euristica è quella data da sapo93.
Altro conto ancora è descrivere cosa significa ricercare (o calcolare, che dir si voglia) un limite. Questo problema è della massima importanza, perché la definizione di limite non dice alcunché su come si possa trovare un valore di \(l\) che soddisfi la (L) quando non lo si conosce già; detta altrimenti, la definizione di limite non è "costruttiva", perché fornisce sì un mezzo -cioé la (L)- per verificare se un "numero" \(l\) già determinato è o non è il limite di una funzione assegnata, ma non dice come tale "numero"/candidato limite \(l\) vada determinato nella pratica.
Credo sia importante distinguere questi tre aspetti della teoria dei limiti fin dalle superiori, in modo da sgombrare il campo da equivoci che poi inevitabilmente sorgono quando i ragazzi cominciano a studiare Analisi nelle facoltà scientifiche.
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