Convessi con complementari convessi
Un quesito di geometria piana che mi è venuto in mente oggi. Non sono riuscito a rispondere e lo propongo qui, magari qualcuno con conoscenze fresche dell'argomento vorrà cimentarsi.
Mettiamoci nell'ordinario piano Euclideo. Sappiamo che cos'è, in questo ambito, una figura geometrica: nient'altro che un sottoinsieme del piano. Data una figura geometrica $F$ viene naturale considerare la figura ad essa complementare, ovvero composta da tutti i punti del piano che non appartengono ad $F$. Ad esempio, dato un cerchio, il suo complementare è il piano con un "buco" tondo.
Sappiamo anche che cos'è una figura convessa: si tratta di una figura tale che comunque noi scegliamo due suoi punti, tutto il segmento che li congiunge è contenuto nella figura stessa. Ad esempio, un triangolo, un rettangolo e un cerchio sono convessi; un ferro di cavallo no.
Esaminiamo un po' di figure convesse con i relativi complementari. La più semplice è il cerchio: il complementare -come detto prima- è il piano con un "buco". Questo complementare è convesso? Naturalmente no e dimostrarlo è molto facile (ad esempio, considerando una retta passante per il centro del cerchio).
Ma questa situazione si verifica anche per tutte le altre figure citate: triangoli e rettangoli sono tutti convessi, con complementare non convesso.
Viene in mente però una figura geometrica per la quale la situazione è diversa: si tratta del semipiano. Qui è tutta un'altra musica: il semipiano è convesso, e il complementare è esso stesso convesso.
Domanda. Il semipiano è l'unica figura piana con questa proprietà? O esistono altre figure piane convesse con complementare convesso?
[edit]: La risposta alla domanda è, con tutta probabilità, sì. Però ora bisogna dimostrarlo.
Mettiamoci nell'ordinario piano Euclideo. Sappiamo che cos'è, in questo ambito, una figura geometrica: nient'altro che un sottoinsieme del piano. Data una figura geometrica $F$ viene naturale considerare la figura ad essa complementare, ovvero composta da tutti i punti del piano che non appartengono ad $F$. Ad esempio, dato un cerchio, il suo complementare è il piano con un "buco" tondo.
Sappiamo anche che cos'è una figura convessa: si tratta di una figura tale che comunque noi scegliamo due suoi punti, tutto il segmento che li congiunge è contenuto nella figura stessa. Ad esempio, un triangolo, un rettangolo e un cerchio sono convessi; un ferro di cavallo no.
Esaminiamo un po' di figure convesse con i relativi complementari. La più semplice è il cerchio: il complementare -come detto prima- è il piano con un "buco". Questo complementare è convesso? Naturalmente no e dimostrarlo è molto facile (ad esempio, considerando una retta passante per il centro del cerchio).
Ma questa situazione si verifica anche per tutte le altre figure citate: triangoli e rettangoli sono tutti convessi, con complementare non convesso.
Viene in mente però una figura geometrica per la quale la situazione è diversa: si tratta del semipiano. Qui è tutta un'altra musica: il semipiano è convesso, e il complementare è esso stesso convesso.
Domanda. Il semipiano è l'unica figura piana con questa proprietà? O esistono altre figure piane convesse con complementare convesso?
[edit]: La risposta alla domanda è, con tutta probabilità, sì. Però ora bisogna dimostrarlo.
Risposte
che io sappia, sì (i semipiani sono le uniche figure che godono di tale proprietà).
è chiaro che ci sono infiniti modi per "disegnare" una figura piana, quindi anche con "contorno intrecciato,...", però, se intendiamo un qualsiasi insieme di punti del piano ed il suo complementare, una figura "sconnessa" (ammesso che ne riusciamo a dare una definizione soddisfacente) dovrebbe risultare concava per sua stessa definizione; un poligono è convesso se e solo se ha tutti gli angoli interni convessi (automaticamente gli esplementari di tali angoli risultano angoli interni, concavi, del complementare del "nostro" poligono); per le figure a contorno curvilineo la definizione di concavità generale non fa riferimento agli angoli, però piuttosto quella degli angoli dei poligoni convessi è una formalizzazione derivata dalla definizione generale che fa riferimento alla "forma" delle figure.
non ti dice nulla la definizione di convessità per i grafici delle funzioni? come l'applicheresti alle figure del piano euclideo?
ciao.
è chiaro che ci sono infiniti modi per "disegnare" una figura piana, quindi anche con "contorno intrecciato,...", però, se intendiamo un qualsiasi insieme di punti del piano ed il suo complementare, una figura "sconnessa" (ammesso che ne riusciamo a dare una definizione soddisfacente) dovrebbe risultare concava per sua stessa definizione; un poligono è convesso se e solo se ha tutti gli angoli interni convessi (automaticamente gli esplementari di tali angoli risultano angoli interni, concavi, del complementare del "nostro" poligono); per le figure a contorno curvilineo la definizione di concavità generale non fa riferimento agli angoli, però piuttosto quella degli angoli dei poligoni convessi è una formalizzazione derivata dalla definizione generale che fa riferimento alla "forma" delle figure.
non ti dice nulla la definizione di convessità per i grafici delle funzioni? come l'applicheresti alle figure del piano euclideo?
ciao.
@adaBTTLS: Speravo proprio in un intervento come il tuo!
Ti dico subito una cosa: Se questa esposizione troppo lunga e caotica ti dovesse infastidire, non farti problemi a dirmelo, che riscrivo tutto e rifaccio, meglio, il disegno.
Dunque, io ho postato qui perché vorrei cercare di sfruttare al massimo la geometria euclidea "elementare", nel senso che vorrei evitare di usare considerazioni topologiche, nei limiti del possibile.
Riprendo questa affermazione:
Ora partiamo dal dire che se una figura è limitata (potremmo definirla così: una figura è limitata se si può includere in un cerchio) ed è convessa, allora il complementare è concavo. (**)
Quindi prendiamo una figura $F$, convessa, non limitata.
Se potessimo dire che la nostra $F$ è necessariamente l'epigrafico di una funzione reale convessa, avremmo finito. E questo per cercare di sfruttare il tuo suggerimento (meglio di così purtroppo non so fare
).
Il guaio è: come lo dimostriamo che ogni insieme convesso non limitato viene da una funzione convessa? Bisognerebbe trovare un sistema di coordinate cartesiane opportuno. E poi c'è il problema di definire il concetto di "contorno" della figura $F$... Purtroppo non ci sono riuscito.
Ti dico subito una cosa: Se questa esposizione troppo lunga e caotica ti dovesse infastidire, non farti problemi a dirmelo, che riscrivo tutto e rifaccio, meglio, il disegno.
Dunque, io ho postato qui perché vorrei cercare di sfruttare al massimo la geometria euclidea "elementare", nel senso che vorrei evitare di usare considerazioni topologiche, nei limiti del possibile.
Riprendo questa affermazione:
...è chiaro che ci sono infiniti modi per "disegnare" una figura piana, quindi anche con "contorno intrecciato,...", però, se intendiamo un qualsiasi insieme di punti del piano ed il suo complementare, una figura "sconnessa" (ammesso che ne riusciamo a dare una definizione soddisfacente)...(*)
non ti dice nulla la definizione di convessità per i grafici delle funzioni? come l'applicheresti alle figure del piano euclideo?
Ora partiamo dal dire che se una figura è limitata (potremmo definirla così: una figura è limitata se si può includere in un cerchio) ed è convessa, allora il complementare è concavo. (**)
Quindi prendiamo una figura $F$, convessa, non limitata.
Se potessimo dire che la nostra $F$ è necessariamente l'epigrafico di una funzione reale convessa, avremmo finito. E questo per cercare di sfruttare il tuo suggerimento (meglio di così purtroppo non so fare
).Il guaio è: come lo dimostriamo che ogni insieme convesso non limitato viene da una funzione convessa? Bisognerebbe trovare un sistema di coordinate cartesiane opportuno. E poi c'è il problema di definire il concetto di "contorno" della figura $F$... Purtroppo non ci sono riuscito.
- Ragionando in questa direzione, però, mi è casualmente venuta una mezza idea alternativa; quella di scimmiottare la dimostrazione della (**), usando i semipiani in luogo dei cerchi. L'obiettivo è riuscire ad aggirare la definizione di "contorno", che non saprei proprio come dare in maniera rigorosa.
Supponiamo di poter dimostrare che:
a)la nostra $F$ di sopra (convessa, non limitata) è contenuta in un semipiano. (Mi pare che sia una cosa ragionevole);
b)possiamo trovare un $pi$, il più piccolo tra i semipiani contenenti $F$. (Questo invece mi pare più tosto).
In queste ipotesi, se supponiamo il complementare di $F$ convesso, allora $F=pi$.
Dimostrazione: Nel disegno (penoso! abbi pazienza per favore...) indico con $F$ la figura convessa, che sta al di sopra di quella curva; $pi$ è il semipiano superiore individuato dalla retta a tratto spesso. Se per assurdo $F$ fosse contenuta propriamente in $pi$, riusciremmo a trovare un $P$ come in figura: in $pi$ ma non in $F$. Osserviamo che al variare del punto $X$ nel semipiano opposto a $pi$, il segmento tratteggiato descrive tutta la striscia individuata dalle rette a tratto spesso (tranne la retta tratto-punto). Abbiamo supposto il complementare di $F$ convesso, perciò tutti quei segmenti tratteggiati devono stare nel complementare di $F$, e di conseguenza tutta quella striscia deve stare nel complementare di $F$.
Ma per ipotesi $pi$ era il più piccolo semipiano contenente $F$. Contraddizione derivante dall'aver supposto $F!=pi$.
[/list:u:1limk15i]
Che ne pensi di questa idea?
_________________________________
Note:
(*)Io direi che la stessa convessità è una forma (molto restrittiva) di connessione. Sempre senza scomodare la topologia, potremmo dare una definizione di "connessione per poligonali" in termini esclusivamente elementari: una figura geometrica $F$ è connessa per poligonali se e solo se per ogni $P, Q\inF$ esiste una poligonale avente $P, Q$ come estremi e tutta contenuta in $F$. Tutte le figure convesse, in particolare, sono connesse per poligonali. Non so però quanto ci possa tornare utile.
(**)
E questo lo possiamo dimostrare per via elementare, e mi pare anche facile.
Ad esempio: costruiamo il cerchio in maniera tale che il suo centro cada sulla figura convessa. Consideriamo un qualsiasi diametro del cerchio e prolunghiamolo ad una retta. Su questa retta possiamo trovare due punti -nel complementare della figura- che non possono essere uniti da un segmento senza incrociare il centro del cerchio, e quindi uscire dal complementare. E perciò il complementare è concavo.
l'idea è buona.
però il punto b) (quello che tu stesso consideri "più tosto") ha qualcosa di strano, perché esistono in generale più semipiani non contenuti l'uno nell'altro che contengono una figura convessa. "il" semipiano $pi$ di cui tu parli è invece in qualche modo definito "localmente" (semipiano tangente alla figura concava in un punto del suo contorno... o sbaglio?)...
o forse si potrebbe dire che se per assurdo esistessero due semipiani distinti (che non siano l'uno contenuto nell'altro) contenenti entrambi la figura, allora riusciremmo a trovare una retta che taglia la nostra figura e che non è parallela a nessuna delle due rette che individuano i due semipiani (e la cosa è sufficiente per dimostrare la concavità del complementare della "nostra" figura)?
spero che non siano "vaneggiamenti" una persona "dormiente" che digita casualmente sulla tastiera ....
a domani. buona notte!
però il punto b) (quello che tu stesso consideri "più tosto") ha qualcosa di strano, perché esistono in generale più semipiani non contenuti l'uno nell'altro che contengono una figura convessa. "il" semipiano $pi$ di cui tu parli è invece in qualche modo definito "localmente" (semipiano tangente alla figura concava in un punto del suo contorno... o sbaglio?)...
o forse si potrebbe dire che se per assurdo esistessero due semipiani distinti (che non siano l'uno contenuto nell'altro) contenenti entrambi la figura, allora riusciremmo a trovare una retta che taglia la nostra figura e che non è parallela a nessuna delle due rette che individuano i due semipiani (e la cosa è sufficiente per dimostrare la concavità del complementare della "nostra" figura)?
spero che non siano "vaneggiamenti" una persona "dormiente" che digita casualmente sulla tastiera ....
a domani. buona notte!
Ma il problema qual è? Provare che l'unica figura covessa con complementare convesso è il semipiano?
sì. hai qualche idea in proposito?
"WiZaRd":
Ma il problema qual è? Provare che l'unica figura covessa con complementare convesso è il semipiano?
Andiamo bene, andiamo! Caro Wizard, questa la prendo come una bacchettata: evidentemente ho fatto tanto di quel casino che non si capisce nemmeno più quale sia la domanda! 
@ adaBTTLS: Hai ragione sul fatto dell'unicità del più piccolo semipiano, ovvero il punto b) di cui sopra (quello "più tosto"). In generale è una cosa non vera, e quindi io la scarterei come idea. Questo esclude di procedere come scritto nel mio post precedente.
Sono contento, però, che secondo te non sia tutto da buttare e che si può arrivare da qualche parte ragionando per semipiani. Ora vedo di sviluppare la tua idea di considerare per assurdo due semipiani distinti, che mi pare promettente.
Sono contento, però, che secondo te non sia tutto da buttare e che si può arrivare da qualche parte ragionando per semipiani. Ora vedo di sviluppare la tua idea di considerare per assurdo due semipiani distinti, che mi pare promettente.
sono contenta che ritieni percorribile questa strada. ora propongo una cosa logica che se ne può dedurre, buttando giù una traccia di dimostrazione che però deve essere perfezionata nella parte iniziale.
sappiamo che un semipiano è una figura convessa, che l'intersezione di due figure convesse è convessa, che l'unione di due figure convesse non è detto che lo sia. consideriamo nel piano euclideo due generiche rette incidenti. esse dividono il piano in quattro angoli convessi. l'unione di due qualsiansi angoli consecutivi è un semipiano, ed è convesso. l'unione di due angoli opposti al vertice è concava. tutto il piano (unione dei quattro angoli) è convesso. l'unione di tre angoli qualsiansi è concava. mi verrebbe da dire anche "una semiretta è convessa, tutto l'angolo giro, privato però di una semiretta, è concavo, e così pure per una retta e tutto il piano privato di una retta". una striscia di piano è convessa, il suo complementare (unione di due semipiani disgiunti) è concavo.
oserei dire, e su questo è il caso di riflettere:
date due rette $r, s$, incidenti in un punto $P$, e condiderato il fascio proprio di rette passanti per $P$, se una figura piana ha dei punti in due degli angoli opposti al vertice individuati dalle rette $r, s$ e non ha alcun punto in almeno uno degli altri due angoli (punti interni), allora non può essere convessa se non è contenuta in uno dei semipiani individuati da una delle rette del fascio di rette passante per $P$.
qui ci si potrebbe riagganciare alla tua idea precedente del piano e alla mia dell'intersezione di due piani.
va ancora aggiunto qualcosa, però, nell'ipotesi che una fugura non vuota sia contenuta nell'intersezione di due semipiani ecc..., è banale dimostrare che il suo complementare è concavo: basta prendere un punto appartenente alla figura ed una retta che passa per esso e non parallela a nessuna delle due rette che individuano i due semipiani ...
a presto! ciao.
sappiamo che un semipiano è una figura convessa, che l'intersezione di due figure convesse è convessa, che l'unione di due figure convesse non è detto che lo sia. consideriamo nel piano euclideo due generiche rette incidenti. esse dividono il piano in quattro angoli convessi. l'unione di due qualsiansi angoli consecutivi è un semipiano, ed è convesso. l'unione di due angoli opposti al vertice è concava. tutto il piano (unione dei quattro angoli) è convesso. l'unione di tre angoli qualsiansi è concava. mi verrebbe da dire anche "una semiretta è convessa, tutto l'angolo giro, privato però di una semiretta, è concavo, e così pure per una retta e tutto il piano privato di una retta". una striscia di piano è convessa, il suo complementare (unione di due semipiani disgiunti) è concavo.
oserei dire, e su questo è il caso di riflettere:
date due rette $r, s$, incidenti in un punto $P$, e condiderato il fascio proprio di rette passanti per $P$, se una figura piana ha dei punti in due degli angoli opposti al vertice individuati dalle rette $r, s$ e non ha alcun punto in almeno uno degli altri due angoli (punti interni), allora non può essere convessa se non è contenuta in uno dei semipiani individuati da una delle rette del fascio di rette passante per $P$.
qui ci si potrebbe riagganciare alla tua idea precedente del piano e alla mia dell'intersezione di due piani.
va ancora aggiunto qualcosa, però, nell'ipotesi che una fugura non vuota sia contenuta nell'intersezione di due semipiani ecc..., è banale dimostrare che il suo complementare è concavo: basta prendere un punto appartenente alla figura ed una retta che passa per esso e non parallela a nessuna delle due rette che individuano i due semipiani ...
a presto! ciao.
Mi sbilancio a dire che questa tua di pensare in termini di angoli, non solo di semipiani, è l'idea risolutiva.
Snocciolando un po' il tuo suggerimento, stavo pensando di fabbricare una sorta di "classificazione" di tutte le figure piane.
Snocciolando un po' il tuo suggerimento, stavo pensando di fabbricare una sorta di "classificazione" di tutte le figure piane.
Classificazione. Sia $F$ una qualsiasi figura piana. Allora è vera una e una sola delle quattro:
i) $F$ è contenuta in un angolo convesso;
ii) $F$ è contenuta in un angolo piatto (semipiano) e in nessun angolo convesso;
iii) $F$ è contenuta in un angolo concavo (inteso come complementare di un angolo convesso) e in nessun angolo piatto o convesso;
iv) $F$ è contenuta in un angolo giro (piano) e in nessun altro angolo.
[/list:u:130dmm2x]
Mi pare si possa dire che questa proposizione è vera, anche se è un po' scivolosa e potrebbe farci qualche brutta sorpresa; ma al momento mi sembra non solo vera ma anzi di dimostrazione immediata.
A questo punto, supponiamo che $F$ sia convessa. In quali delle 4 classi (i, ii, iii, iv) può stare?
- Proprietà. Sia $F$ una figura convessa. Allora:
***Se $F$ appartenesse alla classe (iv) dovrebbe essere $F="tutto il piano"$***.
Infatti $F!=\emptyset$ perché altrimenti saremmo nella (i). Poi, supponiamo per assurdo che esista un punto $O\notinF$. Essendo $F$ non vuoto, possiamo trovare anche un punto $P\inF$. Consideriamo la retta $OP$ e su questa individuiamo la semiretta di origine $O$ e non contenente $P$. Questa semiretta contiene necessariamente punti di $F$ (altrimenti saremmo nel caso (iii) - tutto il piano meno una semiretta è, se non sbaglio, un angolo concavo) e quindi $O$ è in un segmento di estremi due punti di $F$. Concludiamo che $O\inF$ che è una contraddizione.
***Se $F$ appartenesse alla classe (iii) arriveremmo (spero) ad una contraddizione con la convessità***.
Infatti, supponendo $F$ convessa e di classe (iii), dobbiamo poter arrivare ad una configurazione come questa:
dove $F$ è l'area colorata in celeste.
Qui io procederei così (questa dimostrazione è incompleta): anche stavolta $F!=\emptyset$ e non è ridotta ad un solo punto (altrimenti saremmo nella (i)); quindi possiamo prendere due punti$X, Y\inF$.
Per ipotesi $F$ è di classe (iii), quindi esistono sicuramente un punto $O$ e due semirette $s, t$ come nella figura, ovvero disgiunti da $F$. Se per ogni coppia di punti $X, Y$ in $F$ il segmento $bar(XY)$ non intersecasse l'angolo convesso $hat(Ost)$, vorrebbe dire che possiamo scegliere altre due semirette $s', t'$ di origine $O$ in maniera tale da formare un angolo convesso $hat(Os't')$ più grande e sempre esterno ad $F$. (Perché al variare di $X, Y\inF$, i segmenti $bar(XY)$ descrivono esattamente tutto $F$. Quindi possiamo ingrandire l'angolo convesso senza toccare $F$.) Ma con questo procedimento l'angolo $hat(Os't')$ non può comunque mai raggiungere l'angolo piatto, per via della classe (iii). Da qui dovrebbe scaturire una contraddizione con la convessità.
***Se $F$ appartenesse alla classe (ii), $F$ sarebbe un semipiano, eventualmente aperto o semiaperto*** (Def. un semipiano aperto è un semipiano meno la sua retta origine. Un semipiano "semiaperto" è un semipiano meno una semiretta contenuta nell'origine).
Per dimostrare questo (questa dimostrazione è incompleta) si potrebbe ripercorrere il ragionamento del mio post precedente: includiamo $F$ in un semipiano $pi$; se $F$ è tutto il semipiano, chiuso o aperto, abbiamo finito.
Altrimenti si trova un punto di $pi$ non in $F$ e si dimostra (usando la convessità di $F$) che tutta una striscia semiaperta non è in $F$. Da qui dovremmo arrivare a concludere, ragionando per assurdo, che $F$ deve coincidere con qualche semipiano (chiuso o aperto o semiaperto) contenuto in $pi$.
Infine,
***$F$ può appartenere alla classe (i)***
e su questo non c'è nulla da aggiungere.[/list:u:130dmm2x]
Questa proprietà (ammesso che sia vera e dimostrabile) ci permette di arrivare alla seguente conclusione.
- Proposizione. Sia $F$ una figura convessa, $F$ non sia tutto il piano. Chiamiamo $G$ il complementare di $F$.
Allora:
I) $F$ può essere solo di classe (i) oppure (ii);
II) Se anche $G$ è convesso, $G$ può essere solo di classe (i) oppure (ii);
E perciò se $F$ e $G$ sono convessi, necessariamente $F$ e $G$ sono entrambi di classe (ii). Ma tutti i convessi di classe (ii) sono i semipiani chiusi e aperti [edit: anche semiaperti], da cui $F, G$ sono un semipiano chiuso ed uno aperto o viceversa [edit: oppure due semipiani semiaperti].
[/list:u:130dmm2x]
Devo essere sincero: non sono sicuro al 100% che questa costruzione funzioni. Ma almeno adesso abbiamo una migliore formalizzazione del problema.
[EDIT]: Sulla scia dell'esempio proposto da Fioravante Patrone ho aggiunto una classe di semipiani, che ho impropriamente chiamato semiaperti. Sono semipiani chiusi, meno una semiretta contenuta nell'origine. Anche questi sono convessi, con complementare convesso (il complementare di un semipiano semiaperto è un semipiano semiaperto).
Carini gli angoli!
Segnalo l'esempio interessante del semipiano delle x positive, incluso l'asse delle y positive e l'origine.
E il suo complementare.
Segnalo anche il teorema 1.3.7, pag. 17 di:
http://assets.cambridge.org/97805213/52 ... 2208ws.pdf
Da applicare a un insieme e al suo complementare.
Magari non va bene in questa sezione
Segnalo l'esempio interessante del semipiano delle x positive, incluso l'asse delle y positive e l'origine.
E il suo complementare.
Segnalo anche il teorema 1.3.7, pag. 17 di:
http://assets.cambridge.org/97805213/52 ... 2208ws.pdf
Da applicare a un insieme e al suo complementare.
Magari non va bene in questa sezione
ho due obiezioni che di fatto si riducono ad una sola: ii e iii. hai disegnato per iii una figura che di fatto rientra in ii. pensa al piano diviso in due parti da una sinusoide: entrambe le parti sono contenute in semipiani ed entrambe sono concave.
devo dire che ho letto il tuo messaggio in maniera "frammentata", perché nel frattempo sono andata a pranzo, ma forse qualcosa mi sfugge...
devo dire che ho letto il tuo messaggio in maniera "frammentata", perché nel frattempo sono andata a pranzo, ma forse qualcosa mi sfugge...
"Fioravante Patrone":
Segnalo l'esempio interessante del semipiano delle x positive, incluso l'asse delle y positive e l'origine.
E il suo complementare.
Dopo questo esempio ho modificato il mio post precedente, aggiungendo una classe di semipiani che ho chiamato con sforzo di fantasia semiaperti. Si tratta di figure analoghe a quella di questo esempio: un semipiano chiuso meno una semiretta contenuta nell'origine. Adesso si tratta di dimostrare che gli unici convessi a complementare convesso sono i semipiani chiusi, aperti, e semiaperti.
P.S.:Adesso dò un'occhiata al pdf...beh certo in questa sezione non è molto appropriato
.
@adaBTTLS: sì hai ragione, purtroppo sono alle primissime armi con questi strumenti di disegno. Quella figura celestina è da intendersi non come delimitata da una sinusoide, ma come una cosa di questo genere:
ho visto solo ora l'intervento di Fioravante e la correzione di dissonance.
grazie a Fioravante del contributo. lo vedrò con calma.
ritornando al disegno del caso iii, una figura deve essere illimitata "da tutte le parti" per non rientrare nel caso ii.
il mio tentativo di partire da due rette incidenti doveva servire ad unificare la trattazione tra figure limitate e illimitate, figure connesse e sconnesse, solo che se si parte dalla figura bisogna riuscire a formalizzare meglio come vanno considerate le rette, ma anche gli angoli e i semipiani ...
EDIT: la sinusoide l'ho considerata io come controesempio. adesso vediamo se si riesce a formalizzare meglio...
grazie a Fioravante del contributo. lo vedrò con calma.
ritornando al disegno del caso iii, una figura deve essere illimitata "da tutte le parti" per non rientrare nel caso ii.
il mio tentativo di partire da due rette incidenti doveva servire ad unificare la trattazione tra figure limitate e illimitate, figure connesse e sconnesse, solo che se si parte dalla figura bisogna riuscire a formalizzare meglio come vanno considerate le rette, ma anche gli angoli e i semipiani ...
EDIT: la sinusoide l'ho considerata io come controesempio. adesso vediamo se si riesce a formalizzare meglio...
@adaBTTLS: provo a riassumerti la mia idea in estrema sintesi, perché penso che stiamo tentando di fare la stessa cosa. Quindi è opportuno riordinare le idee.
Consideriamo la famiglia degli angoli. Di queste paricolari figure solo una sottofamiglia è convessa a complementare convesso: gli angoli piatti. Ora, o con la mia "classificazione", o con qualche altro sistema (come quello a cui stai pensando tu), estendiamo questo discorso a tutte le figure convesse. Dovremmo arrivare a dire che solo le figure convesse di classe (ii) (per usare la terminologia di prima) sono convesse a complementare convesso. E perciò la tesi.
Ecco, questo è tutto. Spero di aver chiarito la situazione...
[edit] aggiungo una cosa: io direi che la distinzione tra figure limitate e non limitate possiamo ignorarla. Entrambi stiamo seguendo una strada che non fa uso di questa proprietà. Avevo pensato di usarla, in un primo momento, ma ora credo sia meglio lasciarla perdere perché complica il discorso.
Consideriamo la famiglia degli angoli. Di queste paricolari figure solo una sottofamiglia è convessa a complementare convesso: gli angoli piatti. Ora, o con la mia "classificazione", o con qualche altro sistema (come quello a cui stai pensando tu), estendiamo questo discorso a tutte le figure convesse. Dovremmo arrivare a dire che solo le figure convesse di classe (ii) (per usare la terminologia di prima) sono convesse a complementare convesso. E perciò la tesi.
Ecco, questo è tutto. Spero di aver chiarito la situazione...
[edit] aggiungo una cosa: io direi che la distinzione tra figure limitate e non limitate possiamo ignorarla. Entrambi stiamo seguendo una strada che non fa uso di questa proprietà. Avevo pensato di usarla, in un primo momento, ma ora credo sia meglio lasciarla perdere perché complica il discorso.
"dissonance":
[edit] aggiungo una cosa: io direi che la distinzione tra figure limitate e non limitate possiamo ignorarla. Entrambi stiamo seguendo una strada che non fa uso di questa proprietà. Avevo pensato di usarla, in un primo momento, ma ora credo sia meglio lasciarla perdere perché complica il discorso.
Fate vobis, anche se comunque potete assumere che sia l'insieme che il complementare siano illimitati.
Perché se una è limitata (e non vuota...) contiene almeno un elemento $x_0$ e per la limitatezza $x_0 +t(1,1,...,1)$ e $x_0 -t(1,1,...,1)$ per $t$ abbastanza grosso sta nel complementare che quindi non può essere convesso.
quale situazione dovevi chiarire? è "cristallina". stiamo affermando le stesse cose. casomai è un problema di dimostrazione...
la classificazione ed il percorso sono giusti, però le figure concave sono "non-convesse" per molto meno di queste grandi classificazioni. quindi la dimostrazione la vedo un percorso ad ostacoli...
ti vorrei invitare a riflettere su un paio di cose:
- le figure sconnesse (che è vero che sono banalmente concave, ma con la tua classificazione ed i tuoi esempi che includono tutte le figure piane come insieme dei punti del piano non vedo perché non debbano rientrare nella trattazione);
- l'esempio che ho scritto in uno dei messaggi precedenti dell'angolo giro privato di una semiretta [piano semiaperto?] (che rientrerebbe in iv, che è banalmente concavo, ma che non puoi dimostrare essere concavo con le argomentazioni scritte per altre figure che rientrano nel caso iv, perché non basta prendere una qualsiasi retta passante per un punto della figura e per un punto del suo complementare...)
spero di aver chiarito la mia posizione, e perché sto facendo "l'avvocato del diavolo"...
la classificazione ed il percorso sono giusti, però le figure concave sono "non-convesse" per molto meno di queste grandi classificazioni. quindi la dimostrazione la vedo un percorso ad ostacoli...
ti vorrei invitare a riflettere su un paio di cose:
- le figure sconnesse (che è vero che sono banalmente concave, ma con la tua classificazione ed i tuoi esempi che includono tutte le figure piane come insieme dei punti del piano non vedo perché non debbano rientrare nella trattazione);
- l'esempio che ho scritto in uno dei messaggi precedenti dell'angolo giro privato di una semiretta [piano semiaperto?] (che rientrerebbe in iv, che è banalmente concavo, ma che non puoi dimostrare essere concavo con le argomentazioni scritte per altre figure che rientrano nel caso iv, perché non basta prendere una qualsiasi retta passante per un punto della figura e per un punto del suo complementare...)
spero di aver chiarito la mia posizione, e perché sto facendo "l'avvocato del diavolo"...
Non vorrei dire banalità, ma io non vedo la necessità di fare tutte queste costruzioni.
Parto con alcune definizioni per cercare di spiegare bene quello che ho pensato.
Definizione 1. Si dice figura piana un qualsivoglia sottoinsieme del piano.
Conseguenza. Anche il piano è una figura geometrica.
Definizione 2. Dato un piano $pi$, chiamiamo complementare di una figura $ccF$ l'insieme $ccF':=pi\\ccF$.
Osservazione. $ccF' cap ccF =\emptyset$, quindi è sempre possibile definire un perimetro della figura $ccF$: i.e. non abbiamo necessità di precisare se la figura va considerata col perimetro o meno perché questo non appartiene al complementare.
Definizione 3. data una figura $ccF$ definiamo perimetro della figura la linea (eventualmente curva) $ccL$ tale che per ogni due punti $A,B \in ccF$ risulta $ccFcapAB={A} vee ccF\capAB={B} vee ccFcapAB=emptyset$.
Lemma. Il semipiano è convesso.
Dimostrazione. Postulato di partizione del piano.
Teorema. Il complementare del semipiano è convesso.
Dimostrazione. Il complementare è un semipiano privato dell'origine, ma per l'osservazione precedente questa privazione è ininfluente.
Teorema. Ogni altra figura convessa distinta dalla precedente ha complementare concavo.
Dimostrazione. Sia $ccL$ il perimetro della figura $ccE$: questo non può essere una retta, altrimenti abbiamo un semipiano, quindi $ccL$ non è rettilinea. Questa figura è convessa, quindi presi $X,Y in ccL$ risulta $XY in ccE$. Sia $r$ la retta supporto di $XY$: questa retta passa per il complementare $ccE'$ di $E$, perché qualora così non fosse i punti $X,Y$ non apparterrebbero a $ccL$ (conseguenza della definizione di $ccL$), sicché possiamo individuare $X',Y' in ccE'$ tale che $XY subset X'Y'$ con $XY notin ccE'$. (QED)
Parto con alcune definizioni per cercare di spiegare bene quello che ho pensato.
Definizione 1. Si dice figura piana un qualsivoglia sottoinsieme del piano.
Conseguenza. Anche il piano è una figura geometrica.
Definizione 2. Dato un piano $pi$, chiamiamo complementare di una figura $ccF$ l'insieme $ccF':=pi\\ccF$.
Osservazione. $ccF' cap ccF =\emptyset$, quindi è sempre possibile definire un perimetro della figura $ccF$: i.e. non abbiamo necessità di precisare se la figura va considerata col perimetro o meno perché questo non appartiene al complementare.
Definizione 3. data una figura $ccF$ definiamo perimetro della figura la linea (eventualmente curva) $ccL$ tale che per ogni due punti $A,B \in ccF$ risulta $ccFcapAB={A} vee ccF\capAB={B} vee ccFcapAB=emptyset$.
Lemma. Il semipiano è convesso.
Dimostrazione. Postulato di partizione del piano.
Teorema. Il complementare del semipiano è convesso.
Dimostrazione. Il complementare è un semipiano privato dell'origine, ma per l'osservazione precedente questa privazione è ininfluente.
Teorema. Ogni altra figura convessa distinta dalla precedente ha complementare concavo.
Dimostrazione. Sia $ccL$ il perimetro della figura $ccE$: questo non può essere una retta, altrimenti abbiamo un semipiano, quindi $ccL$ non è rettilinea. Questa figura è convessa, quindi presi $X,Y in ccL$ risulta $XY in ccE$. Sia $r$ la retta supporto di $XY$: questa retta passa per il complementare $ccE'$ di $E$, perché qualora così non fosse i punti $X,Y$ non apparterrebbero a $ccL$ (conseguenza della definizione di $ccL$), sicché possiamo individuare $X',Y' in ccE'$ tale che $XY subset X'Y'$ con $XY notin ccE'$. (QED)
@Wizard: Sai qual'è il problema? La definizione di "contorno" (tu lo hai chiamato "perimetro"). Già in qualche post precedente con adaBTTLS abbiamo verificato che non è affatto una definizione ovvia. Anzi, io credo che non si possa proprio definire un concetto di "contorno" senza strumenti topologici non elementari. Esempio super-classico:
nel piano Euclideo fissiamo un sistema di riferimento cartesiano. Sia $F$ l'insieme composto dai punti a coordinate razionali. Questo è un sottoinsieme del piano, e quindi ha dignità di essere chiamato "figura geometrica" piana. E quale sarebbe il suo contorno o perimetro?
Comunque, quella di fare un discorso di contorno è un'idea. Qualche post fa adaBTTLS ha suggerito che, ammesso di avere definito in maniera soddisfacente il concetto di contorno, potremmo arrivare alla tesi passando dalle funzioni convesse. Oppure potremmo ragionare come te, dimostrando che una figura convessa a complemento convesso ha il contorno rettilineo. Ma dobbiamo aggiustare questa definizione:
A me, almeno, non è chiara. Può essere benissimo che sia io a non capire (sono solo uno studente). Magari prova a spiegare meglio questa definizione.
nel piano Euclideo fissiamo un sistema di riferimento cartesiano. Sia $F$ l'insieme composto dai punti a coordinate razionali. Questo è un sottoinsieme del piano, e quindi ha dignità di essere chiamato "figura geometrica" piana. E quale sarebbe il suo contorno o perimetro?
Comunque, quella di fare un discorso di contorno è un'idea. Qualche post fa adaBTTLS ha suggerito che, ammesso di avere definito in maniera soddisfacente il concetto di contorno, potremmo arrivare alla tesi passando dalle funzioni convesse. Oppure potremmo ragionare come te, dimostrando che una figura convessa a complemento convesso ha il contorno rettilineo. Ma dobbiamo aggiustare questa definizione:
"WiZaRd":
Definizione 3. data una figura $ccF$ definiamo perimetro della figura la linea (eventualmente curva) $ccL$ tale che per ogni due punti $A,B \in ccF$ risulta $ccFcapAB={A} vee ccF\capAB={B} vee ccFcapAB=emptyset$.
A me, almeno, non è chiara. Può essere benissimo che sia io a non capire (sono solo uno studente). Magari prova a spiegare meglio questa definizione.
Beh, quell'insieme è concavo, quindi non vedo il problema.
La definizione sostanzialmente dice questo: prendi un quadrato e prendi due suoi punti, allora non accade mai che una eventuale intersezione tra il segmento che li unisce e il perimetro sia distinta dai due punti presi.
Un'errore comunque c'è e sta nell'osservazione: avrei dovuto aggiungere che per una figura convessa si può sempre determinare un perimetro, almeno credo.
La definizione sostanzialmente dice questo: prendi un quadrato e prendi due suoi punti, allora non accade mai che una eventuale intersezione tra il segmento che li unisce e il perimetro sia distinta dai due punti presi.
Un'errore comunque c'è e sta nell'osservazione: avrei dovuto aggiungere che per una figura convessa si può sempre determinare un perimetro, almeno credo.
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