Congruenza corde
Siano $ gamma $1 e $ gamma $2 due circonferenze che si intersecano in A e B. Sia P un punto appartenente all'arco AB di $ gamma $1 esterno a $ gamma $2. La semiretta PA interseca $ gamma $2 in C (oltre che in A); la semiretta PB interseca $ gamma $2 in D (oltre che in B). Dimostra che,qualsiasi sia il punto P,la lunghezza della corda CD è costante.
Ragionamento: Ho disegnato un altro punto P' sulla circonferenza $ gamma $1 e ripercorrendo i passaggi della consegna ho tracciato C'D',cercando di dimostrare la congruenza tra CD e C'D'.
Ho escluso che considerare $ gamma $1 servisse a qualcosa e mi sono concentrato esclusivamente sulla circonferenza $ gamma $2.
Ho tracciato i segmenti AB,AC,BD e i segmenti AC',BD'; si venivano a delineare due quadrilateri,di cui ho tracciato le diagonali.
Ho considerato i vari angoli alla circonferenza e relative corde,in modo tale da porre a confronto due triangoli diversi che avessero come lati rispettivamente CD e C'D';speravo dimostrarne la congruenza ed estenderla a CD e C'D'.
Aiutandomi anche con l'aritmetica,posso dimostrare che il quadrilatero ABC'D è un rettangolo.
Ho individuato quindi anche due diametri della circonferenza $ gamma $2,che sarebbero le diagonali del rettangolo;inoltre posso dire che AB $ ~= $ C'D e AC'$ ~= $ BD.
Nonostante possa dire come vari angoli alla circonferenza si equivalgono,non riesco a dimostrare che CD $ ~= $ C'D'.
Ragionamento: Ho disegnato un altro punto P' sulla circonferenza $ gamma $1 e ripercorrendo i passaggi della consegna ho tracciato C'D',cercando di dimostrare la congruenza tra CD e C'D'.
Ho escluso che considerare $ gamma $1 servisse a qualcosa e mi sono concentrato esclusivamente sulla circonferenza $ gamma $2.
Ho tracciato i segmenti AB,AC,BD e i segmenti AC',BD'; si venivano a delineare due quadrilateri,di cui ho tracciato le diagonali.
Ho considerato i vari angoli alla circonferenza e relative corde,in modo tale da porre a confronto due triangoli diversi che avessero come lati rispettivamente CD e C'D';speravo dimostrarne la congruenza ed estenderla a CD e C'D'.
Aiutandomi anche con l'aritmetica,posso dimostrare che il quadrilatero ABC'D è un rettangolo.
Ho individuato quindi anche due diametri della circonferenza $ gamma $2,che sarebbero le diagonali del rettangolo;inoltre posso dire che AB $ ~= $ C'D e AC'$ ~= $ BD.
Nonostante possa dire come vari angoli alla circonferenza si equivalgono,non riesco a dimostrare che CD $ ~= $ C'D'.
Risposte
L'angolo APB è costante (insiste sulla corda AB)
L'angolo PCB è costante (idem)
Quindi anche l'angolo PBC (il terzo angolo del triangolo PBC)
Quindi anche l'angolo CBD (supplementare di PBC)
Ma l'angolo CBD è quello che insiste sulla corda CD, quindi...
L'angolo PCB è costante (idem)
Quindi anche l'angolo PBC (il terzo angolo del triangolo PBC)
Quindi anche l'angolo CBD (supplementare di PBC)
Ma l'angolo CBD è quello che insiste sulla corda CD, quindi...
Avevo completamente trascurato $ gamma 1 $...grazie mgrau.
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