Cosa significa che una circonferenza è tangente a una parabola?
Ciao a tutti 
So che una retta tangente a una conica è quella retta che ha un solo punto in comune con essa. Ma cosa significa che una circonferenza è tangente a una parabola? Ho pensato che fosse semplicemente una circonferenza con un solo punto in comune con la parabola, però negli esercizi ho visto che la p. e la c. possono anche avere due intersezioni e un punto di tangenza , due punti di tangenza e così via... qual è dunque la definizione esatta di circonferenza tangente a una parabola??
Grazie!
So che una retta tangente a una conica è quella retta che ha un solo punto in comune con essa. Ma cosa significa che una circonferenza è tangente a una parabola? Ho pensato che fosse semplicemente una circonferenza con un solo punto in comune con la parabola, però negli esercizi ho visto che la p. e la c. possono anche avere due intersezioni e un punto di tangenza , due punti di tangenza e così via... qual è dunque la definizione esatta di circonferenza tangente a una parabola??
Grazie!
Risposte
La tua definizione è corretta. Semplicemente siccome una parabola ha due rami, potrebbero presentarsi situazioni in cui la circonferenza interseca un ramo della parabola ed è invece tangente con l'altro ramo.
La circonferenza e la parabola sono rappresentate da equazioni di secondo grado, quindi il sistema che imposti per calcolarne le intersezioni è di quarto grado e può ammettere fino a 4 soluzioni.
Da un punto di vista algebrico le due curve sono tangenti in un punto P se le coordinate di P sono una soluzione doppia del sistema, da un punto di vista grafico, invece, significa che nel punto P hanno la stessa retta tangente.
Da un punto di vista algebrico le due curve sono tangenti in un punto P se le coordinate di P sono una soluzione doppia del sistema, da un punto di vista grafico, invece, significa che nel punto P hanno la stessa retta tangente.
Una parabola e una circonferenza sono tangenti se esiste almeno un punto che soddisfa le seguenti proprietà
- appartiene ad entrambe (o entrambe passano per quel punto)
- hanno la stessa retta tangente nel punto (oppure la stessa derivata se parli di funzioni).
Tuttavia per il secondo si rischia di entrare in un ambito piuttosto complicato dal momento che la "scrittura" - non mi viene in mente un termine migliore! - che rappresenta una circonferenza, non è una funzione poiché per definizione una funzione associa ad ogni elemento nel dominio un solo punto del codominio...
Quindi nella cosa che ho detto tra parentesi, ci sarebbe da considerare i due "rami" della circonferenza. Per esempio, di quella goniometrica l'equazione è
$x^2+y^2=1$
che si può individuare come unione di 2 funzioni differenti
$y= \sqrt(1-x^2)$
$y= -\sqrt(1-x^2)$
nelle quali ognuna rappresenta il ramo a nord e a sud dell'asse delle ascisse.
... L'ho fatta complicata?
- appartiene ad entrambe (o entrambe passano per quel punto)
- hanno la stessa retta tangente nel punto (oppure la stessa derivata se parli di funzioni).
Tuttavia per il secondo si rischia di entrare in un ambito piuttosto complicato dal momento che la "scrittura" - non mi viene in mente un termine migliore! - che rappresenta una circonferenza, non è una funzione poiché per definizione una funzione associa ad ogni elemento nel dominio un solo punto del codominio...
Quindi nella cosa che ho detto tra parentesi, ci sarebbe da considerare i due "rami" della circonferenza. Per esempio, di quella goniometrica l'equazione è
$x^2+y^2=1$
che si può individuare come unione di 2 funzioni differenti
$y= \sqrt(1-x^2)$
$y= -\sqrt(1-x^2)$
nelle quali ognuna rappresenta il ramo a nord e a sud dell'asse delle ascisse.
... L'ho fatta complicata?
@Zero87
Sono coniche, le tangenti si possono calcolare semplicemente per via algebrica, senza entrare nel campo delle funzioni.
Sono coniche, le tangenti si possono calcolare semplicemente per via algebrica, senza entrare nel campo delle funzioni.
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