Cono circolare retto circoscritto a una semisfera
Buongiorno,
Ho bisogno del vostro aiuto poichè sono incappata in un problema di trigonometria di cui non riesco neppure a fare il disegno.. riporto di seguito il testo:
Un cono circolare retto è circoscritto a una semisfera di raggio r il cui cerchio di base giace sulla base del cono. Esprimi il volume del cono in funzione dell’angolo x che il suo apotema forma col piano di base e calcola tale volume nel caso in cui l’area laterale del cono sia doppia di quella della base.
Il mio primo dubbio è se cono è sfera abbiano la stessa base, cioè lo stesso raggio r, perchè se provo a disegnarlo onestamente la sfera mi esce dal cono per cui se sbaglio già questa prima considerazione non so da dove partire.
qualcuno è in grado di aiutarmi magari inserendo anche il disegno della figura che dovrebbe risultare?
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare
Ho bisogno del vostro aiuto poichè sono incappata in un problema di trigonometria di cui non riesco neppure a fare il disegno.. riporto di seguito il testo:
Un cono circolare retto è circoscritto a una semisfera di raggio r il cui cerchio di base giace sulla base del cono. Esprimi il volume del cono in funzione dell’angolo x che il suo apotema forma col piano di base e calcola tale volume nel caso in cui l’area laterale del cono sia doppia di quella della base.
Il mio primo dubbio è se cono è sfera abbiano la stessa base, cioè lo stesso raggio r, perchè se provo a disegnarlo onestamente la sfera mi esce dal cono per cui se sbaglio già questa prima considerazione non so da dove partire.
qualcuno è in grado di aiutarmi magari inserendo anche il disegno della figura che dovrebbe risultare?
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare
Risposte
Ciaoooooo!
Nel problema dice che il cerchio base della semisfera giace sulla base del cono, quindi non sono uguali.
Se fai un disegno vedi che effettivamente non coincidono (la base della semisfera sarà necessariamente più piccola per poterci entrare dentro).
Hint: puoi analizzare il contesto anche in 2 dimensioni considerando il triangolo isoscele e la semicirconferenza che si vedranno se li osservi dal di fronte (praticamente la sezione laterale).
Nel problema dice che il cerchio base della semisfera giace sulla base del cono, quindi non sono uguali.
Se fai un disegno vedi che effettivamente non coincidono (la base della semisfera sarà necessariamente più piccola per poterci entrare dentro).
Hint: puoi analizzare il contesto anche in 2 dimensioni considerando il triangolo isoscele e la semicirconferenza che si vedranno se li osservi dal di fronte (praticamente la sezione laterale).
Grazie, avevo pensato e fatto il disegno in questo modo ma allora non ho idea di come sfruttare il raggio r della semisfera, essendo questa più piccola della base del cono.
Tu o qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questo problema?
Tu o qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questo problema?
Vediamo.
Osserviamo la figura bidimensionale. Ciò che otteniamo è un triangolo isoscele con una semicirconferenza inscritta. Fin qui tutto chiaro?
Se la semicirconferenza è inscritta nel triangolo isoscele, significa che essa deve essere tangente ai lati del triangolo (che, in relazione alla figura tridimensionale, corrispondono all’apotema del cono).
Di conseguenza, affinché la semicirconferenza sia tangente ai lati del triangolo (che in 3D rappresentano l'apotema), la distanza dal centro della semicirconferenza al punto di tangenza di ciascuno dei lati del triangolo deve essere uguale a $r$.
Sei d’accordo fin qui?
Osserviamo la figura bidimensionale. Ciò che otteniamo è un triangolo isoscele con una semicirconferenza inscritta. Fin qui tutto chiaro?
Se la semicirconferenza è inscritta nel triangolo isoscele, significa che essa deve essere tangente ai lati del triangolo (che, in relazione alla figura tridimensionale, corrispondono all’apotema del cono).
Di conseguenza, affinché la semicirconferenza sia tangente ai lati del triangolo (che in 3D rappresentano l'apotema), la distanza dal centro della semicirconferenza al punto di tangenza di ciascuno dei lati del triangolo deve essere uguale a $r$.
Sei d’accordo fin qui?
Ragionando con calma sul disegno sono riuscita a venirne a capo! Grazie mille per il tuo aiuto sul disegno
Bravissima 
. Buono proseguimento!
. Buono proseguimento!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo