Coordinate intere in un triangolo!

[Tul1]

Non so quanto questa possa essere la sezione giusta, ma non saprei proprio dove potrei postare il mio problema (tempo fa ne avevo postato uno simile).

Date le coordinate (intere) di tre punti su un piano, è possibile determinare, all'interno del triangolo di cui essi sono i vertici, il numero di punti a coordinate intere presenti, in funzione delle coordinate dei punti, senza in alcun modo ricorrere al teorema di Pick?

Scusate per l'assurdità della domanda, mi pare ovvio che la risposta sia sì; ma non riesco a trovare una formula per ottenere tale numero, nonostante io abbia abbondantemente lavorato su aree, triangoli rettangoli e ampiezze degli angoli!
Grazie a tutti!

[dissonance]

Va tutto benissimo, ma resta il fatto che vorrei sapere anche io a quale risultato sei pervenuto. E ancora non lo so . Dal tuo post precedente non è che si capisca molto. Se ne hai voglia, scrivilo in maniera più leggibile, anche solo per le coordinate intere che forse è più facile. Poi vediamo le coordinate razionali e quelle reali.

[Tul1]

sono un dislessico della matematica. Comunque ho imparato a tempo record come scrivere una sommatoria! Riproviamo:

Dato, su un piano cartesiano, un poligono qualsiasi di $n$ lati, i cui vertici $V1,V2,...,Vn$ sono disposti "in ordine da 1 a $n$" (non so come dire questa parte...significa che tra $V_1$ e $V_3$ c'è $V_2$ ecco!!) e hanno coordinate razionali (credo che si possa estendere anche ai reali, in modo empirico funziona!), l'area di tale poligono è pari

$A=|sum_{i=1}^n\frac{(y_{i+1}\cdotx_i)-(y_i\cdotx_{i+1})}{2}|$ (naturalmente, $V_{n+1}=V_1$)

Per me è meno chiaro di prima (che tra l'altro m ero scordato il valore assoluto) però dovrebbe essere più rigorosa adesso no?!

[dissonance]

Ah, adesso ho capito che cosa volevi dire con $n+1=1$. E naturalmente ogni vertice $V_i=(x_i, y_i)$. Beh, così è parecchio più bellina la formula invece! Tu addirittura dici

Per me è meno chiaro di prima (che tra l'altro m ero scordato il valore assoluto)

Guarda, facciamo una cosa. Qua sarebbe una cosa simpatica scrivere un programmino che genera un poligono random, ne calcola l'area con un sistema garantito e verifica se la tua formula funziona (non ne dubito). Appena ho tempo lo scrivo io in Maple.

Poi, supponendo che non ci siano errori, c'è da estendere la dimostrazione alle coordinate reali. E questo è un po' più delicato perché penso sia necessario usare qualche nozione più avanzata di analisi (la nozione di limite e quella di misura). Ma è probabile che la formula funzioni anche in questo caso.

[Tul1]

"dissonance":Ah, adesso ho capito che cosa volevi dire con $n+1=1$. E naturalmente ogni vertice $V_i=(x_i, y_i)$. Beh, così è parecchio più bellina la formula invece! Tu addirittura dici

Per me è meno chiaro di prima (che tra l'altro m ero scordato il valore assoluto)

Sai...io non ne ho (quasi) mai viste di sommatorie, e quindi trovo quella formula abbastanza spaventosa!

"dissonance":
Guarda, facciamo una cosa. Qua sarebbe una cosa simpatica scrivere un programmino che genera un poligono random, ne calcola l'area con un sistema garantito e verifica se la tua formula funziona (non ne dubito). Appena ho tempo lo scrivo io in Maple.

Poi, supponendo che non ci siano errori, c'è da estendere la dimostrazione alle coordinate reali. E questo è un po' più delicato perché penso sia necessario usare qualche nozione più avanzata di analisi (la nozione di limite e quella di misura). Ma è probabile che la formula funzioni anche in questo caso.

Grazie sarebbe forte (anche se il Maple non so che sia!)! Grazie anche dell'aiuto e della partecipazione in tutto il topic!