Convessi con complementari convessi
Un quesito di geometria piana che mi è venuto in mente oggi. Non sono riuscito a rispondere e lo propongo qui, magari qualcuno con conoscenze fresche dell'argomento vorrà cimentarsi.
Mettiamoci nell'ordinario piano Euclideo. Sappiamo che cos'è, in questo ambito, una figura geometrica: nient'altro che un sottoinsieme del piano. Data una figura geometrica $F$ viene naturale considerare la figura ad essa complementare, ovvero composta da tutti i punti del piano che non appartengono ad $F$. Ad esempio, dato un cerchio, il suo complementare è il piano con un "buco" tondo.
Sappiamo anche che cos'è una figura convessa: si tratta di una figura tale che comunque noi scegliamo due suoi punti, tutto il segmento che li congiunge è contenuto nella figura stessa. Ad esempio, un triangolo, un rettangolo e un cerchio sono convessi; un ferro di cavallo no.
Esaminiamo un po' di figure convesse con i relativi complementari. La più semplice è il cerchio: il complementare -come detto prima- è il piano con un "buco". Questo complementare è convesso? Naturalmente no e dimostrarlo è molto facile (ad esempio, considerando una retta passante per il centro del cerchio).
Ma questa situazione si verifica anche per tutte le altre figure citate: triangoli e rettangoli sono tutti convessi, con complementare non convesso.
Viene in mente però una figura geometrica per la quale la situazione è diversa: si tratta del semipiano. Qui è tutta un'altra musica: il semipiano è convesso, e il complementare è esso stesso convesso.
Domanda. Il semipiano è l'unica figura piana con questa proprietà? O esistono altre figure piane convesse con complementare convesso?
[edit]: La risposta alla domanda è, con tutta probabilità, sì. Però ora bisogna dimostrarlo.
Mettiamoci nell'ordinario piano Euclideo. Sappiamo che cos'è, in questo ambito, una figura geometrica: nient'altro che un sottoinsieme del piano. Data una figura geometrica $F$ viene naturale considerare la figura ad essa complementare, ovvero composta da tutti i punti del piano che non appartengono ad $F$. Ad esempio, dato un cerchio, il suo complementare è il piano con un "buco" tondo.
Sappiamo anche che cos'è una figura convessa: si tratta di una figura tale che comunque noi scegliamo due suoi punti, tutto il segmento che li congiunge è contenuto nella figura stessa. Ad esempio, un triangolo, un rettangolo e un cerchio sono convessi; un ferro di cavallo no.
Esaminiamo un po' di figure convesse con i relativi complementari. La più semplice è il cerchio: il complementare -come detto prima- è il piano con un "buco". Questo complementare è convesso? Naturalmente no e dimostrarlo è molto facile (ad esempio, considerando una retta passante per il centro del cerchio).
Ma questa situazione si verifica anche per tutte le altre figure citate: triangoli e rettangoli sono tutti convessi, con complementare non convesso.
Viene in mente però una figura geometrica per la quale la situazione è diversa: si tratta del semipiano. Qui è tutta un'altra musica: il semipiano è convesso, e il complementare è esso stesso convesso.
Domanda. Il semipiano è l'unica figura piana con questa proprietà? O esistono altre figure piane convesse con complementare convesso?
[edit]: La risposta alla domanda è, con tutta probabilità, sì. Però ora bisogna dimostrarlo.
Risposte
Vediamo di andare per gradi.
Vogliamo definire un concetto di bordo per figure piane. Abbiamo visto che non è possibile farlo per tutte le figure. E se ci limitiamo alle sole figure convesse? La definizione è quella data da te nel tuo ultimo post. Non sono ben chiare, tuttavia, due cose:
1) che cos'è una "linea curva"? Non saprei come definirla se non come funzione continua;
2) tocca dimostrare che ogni convesso ha un perimetro. E questo mi pare abbastanza difficile - ammesso che sia vero - vedi il pdf di Fioravante.
C'è dell'altro. Ho dato una scorsa a questo pdf, non molto approfondita perché è una lettura abbastanza impegnativa per me. Qui ci sono alcuni tra i "veri" teoremi sulla convessità. Uno degli argomenti che viene trattato è la boundary structure degli insiemi convessi negli spazi Euclidei, ovvero proprio quello di cui stiamo ragionando qui. E' un argomento complicato e non penso proprio che potremmo risolverlo discutendo qui sul forum, tanto meno con strumenti di geometria elementare.
Ecco perché io escluderei un discorso basato sul perimetro. Se lo volessimo fare, tanto varrebbe studiare i veri teoremi sulla convessità, con i quali (cito Fioravante) il risultato che vogliamo dimostrare si raggiunge facilmente.
Naturalmente, questa è solo la mia opinione. A volerla dire tutta, non sono neanche tanto sicuro che la strada che stiamo percorrendo con adaBTTLS (passare dalla posizione delle figure convesse relativamente agli angoli) possa portare alla soluzione.
Vogliamo definire un concetto di bordo per figure piane. Abbiamo visto che non è possibile farlo per tutte le figure. E se ci limitiamo alle sole figure convesse? La definizione è quella data da te nel tuo ultimo post. Non sono ben chiare, tuttavia, due cose:
1) che cos'è una "linea curva"? Non saprei come definirla se non come funzione continua;
2) tocca dimostrare che ogni convesso ha un perimetro. E questo mi pare abbastanza difficile - ammesso che sia vero - vedi il pdf di Fioravante.
C'è dell'altro. Ho dato una scorsa a questo pdf, non molto approfondita perché è una lettura abbastanza impegnativa per me. Qui ci sono alcuni tra i "veri" teoremi sulla convessità. Uno degli argomenti che viene trattato è la boundary structure degli insiemi convessi negli spazi Euclidei, ovvero proprio quello di cui stiamo ragionando qui. E' un argomento complicato e non penso proprio che potremmo risolverlo discutendo qui sul forum, tanto meno con strumenti di geometria elementare.
Ecco perché io escluderei un discorso basato sul perimetro. Se lo volessimo fare, tanto varrebbe studiare i veri teoremi sulla convessità, con i quali (cito Fioravante) il risultato che vogliamo dimostrare si raggiunge facilmente.
Naturalmente, questa è solo la mia opinione. A volerla dire tutta, non sono neanche tanto sicuro che la strada che stiamo percorrendo con adaBTTLS (passare dalla posizione delle figure convesse relativamente agli angoli) possa portare alla soluzione.
"dissonance":
1) che cos'è una "linea curva"? Non saprei come definirla se non come funzione continua;
2) tocca dimostrare che ogni convesso ha un perimetro. E questo mi pare abbastanza difficile - ammesso che sia vero - vedi il pdf di Fioravante.
Beh, per il punto 1) la risposta è nei primi cinque postulati di Euclide.
Per il 2) non saprei: il al pdf di Fioravante non posso nemmeno accostarmici. Anche se, per definizione una figura convessa è tale per cui presi due punti il segmento che li unisce appartiene interamente alla figura, quindi si potrebbe procedere euristicamente.
Tutto questo nell'ambito della geometria sintetica.
Molto probabilemenete qualcuno ferrato in topologia risolverebbe la questione in due passaggi.
caro WiZaRd, non ti riconosco più!
sei lo stesso dei seguenti topic?
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 34216.html
https://www.matematicamente.it/forum/res ... 34461.html
https://www.matematicamente.it/forum/oo- ... 34808.html
https://www.matematicamente.it/forum/n-uple-t35050.html
scusami, ma non mi pare coerente con quel modo di ragionare il liquidare questo argomento come banale!
ciao.
sei lo stesso dei seguenti topic?
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 34216.html
https://www.matematicamente.it/forum/res ... 34461.html
https://www.matematicamente.it/forum/oo- ... 34808.html
https://www.matematicamente.it/forum/n-uple-t35050.html
scusami, ma non mi pare coerente con quel modo di ragionare il liquidare questo argomento come banale!
ciao.
Scopro oggi che non mi sono mai occupato di definire il "perimetro" di un insieme convesso.
Non ne ho mai avuto motivo, chiaramente, ma avendo usato un po' di analisi convessa "nei bei tempi andati", realizzare questo fatto mi colpisce.
Evidentemente il tipo di cose che facevo non avevano bisogno del bordo...
Certo, se la dimensione dell'insieme convesso è minore strettamente di quella dell'insieme ambiente, il suo bordo coincide con la chiusura dell'insieme convesso.
Se invece è un convesso di "full dimensionality" (ed è naturalmente il caso che interessa qui), allora avrà un bordo "decente". Ad esempio, preso un punto interno, su ogni semiretta uscente da quel punto il bordo "staccherà" al più un punto.
Non ne ho mai avuto motivo, chiaramente, ma avendo usato un po' di analisi convessa "nei bei tempi andati", realizzare questo fatto mi colpisce.
Evidentemente il tipo di cose che facevo non avevano bisogno del bordo...
Certo, se la dimensione dell'insieme convesso è minore strettamente di quella dell'insieme ambiente, il suo bordo coincide con la chiusura dell'insieme convesso.
Se invece è un convesso di "full dimensionality" (ed è naturalmente il caso che interessa qui), allora avrà un bordo "decente". Ad esempio, preso un punto interno, su ogni semiretta uscente da quel punto il bordo "staccherà" al più un punto.
"adaBTTLS":
caro WiZaRd, non ti riconosco più!
Certo che sono sempre io! E' che di topologia non so niente, quindi non posso essere di nessun contributo alla discussione.
"Fioravante Patrone":
Ad esempio, preso un punto interno, su ogni semiretta uscente da quel punto il bordo "staccherà" al più un punto.
Non ho ben capito cosa intendi... Se prendo una parabola, la superficie che essa "chiude" è convessa, preso a caso un punto di questa superficie la semiretta uscente da questo e passante per il complementare della superficie parabolica stacca sulla parabola un solo punto, ma lo stacca con unicità anche su una qualunque altra parabola avente il fuoco coincidente con la precedente. Probabilmente non ho bene inteso quello che volevi dire.
"WiZaRd":bene, è quello che ho detto
Non ho ben capito cosa intendi... Se prendo una parabola, la superficie che essa "chiude" è convessa, preso a caso un punto di questa superficie la semiretta uscente da questo e passante per il complementare della superficie parabolica stacca sulla parabola un solo punto
"WiZaRd":quanto dici è corretto, solo che è inutile. Il mio problema era, dato un convesso A (la "superficie" di cui parli tu), osservare che il bordo di A è una figura "decente".
ma lo stacca con unicità anche su una qualunque altra parabola avente il fuoco coincidente con la precedente. Probabilmente non ho bene inteso quello che volevi dire.
Non vedo perché dovrei prendere altre altre parabole, o più in generale alti insiemi B, C, etc. che non mi interessano.
@Fioravante Patrone
Capisco. Lo dicevo perché mi pareva che quella caratterizzazione non fosse sufficiente per definire completamente il concetto di perimetro, ma ora mi rendo conto che non era questo il tuo intento. Chiedo scusa per non avere compreso.
Ad ogni modo, questa idea è vagamente simile a quella che ho usato per cercare di definire il "mio" perimetro.
Capisco. Lo dicevo perché mi pareva che quella caratterizzazione non fosse sufficiente per definire completamente il concetto di perimetro, ma ora mi rendo conto che non era questo il tuo intento. Chiedo scusa per non avere compreso.
Ad ogni modo, questa idea è vagamente simile a quella che ho usato per cercare di definire il "mio" perimetro.
mi inserisco nella discussione, sperando di aver interpretato bene sia il discorso di Fioravante sia il dubbio di WiZaRd.
la questione del "bordo" riguarda figure inserite in uno spazio di dimensione qualsiasi.
nel caso specifico del piano euclideo, una figura di dimensione 0 o 1 può essere convessa solo se è vuota, è formata da un unico punto oppure è un segmento, una semiretta, una retta. una linea curva non è convessa, come non lo è un insieme di più punti "sconnesso" o l'unione di più rette. in tutti questi casi di figura connessa di dimensione minore della dimensione dello spazio ambiente, il bordo è l'insieme stesso, con l'aggiunta al massimo di uno o due punti.
nel caso di figure "estese", con una propria superficie, abbiamo un'idea precisa di che cosa sia il bordo o "perimetro" o "limite". anche se nella maggior parte dei casi l'appartenenza o meno del bordo alla figura è ininfluente ai fini della convessità, la proprietà data da Fioravante ("se una figura è convessa, allora comunque si scelga un punto interno ad essa, qualunque semiretta avente quel punto come origine interseca il bordo al più in un punto") non è utilizzabile come definizione di convessità se non si chiarisce che cos'è il bordo, perché la sua negazione logica ("esiste almeno una semiretta avente origine in un punto interno alla figura che interseca il bordo in più di un punto") non è applicabile a figure concave "senza bordo".
ciao.
la questione del "bordo" riguarda figure inserite in uno spazio di dimensione qualsiasi.
nel caso specifico del piano euclideo, una figura di dimensione 0 o 1 può essere convessa solo se è vuota, è formata da un unico punto oppure è un segmento, una semiretta, una retta. una linea curva non è convessa, come non lo è un insieme di più punti "sconnesso" o l'unione di più rette. in tutti questi casi di figura connessa di dimensione minore della dimensione dello spazio ambiente, il bordo è l'insieme stesso, con l'aggiunta al massimo di uno o due punti.
nel caso di figure "estese", con una propria superficie, abbiamo un'idea precisa di che cosa sia il bordo o "perimetro" o "limite". anche se nella maggior parte dei casi l'appartenenza o meno del bordo alla figura è ininfluente ai fini della convessità, la proprietà data da Fioravante ("se una figura è convessa, allora comunque si scelga un punto interno ad essa, qualunque semiretta avente quel punto come origine interseca il bordo al più in un punto") non è utilizzabile come definizione di convessità se non si chiarisce che cos'è il bordo, perché la sua negazione logica ("esiste almeno una semiretta avente origine in un punto interno alla figura che interseca il bordo in più di un punto") non è applicabile a figure concave "senza bordo".
ciao.
La proprietà riguardante la semiretta intendevo usarla come caratterizzazione del bordo non della convessità. E intendevo dire che è condizione necessaria perché si possa parlare di bordo ma non sufficiente.
Vedo che stiamo compiendo sforzi nella direzione di una definizione del concetto di bordo. Ho espresso scetticismo nei miei post precedenti perché non ho chiaro questo punto:
la risposta è nei primi cinque postulati di Euclide.
[/quote]
A me invece risulta che Euclide usava definire le curve come luoghi geometrici, l'esempio più ovvio è la circonferenza "luogo dei punti equidistanti da un punto dato". Quindi stiamo tentando di definire il bordo di un insieme convesso come luogo geometrico?
[Edit]: Se questo è lo scopo, un'idea molto grezza mi viene dal pdf di Fioravante. Uno dei teoremi della sezione 1.3 dice proprio che "ogni insieme convesso è intersezione di semispazi". Limitandoci a convessi nel piano, ogni convesso è intersezione di semipiani.
Ora, o assumendo vera questa proposizione, o tentando di dimostrarla per via geometrica, potremmo pensare all'inviluppo della famiglia di rette determinata da questi iperpiani. Forse da qui salta fuori una definizione di perimetro...forse...
"WiZaRd":
[quote="dissonance"]
1) che cos'è una "linea curva"?
la risposta è nei primi cinque postulati di Euclide.
[/quote]
A me invece risulta che Euclide usava definire le curve come luoghi geometrici, l'esempio più ovvio è la circonferenza "luogo dei punti equidistanti da un punto dato". Quindi stiamo tentando di definire il bordo di un insieme convesso come luogo geometrico?
[Edit]: Se questo è lo scopo, un'idea molto grezza mi viene dal pdf di Fioravante. Uno dei teoremi della sezione 1.3 dice proprio che "ogni insieme convesso è intersezione di semispazi". Limitandoci a convessi nel piano, ogni convesso è intersezione di semipiani.
Ora, o assumendo vera questa proposizione, o tentando di dimostrarla per via geometrica, potremmo pensare all'inviluppo della famiglia di rette determinata da questi iperpiani. Forse da qui salta fuori una definizione di perimetro...forse...
I postulati di Euclide non ci dicono cos'è una linea curva né cos'è una retta, ma ci spiegano come funzionano: la linea è un oggetto monodimensionale (A line is breadthless length - Postulato 2) nonché ante ptimitivo; la linea retta è il cammino più breve tra due punti.
Mi rendo conto che la Geometria Euclidea non è il massimo per risolvere questo tipo di problema, dato il suo carattere fortemente intuitivo.
Mi rendo conto che la Geometria Euclidea non è il massimo per risolvere questo tipo di problema, dato il suo carattere fortemente intuitivo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo