Completamento quadrato di un binomio
Stavo seguendo una lezione sulle trasformazioni del piano dove si parlava di parabola ed in particolare ricavare dalla generica
$ax^2+bx+c=0$ l'equazione di affinità/dilatazione-translazione $Y=n/m^2(x-p)^2+q$
mettendo in evidenza a nella prima si ottiene $Y=a(x^2+b/ax)+c$ ora, per completare il quadrato in parentesi si dovrebbe sottrarre al tutto il termine $b/(2a)$ elavato al quadrato in modo che il tutto venga $Y=a(x+b/(2a))^2-(b^2+4ac)/(4a)$
ora dopo tutto sto casino mi chiedo: ma $(b/(2a))^2=b^2/(4a^2)$ ?
$ax^2+bx+c=0$ l'equazione di affinità/dilatazione-translazione $Y=n/m^2(x-p)^2+q$
mettendo in evidenza a nella prima si ottiene $Y=a(x^2+b/ax)+c$ ora, per completare il quadrato in parentesi si dovrebbe sottrarre al tutto il termine $b/(2a)$ elavato al quadrato in modo che il tutto venga $Y=a(x+b/(2a))^2-(b^2+4ac)/(4a)$
ora dopo tutto sto casino mi chiedo: ma $(b/(2a))^2=b^2/(4a^2)$ ?
Risposte
Ciao,
si è giusto $(b/(2a))^2 = (b^2)/(4a^2)$. Ma da $Y=a(x^2+b/ax)+c$, per ottenere $Y=a(x+b/(2a))^2 - (b^2-4ac)/(4a)$ devi aggiungere e sottrarre $b^2/(4a)$ perché il il binomio è moltiplicato per $a$
si è giusto $(b/(2a))^2 = (b^2)/(4a^2)$. Ma da $Y=a(x^2+b/ax)+c$, per ottenere $Y=a(x+b/(2a))^2 - (b^2-4ac)/(4a)$ devi aggiungere e sottrarre $b^2/(4a)$ perché il il binomio è moltiplicato per $a$
non ho capito 
forse sono io che non ho capito qual'è il tuo problema. $a(x+b/(2a))^2=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))= ax^2 + bx + b^2/(4a) = a(x^2+b/ax) + b^2/(4a)$. Qunidi da $a(x^2+b/ax)$ per ottenere un quadrato di un binomio devi aggiungere (ma anche sottrarre altrimenti l'uguaglianza non vale più) $b^2/(4a)$ e non $b^2/(4a^2)$. Se non era questo il tuo problema ti chiedo scusa.
nono adesso è tutto trasparente, eh si nn ho considerato a, grazie
no spetta
c'è qualcosa che non mi torna o piuttosto credo di aver capito il tuo ragionamento (e non ho dobbi che sia quello corretto dato che quella formula rappresenta la formula del famosissimo $Delta$) ma ci tengo a farti vedere come l'ho presa io (che forse non è sbagliato ma non mi fa ottenere la formula che mi serve)
allora, io devo avere $Y=a(x+b/(2a))^2-(b^2+4ac)/(4a)$
non capivo perchè aggiungere $b^2/(4a)$ e non $b/(2a)$ che è il termine mancante affinchè ci sia il quadrato perchè pensavo che $a(x+b/ax+b^2/(4a^2))$ poteva anche non essere moltiplicato per $a$ in quanto lo si avrebbe potuto soltanto scrivere nella forma $(x+b/(2a))^2$ non so se mi segui..
ma tu dici
ora, secondo me questo è il quadrato $(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))$ con l'ggiunta di $b/(2a)$ mentre tu dici di rimoltiplicarlo per $a$ e quindi $ax^2 + bx + b^2/(4a)$ quindi raccogliere parzialmente $a(x^2+b/ax)+b^2/(4a)$
ma a questo punto sempre secondo me non mi sembra sussistano più le condizioni per un quadrato, sinceramente non so cosa comporti il fatto che ci sia $a$ mischiata li in mezzo, tra l'altro se si toglie $b^2/(4a)$ in modo da mantenere l'uguaglianza il tutto resterebbe $a(x^2+b/ax)$ mentre io volevo arrivare a questa formula finale $a(x+b/(2a))^2$
..non sono tanto convinto di questo ragionamento, probabilmente mi sfugge il significato ed il comportamento della situazione nel momento in cui si aggiunge e si sottrae
cioè se io ho $(x+b/(2a))^2$ so per certo che da $(x^2+b/ax)$ ho aggiunto $b/(2a)$
il quadrato incompleto è questo $Y=a(x^2+b/ax)+c$
ok ho fuso...
no spetta
c'è qualcosa che non mi torna o piuttosto credo di aver capito il tuo ragionamento (e non ho dobbi che sia quello corretto dato che quella formula rappresenta la formula del famosissimo $Delta$) ma ci tengo a farti vedere come l'ho presa io (che forse non è sbagliato ma non mi fa ottenere la formula che mi serve)allora, io devo avere $Y=a(x+b/(2a))^2-(b^2+4ac)/(4a)$
non capivo perchè aggiungere $b^2/(4a)$ e non $b/(2a)$ che è il termine mancante affinchè ci sia il quadrato perchè pensavo che $a(x+b/ax+b^2/(4a^2))$ poteva anche non essere moltiplicato per $a$ in quanto lo si avrebbe potuto soltanto scrivere nella forma $(x+b/(2a))^2$ non so se mi segui..
ma tu dici
"Ziben":
forse sono io che non ho capito qual'è il tuo problema. $a(x+b/(2a))^2=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))= ax^2 + bx + b^2/(4a) = a(x^2+b/ax) + b^2/(4a)$. Qunidi da $a(x^2+b/ax)$ per ottenere un quadrato di un binomio devi aggiungere (ma anche sottrarre altrimenti l'uguaglianza non vale più) $b^2/(4a)$ e non $b^2/(4a^2)$. Se non era questo il tuo problema ti chiedo scusa.
ora, secondo me questo è il quadrato $(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))$ con l'ggiunta di $b/(2a)$ mentre tu dici di rimoltiplicarlo per $a$ e quindi $ax^2 + bx + b^2/(4a)$ quindi raccogliere parzialmente $a(x^2+b/ax)+b^2/(4a)$
ma a questo punto sempre secondo me non mi sembra sussistano più le condizioni per un quadrato, sinceramente non so cosa comporti il fatto che ci sia $a$ mischiata li in mezzo, tra l'altro se si toglie $b^2/(4a)$ in modo da mantenere l'uguaglianza il tutto resterebbe $a(x^2+b/ax)$ mentre io volevo arrivare a questa formula finale $a(x+b/(2a))^2$
..non sono tanto convinto di questo ragionamento, probabilmente mi sfugge il significato ed il comportamento della situazione nel momento in cui si aggiunge e si sottrae
cioè se io ho $(x+b/(2a))^2$ so per certo che da $(x^2+b/ax)$ ho aggiunto $b/(2a)$
il quadrato incompleto è questo $Y=a(x^2+b/ax)+c$
ok ho fuso...
fai venire il mal di testa 
Si parte da $a(x^2+b/ax)+c$ aggiungiamo e sottraiamo $b^2/(4a)$; possiamo scrivere:
$a(x^2+b/ax)+c = a(x^2+b/ax)+c + b^2/(4a) - b^2/(4a) = ax^2+bx+b^2/(4a) +c - b^2/(4a)=$$= (ax^2+bx+b^2/(4a)) -(b^2-4ac)/(4a) = a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))-(b^2-4ac)/(4a)$.
Ora dentro le parentesi hai il quadrato di un binomio: $=a(x^2+b/(2a))^2 -(b^2-4ac)/(4a)$
Si parte da $a(x^2+b/ax)+c$ aggiungiamo e sottraiamo $b^2/(4a)$; possiamo scrivere:
$a(x^2+b/ax)+c = a(x^2+b/ax)+c + b^2/(4a) - b^2/(4a) = ax^2+bx+b^2/(4a) +c - b^2/(4a)=$$= (ax^2+bx+b^2/(4a)) -(b^2-4ac)/(4a) = a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))-(b^2-4ac)/(4a)$.
Ora dentro le parentesi hai il quadrato di un binomio: $=a(x^2+b/(2a))^2 -(b^2-4ac)/(4a)$
ho seguito il ragionamento di ziben, che mi sembra ottimo, ma forse nell'ultima riga la x dentro la parentesi non dovrebbe avere l'esponente 2
"gio73":
... nell'ultima riga la x dentro la parentesi non dovrebbe avere l'esponente 2
esatto
come si fa a citare solo una parte del messaggio, come hai fatto tu? Ci ho provato ma non si sono riuscita.
chiedo scusa, chiaramente una mia svista (forse dovuta all'ora tarda ); all' interno del quadrato la $x$ non ha esponente $2$ altrimenti verrebbe, una volta sviluppato il quadrato, $x^4$. Alla fine si ha:
$a(x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a)$
); all' interno del quadrato la $x$ non ha esponente $2$ altrimenti verrebbe, una volta sviluppato il quadrato, $x^4$. Alla fine si ha:$a(x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a)$
"gio73":
come si fa a citare solo una parte del messaggio, come hai fatto tu?
Schiacci il pulsante "CITA in alto a destra del messaggio e quando sei nell'editor cancelli tutto quello che non ti interessa citare.
@Ziben
Avevamo capito che si trattava di un mero errore di copincollamento.
"Ziben":
fai venire il mal di testa
Si parte da $a(x^2+b/ax)+c$ aggiungiamo e sottraiamo $b^2/(4a)$; possiamo scrivere:
$a(x^2+b/ax)+c = a(x^2+b/ax)+c + b^2/(4a) - b^2/(4a) = ax^2+bx+b^2/(4a) +c - b^2/(4a)=$
$= (ax^2+bx+b^2/(4a)) -(b^2-4ac)/(4a) = a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))-(b^2-4ac)/(4a)$.
Ora dentro le parentesi hai il quadrato di un binomio: $=a(x^2+b/(2a))^2 -(b^2-4ac)/(4a)$
sì,è venuto pure a me quando ho riletto..
il motivo per cui si mette $ b^2/(4a)$ sta nel fatto che il quadrato incompleto è moltiplicato da $a$
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