Concava o convessa?
vi propongo un esercizio che mi ha fatto sorgere dei dubbi:
1)Data la f(x)=3x^2 per x<=1 e 3x per x>1, essa è:
a)differenziabile
b)convessa
c)monotona
d)nessuna delle precedenti
io ho risposto b) ma sono indeciso perché nn so se la retta la posso considerare convessa e per questo ho paura che potrebbe essere la d)
Qual'è la risposta esatta?
1)Data la f(x)=3x^2 per x<=1 e 3x per x>1, essa è:
a)differenziabile
b)convessa
c)monotona
d)nessuna delle precedenti
io ho risposto b) ma sono indeciso perché nn so se la retta la posso considerare convessa e per questo ho paura che potrebbe essere la d)
Qual'è la risposta esatta?
Risposte
da wiki:
Nel caso di funzione convessa con dominio reale, dalla disuguaglianza si ricava facilmente che una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici dell'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione.
quindi basta che guardi il grafico della tua funzione per dedurre che .....
aggiungo all'atere inoltre io che con 'sopra' in genere io ho sempre inteso 'sopra o coincidente' (infatti nella disuguagliaza c'e' il 'minore-uguale')
cioe'
una retta e' convessa ma non 'strettamente convessa'
alex
Nel caso di funzione convessa con dominio reale, dalla disuguaglianza si ricava facilmente che una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici dell'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione.
quindi basta che guardi il grafico della tua funzione per dedurre che .....
aggiungo all'atere inoltre io che con 'sopra' in genere io ho sempre inteso 'sopra o coincidente' (infatti nella disuguagliaza c'e' il 'minore-uguale')
cioe'
una retta e' convessa ma non 'strettamente convessa'
alex
La retta da sola non e' ne concava ne convessa, in quanto la derivata seconda e' sempre 0.
La funzione in generale sembra
continua,
concava in alto,
con un minimo nell'origine,
monotona in R-{0}.
La funzione in generale sembra
continua,
concava in alto,
con un minimo nell'origine,
monotona in R-{0}.
"eugenio.amitrano":
La retta da sola non e' ne concava ne convessa, in quanto la derivata seconda e' sempre 0.
La funzione in generale sembra
continua,
concava in alto,
con un minimo nell'origine,
monotona in R-{0}.
scusa ma la definizione di wiki quindi e' errata?
inoltre mi sembra, visto che in x=1 la derivata prima da sinistra vale 6 , mentre da destra vale 3, un segmento secante la funzione ed abbastanza vicino ad essa in x=1, rimane al di sotto della funzione stessa.
La convessità può essere definita nel modo che segue. Una funzione è convessa in un intervallo se presi due punti $x_1,x_2$ dell'intervallo abbiamo che per ogni $t$ che appartiene a $[0,1]$, risulta $f(tx_1 + (1-t)x_2) <= t f(x_1) + (1-t)f(x_2).
Secondo questa definizione la retta è sia concava sia convessa, in quanto vale sempre l'uguaglianza.
Come al solito, e forse sarebbe più economico inserirlo come firma, i miei post non sono vaccinati nei confronti di nefandezze matematiche.
Secondo questa definizione la retta è sia concava sia convessa, in quanto vale sempre l'uguaglianza.
Come al solito, e forse sarebbe più economico inserirlo come firma, i miei post non sono vaccinati nei confronti di nefandezze matematiche.
dunque voi quale risposta avreste dato? considerate come se fosse un esame...
b
E se uno te lo segna errore digli di venire a parlare con me
Ovviamente la def e le considerazioni di Levacci sono ok.
eugenio.amitrano, probabilmente tu hai in mente la condizione di stretta convessità.
Se una funzione definita su un intervallo è derivabile due volte su questo intervallo, si dimostra che essa è convessa se e solo se la sua derivata seconda è maggiore o uguale a zero in ogni punto dell'intervallo.
E se uno te lo segna errore digli di venire a parlare con me
Ovviamente la def e le considerazioni di Levacci sono ok.
eugenio.amitrano, probabilmente tu hai in mente la condizione di stretta convessità.
Se una funzione definita su un intervallo è derivabile due volte su questo intervallo, si dimostra che essa è convessa se e solo se la sua derivata seconda è maggiore o uguale a zero in ogni punto dell'intervallo.
Ciao codino,
non avevo visto la tua risposta....hehe...
comunque, non si finisce mai di imparare.
Ciao Fioravante,
in effetti è proprio così, immaginavo come una funzione spazio di tipo lineare, essa indica velocità costante quindi nessuna accelerazione.
Ciao a tutti.
non avevo visto la tua risposta....hehe...
comunque, non si finisce mai di imparare.
Ciao Fioravante,
in effetti è proprio così, immaginavo come una funzione spazio di tipo lineare, essa indica velocità costante quindi nessuna accelerazione.
Ciao a tutti.
ovviamente avevo sbagliato! 
mi aveva ingannato la discussione sulla "convessita' della retta"
una retta e' il grafico di una funzione convessa, questo continua a rimanere vero
ma c'e' un problema, di altra natura, legato al fatto che la derivata sinistra della funzione in 1 vale 6 mentra quella destra vale 3
questo fa saltare la convessita' della funzione data
la risposta giusta e' "d", come per fortuna ho risposto quando lo stesso post e' stato ripresentato nella sezione Universita':
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#187298
mi aveva ingannato la discussione sulla "convessita' della retta"
una retta e' il grafico di una funzione convessa, questo continua a rimanere vero
ma c'e' un problema, di altra natura, legato al fatto che la derivata sinistra della funzione in 1 vale 6 mentra quella destra vale 3
questo fa saltare la convessita' della funzione data
la risposta giusta e' "d", come per fortuna ho risposto quando lo stesso post e' stato ripresentato nella sezione Universita':
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#187298
infatti la risposta giusta è d) e il prof me lo ha spiegato proprio con il salto della derivata seconda
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