Continuità della funzione logaritmica e sua applicazione

[Megan Garity]

Buongiorno ,
non capisco il secondo passaggio della dimostrazione riportata nell'immagine.
Il libro lo giustifica dicendo "e quindi per la continuità della funzione logaritmica: ", ma non riesco a capire il ragionamento alle spalle di questa affermazione.



Ringrazio chiunque si senta di aiutarmi al riguardo!

[@melia]

La definizione di funzione continua.

[gugo82]

"@melia":La definizione di funzione continua.

Scusa @melia, ma vorrei approfondire la questione.

Quando tutto funziona "come si deve", il succo della definizione di funzione continua è espresso dall'uguaglianza:

$lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0)$,

che può essere riscritta in maniera più espressiva come segue:

$lim_(x -> x_0) f(x) = f(lim_(x -> x_0) x)$

e ciò fa capire che la proprietà fondamentale delle funzioni continue è quella di commutare con l'operazione di limite, viene a dire che "il limite può essere portato dentro una funzione continua".
Questo appare ancora più evidente nell'enunciato del Teorema sul Limite delle Funzioni Composte, che si scrive in maniera molto espressiva mediante l'uguaglianza:

$lim_(x -> x_0) f(g(x)) = f(lim_(x -> x_0) g(x))$

ed è valido sicuramente quando la componente esterna $f$ è continua (o quando, pur non essendolo, la $g$ soddisfa alcune ipotesi tecniche) e quando il limite di $g$ esiste finito.

Questo è proprio il caso del testo.