Coordinate intere in un triangolo!
Non so quanto questa possa essere la sezione giusta, ma non saprei proprio dove potrei postare il mio problema (tempo fa ne avevo postato uno simile).
Date le coordinate (intere) di tre punti su un piano, è possibile determinare, all'interno del triangolo di cui essi sono i vertici, il numero di punti a coordinate intere presenti, in funzione delle coordinate dei punti, senza in alcun modo ricorrere al teorema di Pick?
Scusate per l'assurdità della domanda, mi pare ovvio che la risposta sia sì; ma non riesco a trovare una formula per ottenere tale numero, nonostante io abbia abbondantemente lavorato su aree, triangoli rettangoli e ampiezze degli angoli!
Grazie a tutti!
Date le coordinate (intere) di tre punti su un piano, è possibile determinare, all'interno del triangolo di cui essi sono i vertici, il numero di punti a coordinate intere presenti, in funzione delle coordinate dei punti, senza in alcun modo ricorrere al teorema di Pick?
Scusate per l'assurdità della domanda, mi pare ovvio che la risposta sia sì; ma non riesco a trovare una formula per ottenere tale numero, nonostante io abbia abbondantemente lavorato su aree, triangoli rettangoli e ampiezze degli angoli!
Grazie a tutti!
Risposte
Interessante questa domanda. Non avevo mai sentito nominare questo teorema di Pick quindi non c'è pericolo che io lo usi 
.
Come strategia penserei di trovare preliminarmente una formula per calcolare il numero di punti a coordinate intere in questo triangolo particolare $T$:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0;ymax=1;axes();
marker="arrow"; line([0,0], [0.8, 1]);marker="none"; line([0,0], [0.8, 0]);line([0.8,0], [0.8, 1]);text([0.6, 0.3], "T");
text([0.8,1], "(h, k)", above);[/asvg]
determinato da un vettore a coordinate intere $(h, k)$. Questo problema mi sembra più masticabile, magari potremmo usare una doppia induzione [size=75][1][/size]. Hai già tentato qualche strada simile a questa?
____________
[1] https://www.matematicamente.it/forum/dop ... 31806.html
magari può servire.
. Come strategia penserei di trovare preliminarmente una formula per calcolare il numero di punti a coordinate intere in questo triangolo particolare $T$:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0;ymax=1;axes();
marker="arrow"; line([0,0], [0.8, 1]);marker="none"; line([0,0], [0.8, 0]);line([0.8,0], [0.8, 1]);text([0.6, 0.3], "T");
text([0.8,1], "(h, k)", above);[/asvg]
determinato da un vettore a coordinate intere $(h, k)$. Questo problema mi sembra più masticabile, magari potremmo usare una doppia induzione [size=75][1][/size]. Hai già tentato qualche strada simile a questa?
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[1] https://www.matematicamente.it/forum/dop ... 31806.html
magari può servire.
Innanzitutto, grazie dell'interesse!
Più o meno, per un triangolo rettangolo ho provato...allora direi che in un triangolo rettangolo del genere bisogna prima determinare il numero dei punti nel rettangolo che ha per diagonale l'ipotenusa del triangolo e due lati in comune con esso, poi togliere i punti sull'ipotenusa e dimezzare...
Il numero dei punti interni al rettangolo, dovrebbe essere $(g-1)(h-1)$.
Si sottraggano poi i punti sull'ipotenusa che dovrebbero essere $GCD(h;k)-1$ (ringrazio ancora WiZard per questo!).
Si divide poi per 2.
Quindi il numero $n$ del triangolo particolare $T$ da te indicato dovrebbe essere:
$n=frac{(g-1)(h-1)-GCD(h;k)+1}{2}$
Ora provo a vedere se la condizione $2|[(g-1)(h-1)-GCD(h;k)+1]$ è sempre verificata!
Grazie ancora!
Più o meno, per un triangolo rettangolo ho provato...allora direi che in un triangolo rettangolo del genere bisogna prima determinare il numero dei punti nel rettangolo che ha per diagonale l'ipotenusa del triangolo e due lati in comune con esso, poi togliere i punti sull'ipotenusa e dimezzare...
Il numero dei punti interni al rettangolo, dovrebbe essere $(g-1)(h-1)$.
Si sottraggano poi i punti sull'ipotenusa che dovrebbero essere $GCD(h;k)-1$ (ringrazio ancora WiZard per questo!).
Si divide poi per 2.
Quindi il numero $n$ del triangolo particolare $T$ da te indicato dovrebbe essere:
$n=frac{(g-1)(h-1)-GCD(h;k)+1}{2}$
Ora provo a vedere se la condizione $2|[(g-1)(h-1)-GCD(h;k)+1]$ è sempre verificata!
Grazie ancora!
Sono contento che reputi questa strada percorribile. Per adesso non ho tempo di mettermi a fare conti ma ti spiego in due parole la strategia a cui ho pensato.
Punto 1) Si determina una formula per il triangolo $T$ di prima (vedi post precedente);
Punto 2) Ora generalizziamo in qualche modo a questo triangolo:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=1;axes();
marker="arrow"; line([0,0], [0.8, 1]);line([0,0], [3,0]); marker="none"; line([0.8,1], [3, 0]);
text([0.8,1], "(h, k)", above); text([3,0.08], "(m, 0)", above);[/asvg]
Punto 3) Infine, caso generale, questo triangolo:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=1;axes();
marker="arrow"; line([0,0], [0.8, 1]);line([0,0], [3,0.2]); marker="none"; line([0.8,1], [3, 0.2]);
text([0.8,1], "(h, k)", above); text([3,0.28], "(m, n)", above);[/asvg]
e a questo punto abbiamo finito. Non è infatti restrittivo supporre (come abbiamo fatto qui) che uno dei vertici del triangolo sia l'origine del sistema di riferimento, mi pare.
Per il punto 1), a occhio mi pare che la tua formula sia corretta.
Per il punto 2), come avrai certamente intuito anche tu, si può rifare un discorso analogo tracciando l'altezza del triangolo (il segmento che congiunge $(h, k)$ all'asse delle $x$, perpendicolare a quest'ultimo...come si chiama? non me lo ricordo...
) e poi abbiamo due triangoli rettangoli sui quali ripetere il ragionamento del punto 1).
Per il punto 3) c'è da vedere che fare. Forse si può costruire un "triangolone", prolungando il lato $bar{(h,k)(m,n)}$ perché intercetti l'asse $x$, calcolare il numero di punti a coordinate intere di quest'ultimo e poi arrivare al risultato per differenza. Ma c'è da fare attenzione perché il triangolone non avrà tutti i vertici a coordinate intere.
Punto 1) Si determina una formula per il triangolo $T$ di prima (vedi post precedente);
Punto 2) Ora generalizziamo in qualche modo a questo triangolo:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=1;axes();
marker="arrow"; line([0,0], [0.8, 1]);line([0,0], [3,0]); marker="none"; line([0.8,1], [3, 0]);
text([0.8,1], "(h, k)", above); text([3,0.08], "(m, 0)", above);[/asvg]
Punto 3) Infine, caso generale, questo triangolo:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=1;axes();
marker="arrow"; line([0,0], [0.8, 1]);line([0,0], [3,0.2]); marker="none"; line([0.8,1], [3, 0.2]);
text([0.8,1], "(h, k)", above); text([3,0.28], "(m, n)", above);[/asvg]
e a questo punto abbiamo finito. Non è infatti restrittivo supporre (come abbiamo fatto qui) che uno dei vertici del triangolo sia l'origine del sistema di riferimento, mi pare.
Per il punto 1), a occhio mi pare che la tua formula sia corretta.
Per il punto 2), come avrai certamente intuito anche tu, si può rifare un discorso analogo tracciando l'altezza del triangolo (il segmento che congiunge $(h, k)$ all'asse delle $x$, perpendicolare a quest'ultimo...come si chiama? non me lo ricordo...
) e poi abbiamo due triangoli rettangoli sui quali ripetere il ragionamento del punto 1).Per il punto 3) c'è da vedere che fare. Forse si può costruire un "triangolone", prolungando il lato $bar{(h,k)(m,n)}$ perché intercetti l'asse $x$, calcolare il numero di punti a coordinate intere di quest'ultimo e poi arrivare al risultato per differenza. Ma c'è da fare attenzione perché il triangolone non avrà tutti i vertici a coordinate intere.
"dissonance":
il segmento che congiunge $(h, k)$ all'asse delle $x$, perpendicolare a quest'ultimo...come si chiama? non me lo ricordo...
Proiezione?
"@melia":
Proiezione?
Si, proiezione va bene nel senso di "proiezione del punto $(h, k)$ sull'asse delle $x$". Quello che mi ero scordato è se si chiamasse effettivamente "altezza" del triangolo... ehm... pardon...
bella figura ho fatto!
Allora, direi di passare al punto 3 (il 2 mi sembra scontato anche se capisco che procedere per gradi è meglio):
contiamo i punti nel rettangolo che ha per vertice in alto a destra (tanto per essere rigorosi
) il punto $P(m;h)$; tale numero è pari a $(m-1)(h-1)$.
Atroce dubbio da pivellino: l'area di tale rettangolo è per caso il doppio di quella del triangolo?? Poi continuo, ma vi giuro sono fuso e non vorrei sbagliare a sto punto!!
contiamo i punti nel rettangolo che ha per vertice in alto a destra (tanto per essere rigorosi
) il punto $P(m;h)$; tale numero è pari a $(m-1)(h-1)$.Atroce dubbio da pivellino: l'area di tale rettangolo è per caso il doppio di quella del triangolo?? Poi continuo, ma vi giuro sono fuso e non vorrei sbagliare a sto punto!!
"dissonance":
Non è infatti restrittivo supporre (come abbiamo fatto qui) che uno dei vertici del triangolo sia l'origine del sistema di riferimento, mi pare.
Concordo, perché se anche non ci si trovasse immediatamente nell caondizione che uno dei vertici coincide con l'origine del sistema, basta traslare questo con vettore le coordinate del punto nel quale si vuole portare l'origine, ed essendo queste intere, rimarranno tali anche le nuove coordinate dopo la trasformazione del sistema.
Per il punto 3) si potrebbe tentare così: chiudi il triangolo in un rettangolo e sottrai i punti lattice dei tre triangolini che gli fanno da contorno, che essendo retti sono trattabili col punto 1).
Ad occhio direi che la formula dell'1) funziona: se $h,k$ sono pari è banale, se sono dispari idem, se uno è pari e l'altro dispari $gcd(h,k)$ è dispari e siamo a posto.
"Tul":
Atroce dubbio da pivellino: l'area di tale rettangolo è per caso il doppio di quella del triangolo?? Poi continuo, ma vi giuro sono fuso e non vorrei sbagliare a sto punto!!
Credo di no.
"WiZaRd":
Ad occhio direi che la formula dell'1) funziona: se $h,k$ sono pari è banale, se sono dispari idem, se uno è pari e l'altro dispari $gcd(h,k)$ è dispari e siamo a posto.
Ok grazie!
"WiZaRd":
Credo di no.
Peccato! In tutti i casi stavo per svolgere come hai detto te(credo)! Riprendiamo:
contiamo i punti nel rettangolo che ha per vertice in alto a destra (tanto per essere rigorosi
) il punto $P(m;h)$; tale numero è pari a $(m-1)(h-1)$.sottraiamo i punti sui lati che sono pari a $GCD(h;k)+GCD(m;n)+GCD(m-h;k-n)-3$, è giusto vero?
e infine sottraiamo i punti dei tre triangoli che sono pari a:
$frac{(g-1)(h-1)-GCD(h;k)+1}{2}+frac{(m-1)(n-1)-GCD(m;n)+1}{2}+frac{((m-h)-1)((k-n)-1)-GCD(m-h;k-n)+1}{2}=$
$=frac{(g-1)(h-1)-GCD(h;k)+(m-1)(n-1)-GCD(m;n)+((m-h)-1)((k-n)-1)-GCD(m-h;k-n)+3}{2}=$
$=frac{(g-1)(h-1)+(m-1)(n-1)+((m-h)-1)((k-n)-1)+3-GCD(h;k)-GCD(m;n)-GCD(m-h;k-n)}{2}=$
$=frac{gh-g-h+mn-m-n+(m-h)^2(k-n)^2+6-GCD(h;k)-GCD(m;n)-GCD(m-h;k-n)}{2}$
Prima di continuare vorrei un vostro parere...saranno possibili ulteriori semplificazioni?
Buona idea questa di usare i rettangoli. Così il mio punto 2) non serve più, perché contiamo i punti nel rettangolo e poi usiamo la formula del punto 1) per contare i punti in eccesso. Infine facciamo la sottrazione #{punti nel rettangolo} - #{punti in eccesso} e ottieniamo i punti nel triangolo. Ho capito bene, ragazzi?
Peccato che la formula finale sia così terrificante
!
Peccato che la formula finale sia così terrificante
!
"dissonance":
Buona idea questa di usare i rettangoli. Così il mio punto 2) non serve più, perché contiamo i punti nel rettangolo e poi usiamo la formula del punto 1) per contare i punti in eccesso. Infine facciamo la sottrazione #{punti nel rettangolo} - #{punti in eccesso} e ottieniamo i punti nel triangolo. Ho capito bene, ragazzi?
Peccato che la formula finale sia così terrificante
Sisi...hai capito bene!
Altolà! Non so da dove, ma ho tirato fuori una $g$...sono bravo eh?Ora rifaccio tutto!
"Tul":
Altolà! Non so da dove, ma ho tirato fuori una $g$...sono bravo eh?Ora rifaccio tutto!
Credo sia un errore di distrazione. Penso che il problema a questo punto possa ritenersi risolto.
Concordo con dissonance sulla mostruosità della formula: peccato
Ma si, Tul, anche io ti sconsiglio di impazzire dietro quella formula. Niente ci garantisce che possa esistere un risultato più elegante, e anzi per me non è neanche tanto probabile che un risultato simile esista. E poi questo -in fondo- è solo un esercizio (bello), non vale la pena di perderci troppo tempo. Le idee sostanziali necessarie a risolverlo le abbiamo già sviluppate, e anzi io direi che siamo pure stati bravi. Un brindisi! 
"dissonance":
Ma si, Tul, anche io ti sconsiglio di impazzire dietro quella formula. Niente ci garantisce che possa esistere un risultato più elegante, e anzi per me non è neanche tanto probabile che un risultato simile esista. E poi questo -in fondo- è solo un esercizio (bello), non vale la pena di perderci troppo tempo. Le idee sostanziali necessarie a risolverlo le abbiamo già sviluppate, e anzi io direi che siamo pure stati bravi. Un brindisi!
Grande
! No invece voglio impazzirci ancora un po' perchè non era un fine, la formula, ma un mezzo per un lavoro che sto provando a fare! In fin dei conti poco mi importa se la formula è elegante o meno (risuarda la tesina di esame che ho intenzione di fare, però non voglio anticipare niente 
)! A spingermi ad andare avanti è il fatto che i massimi comun divisori, andando avanti nel "lavoro" si annullano, e per me questo non è poco! Appena capirò qualcosa vi farò sapere 
! Ora mi ritiro un po' sui miei fogli! Grazie a tutti!
Ho una buona notizia: è meno brutta di quel che pensassi!
Comunque ho l'impressione che valga solo per $m>h$ e $k>n$ come era nel grafico di dissonance, ma non ne sono certo, però per oggi ne ho abbastanza!
Se qualcuno ha voglia di fare un paio di prove per verificare se funge non mi fa certo un dispiacere!
$frac{mk-hn+2-GCD(h;k)-GCD(m;n)-GCD(m-h;k-n)}{2}$
A domani per nuovi sviluppi!
Comunque ho l'impressione che valga solo per $m>h$ e $k>n$ come era nel grafico di dissonance, ma non ne sono certo, però per oggi ne ho abbastanza!
Se qualcuno ha voglia di fare un paio di prove per verificare se funge non mi fa certo un dispiacere!
$frac{mk-hn+2-GCD(h;k)-GCD(m;n)-GCD(m-h;k-n)}{2}$
A domani per nuovi sviluppi!
"Tul":
Comunque ho l'impressione che valga solo per $m>h$ e $k>n$ come era nel grafico di dissonance, ma non ne sono certo, però per oggi ne ho abbastanza!
Domani, i.e., nel momento in cui scrivo, oggi ad un orario umanamente più accetabile, mi spieghi perché secondo te non vale. Tieni conto che $gcd(x,y)>0$ per definizione e $m,n,k,h$ si ottengono dopo una eventuale traslazioni, quindi se è per i segni non preoccuparti più di tanto.
No infatti...dovrebbe valere per ogni triangolo! Nel frattempo stamattina a scuola (al posto che seguire!) ho trovato le prime conseguenze della formula ottenuta, non sono niente male 
!
!
Scusate il secondo multiposting! Implementando quella formula al teorema di pick ho dimostrato un simpatico e mediamente utile fatto:
Dato, su un piano cartesiano, un poligono (concavo o convesso) di $n$ lati, i cui vertici $V_1,V_2,...,V_n$ (disposti in modo che $V_n$ e $V_1$, $V_i$ e $V_{i+1}$ siamo estremi dello stesso segmento) hanno coordinate razionali (credo che si possa estendere anche ai reali, in modo empirico funziona!), l'area di tale poligono è pari ad un mezzo della somma di tutti i $(y_{i+1}\cdotx_i)-(y_i\cdotx_{i+1})$ $\AAi\inNN^+$ con $i<=n$ e con $n+1=1$.
Non sapevo come scriverla meglio. Questo fatto non l'ho mai sentito, e non sono riuscito a trovarlo in nessuna pagina in internet (italiana) facendo un po' di ricerche...a meno che non abbia un nome particolare! Cosa ne pensate?
Dato, su un piano cartesiano, un poligono (concavo o convesso) di $n$ lati, i cui vertici $V_1,V_2,...,V_n$ (disposti in modo che $V_n$ e $V_1$, $V_i$ e $V_{i+1}$ siamo estremi dello stesso segmento) hanno coordinate razionali (credo che si possa estendere anche ai reali, in modo empirico funziona!), l'area di tale poligono è pari ad un mezzo della somma di tutti i $(y_{i+1}\cdotx_i)-(y_i\cdotx_{i+1})$ $\AAi\inNN^+$ con $i<=n$ e con $n+1=1$.
Non sapevo come scriverla meglio. Questo fatto non l'ho mai sentito, e non sono riuscito a trovarlo in nessuna pagina in internet (italiana) facendo un po' di ricerche...a meno che non abbia un nome particolare! Cosa ne pensate?
Ho capito cosa stai facendo, e in effetti è una buona idea. Magari scrivi in maniera più ordinata il risultato a cui sei pervenuto (prima per i poligoni a coordinate intere, poi vediamo quelle razionali), così vediamo di verificarlo per vedere se ci sono errori.
E fallo domenica, quando non sei a scuola.
E fallo domenica, quando non sei a scuola.
"dissonance":
Ho capito cosa stai facendo, e in effetti è una buona idea. Magari scrivi in maniera più ordinata il risultato a cui sei pervenuto (prima per i poligoni a coordinate intere, poi vediamo quelle razionali), così vediamo di verificarlo per vedere se ci sono errori.
E fallo domenica, quando non sei a scuola.
Sono abbastanza sicuro del mio risultato...ho seguito una dimostrazione rigorosa (semmai la butto per iscritto sul computer) e verificata (con successo) non so quante volte durante un'interminabile ora di filosofia! Poi dai...di domenica ho di meglio da fare che fare matematica!
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