Cosa mi sfugge

[Sergalb]

Applicando la regola di de l'Hopital è tutto ok ma ricorrendo semplificazione e limiti notevoli il risultato è - infinito.
Qualche suggerimento ?

$lim_(x->0)(x)/(cos2x - cosx)$

$ cos2x -cosx = ( cosx +1/2 )*(cosx -1 ) $

$lim_(x->0)(x)/(( cosx +1/2 )*(cosx -1 )) *x/x$

$lim_(x->0)(1)/((cosx +1/2))*lim_(x->0) - (x^2)/((1-cosx))*lim_(x->0) 1/x$

[@melia]

Non ho capito come hai potuto applicare de l’Hopital e avere ottenuto qualcosa di diverso da $oo$

[Zero87]

Intanto ti segnalo un errore, anche se a conti fatti influisce poco (però c'è).

"Rokamel":$ cos2x -cosx = ( cosx +1/2 )*(cosx -1 ) $

Ricordo
$cos(2x)=2cos^2(x)-1$
da cui
$cos(2x)-cos(x) = 2cos^2(x)-1-cos(x) = (2cos(x)+1)(cos(x)-1)$

A prescindere dall'errore, per il resto del limite credo che si applica questo limite notevole
$lim_(x->0) \frac{cos(x)-1}{x}=0$
anche se ora come ora mi viene il dubbio su come determinare il segno. Ma ci penserò.

[@melia]

Bhe, il numeratore è negativo

[Zero87]

"@melia":Bhe, il numeratore è negativo

Sì, però leggendo questa frase

"Rokamel":Applicando la regola di de l'Hopital è tutto ok ma ricorrendo semplificazione e limiti notevoli il risultato è - infinito.

ho associato che il risultato complessivo è $+ \infty$ visto che sembra che sia sbagliato il $- \infty$ da come dice @Rokamel.
I miei dubbi sono sul fatto che il numeratore cambia segno e quindi non c'è un limite unico (ma forse ho frainteso il post in generale).

[@melia]

Io avevo capito che con H viene un numero, senza viene un infinito, cosa che non è vera, in ogni caso si ottiene un infinito, il cui segno è l'opposto del segno di $x$.

[Sergalb]

@melia scusami ma penso di aver detto che con De l'Hopital è tutto ok. Il risultato è ∞.
Il problema è l'applicazione dei limiti notevoli una volta sviluppato il denominatore.
Saluti

[Sergalb]

Vi riporto testo a scanso di equivoci.


@zero87
non penso sia un errore quanto da te indicato in quanto è un altro modo per scrivere la stessa cosa.

[4131]

Tenuto conto della correzione di Zero ottieni

[tex]\lim_{x\to0}\underbrace{\frac{x^2}{\cos x-1}}_{\to-2}\underbrace{\frac{1}{2\cos x+1}}_{\to1/3}\frac{1}{x}=\begin{cases}
-\infty& x\to0^+\\
+\infty& x\to 0^-
\end{cases}[/tex]

dove usi il limite notevole

[tex]\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=1/2[/tex]

in

[tex]\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\cos x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{-\frac{1-\cos x}{x^2}}=\frac{1}{-1/2}=-2.[/tex]

"Rokamel":
non penso sia un errore quanto da te indicato in quanto è un altro modo per scrivere la stessa cosa.

No, non è la stessa cosa.

[tex]\cos(2x)-\cos x=2\cos^2x-1-\cos x=(2\cos x+1)(\cos x-1)=2\Big(\cos x+\frac{1}{2}\Big)(\cos x-1).[/tex]