Compito di mate: posto i miei dubbi!
Salve ragazzi,
siccome domani ho il compito di mate sarei molto grato se mi deste una mano su alcune spiegazioni di cose che oramai avevo rimosso un pò .. però la mia prof ci mette nel compito quindi ora mi sto zitto e studio ... però purtroppo il mio libro non è completissimo (soprattutto per quanto riguarda gli esempi di apllicazione!) quindi mi affido a voi e vi posto dei dubbi .. magari li posto man mano .. voi spero mi possiate aiutare!
DISCONTINUITA' DELLE FUNZIONI
Allora ... l'esercizio mi dà una funzione y=x^2+1/x^2-9 ... la più semplice .. ora:
- faccio il dominio della funzione (denominatore diverso da zero)
- con i punti che trovo [che sono +3 e -3] mi faccio il limite sia destro che sinistro??
Questo è la prima cosa che non ho capito ... trovato il punto [i punti], poi devo fare il limite destro e sinistro sempre???
Poi nel caso in cui mi venga di 2ª specie devo cercare di risolvere il limite, o quello si fà solo nel caso in cui si ha una discontinuità di terza specie?
GRAZIE
siccome domani ho il compito di mate sarei molto grato se mi deste una mano su alcune spiegazioni di cose che oramai avevo rimosso un pò .. però la mia prof ci mette nel compito quindi ora mi sto zitto e studio ... però purtroppo il mio libro non è completissimo (soprattutto per quanto riguarda gli esempi di apllicazione!) quindi mi affido a voi e vi posto dei dubbi .. magari li posto man mano .. voi spero mi possiate aiutare!
DISCONTINUITA' DELLE FUNZIONI
Allora ... l'esercizio mi dà una funzione y=x^2+1/x^2-9 ... la più semplice .. ora:
- faccio il dominio della funzione (denominatore diverso da zero)
- con i punti che trovo [che sono +3 e -3] mi faccio il limite sia destro che sinistro??
Questo è la prima cosa che non ho capito ... trovato il punto [i punti], poi devo fare il limite destro e sinistro sempre???
Poi nel caso in cui mi venga di 2ª specie devo cercare di risolvere il limite, o quello si fà solo nel caso in cui si ha una discontinuità di terza specie?
GRAZIE
Risposte
altro esempio: e^(x/x^2-1)
promo dubbio: nel porre il dominio faccio solo il denominatore dell'esponente diverso da 0 .. o tutto l'esponente maggiore di 0?
Cmq mi viene come risultato 1, che se sostituisco mi fa venire e^infinito .. quindi è di 2ª specie! Ora perchè la mia prof dice che devo fare il limite sinistro e destro ?? O_o
promo dubbio: nel porre il dominio faccio solo il denominatore dell'esponente diverso da 0 .. o tutto l'esponente maggiore di 0?
Cmq mi viene come risultato 1, che se sostituisco mi fa venire e^infinito .. quindi è di 2ª specie! Ora perchè la mia prof dice che devo fare il limite sinistro e destro ?? O_o
APPLICAZIONI DELL'ESISTENZA DEGLI ZERI / BOLZANO-WEIERSTRASS
Ecco .. questa la supplente non ce l'aveva fatto fare .. solo la teoria .. ora la prof pretende gli esercizi ... sgrunt!
1) Verificare che l'equazione x^3 + x^2 - 4 = 0 ammetta una soluzione nell'intervallo [1;2].
Ora .. secondo voi devo verificare se questa funzione è continua? E' per farlo dovrei fare il lim di x->0 della funzione (dal testo io penso che è 0 il punto in cui è continua) oppure direttamente verifico se nei punti 1 e 2 hanno segno opposto?
3) Dire se la funzione y=e^x ammette minimo nell'intervallo [0;+infinito)
anche qui devo vedere prima se è continua? Poi l'intervallo non è limitato, giusto .. quindi non potrebbe essere apllicato Bolzano? Oppure il minimo può essere trovato ma il massimo no? SPIEGATEMI
Ecco .. questa la supplente non ce l'aveva fatto fare .. solo la teoria .. ora la prof pretende gli esercizi ... sgrunt!
1) Verificare che l'equazione x^3 + x^2 - 4 = 0 ammetta una soluzione nell'intervallo [1;2].
Ora .. secondo voi devo verificare se questa funzione è continua? E' per farlo dovrei fare il lim di x->0 della funzione (dal testo io penso che è 0 il punto in cui è continua) oppure direttamente verifico se nei punti 1 e 2 hanno segno opposto?
3) Dire se la funzione y=e^x ammette minimo nell'intervallo [0;+infinito)
anche qui devo vedere prima se è continua? Poi l'intervallo non è limitato, giusto .. quindi non potrebbe essere apllicato Bolzano? Oppure il minimo può essere trovato ma il massimo no? SPIEGATEMI
ammazza quante cose! be' vediamo un po':
intuisco che nella prima funzione manca una parentesi. da quello che dici dovrebbe essere
y = x^2 + 1/(x^2 - 9)
trovati i punti critici devi fare sempre il limite destro e sinistro. questo ti fa capire come si comporta la funzione vicino ad essi. non capisco cosa intendi per risolvere il limite se hai una discontinuità di 2° specie: nel momento in cui hai fatto il limite lo hai risolto... comunque lo devi fare sempre, per dimostrare che discontinuità è.
credo che anche nella seconda manchi una parentesi, sennò avresti x/x^2, il che mi pare sospetto
y = e^(x/(x^2 - 1))
la funzione e^x è sempre continua. quindi e^f(x) è continua dove f(x) è continua. dunque devi trovare i punti singolari dell'esponente e studiare cosa accade a e^f(x) in tali punti. in questo caso i punti singolari dell'esponente sono quelli in cui il denominatore dell'esponente si annulla, ovvero 1 e -1. anche qui vai col limite per capire cosa succede. prendiamo ad esempio x = 1. facendo il limite per x -> 1+ l'esponente tende a +infinito, dunque y -> +inf. ma per x -> 1- l'esponente tende a -infinito, dunque y -> 0! occhio
per la soluzione dell'equazione x^3 + x^2 - 4 = 0 basta trovare un sottointervallo di [1;2] (al limite anche l'intervallo stesso) ai cui estremi la funzione abbia segno opposto. quindi prova con 1 e 2 per cominciare, e poi vedi un po'
chiaramente il teorema necessita della continuità. ma non in un solo punto, bensì in tutto l'intervallo! devi mostrare che è continua per ogni x. qui è facile, perché x^a è continua, e la somma di funzioni continue è una funzione contina.
y = e^x è una funzione strettamente crescente. quindi avrà minimo in 0. la continuità, nel caso in cui hai la f è strettamente crescente è sufficiente verificarla nell'estremo di sinistra (o di destra se è strettamente decrescente).
il massimo non c'è, perché non esiste un valore assunto dalla funzione tale che essa non superi mai, dal momento che, nell'intervallo in questione, cresce indefinitamente.
intuisco che nella prima funzione manca una parentesi. da quello che dici dovrebbe essere
y = x^2 + 1/(x^2 - 9)
trovati i punti critici devi fare sempre il limite destro e sinistro. questo ti fa capire come si comporta la funzione vicino ad essi. non capisco cosa intendi per risolvere il limite se hai una discontinuità di 2° specie: nel momento in cui hai fatto il limite lo hai risolto... comunque lo devi fare sempre, per dimostrare che discontinuità è.
credo che anche nella seconda manchi una parentesi, sennò avresti x/x^2, il che mi pare sospetto
y = e^(x/(x^2 - 1))
la funzione e^x è sempre continua. quindi e^f(x) è continua dove f(x) è continua. dunque devi trovare i punti singolari dell'esponente e studiare cosa accade a e^f(x) in tali punti. in questo caso i punti singolari dell'esponente sono quelli in cui il denominatore dell'esponente si annulla, ovvero 1 e -1. anche qui vai col limite per capire cosa succede. prendiamo ad esempio x = 1. facendo il limite per x -> 1+ l'esponente tende a +infinito, dunque y -> +inf. ma per x -> 1- l'esponente tende a -infinito, dunque y -> 0! occhio
per la soluzione dell'equazione x^3 + x^2 - 4 = 0 basta trovare un sottointervallo di [1;2] (al limite anche l'intervallo stesso) ai cui estremi la funzione abbia segno opposto. quindi prova con 1 e 2 per cominciare, e poi vedi un po'
chiaramente il teorema necessita della continuità. ma non in un solo punto, bensì in tutto l'intervallo! devi mostrare che è continua per ogni x. qui è facile, perché x^a è continua, e la somma di funzioni continue è una funzione contina.
y = e^x è una funzione strettamente crescente. quindi avrà minimo in 0. la continuità, nel caso in cui hai la f è strettamente crescente è sufficiente verificarla nell'estremo di sinistra (o di destra se è strettamente decrescente).
il massimo non c'è, perché non esiste un valore assunto dalla funzione tale che essa non superi mai, dal momento che, nell'intervallo in questione, cresce indefinitamente.
Ciao Elijah,
grazie per i chiarimenti ... e scusa per le parentesi hai ragionissimo ... ti volevo chiedere:
1 esercizio
- cosa intendi per punti critici? Nel senso i punti che annullano, in questo caso, il denominatore ossia +3 e - 3?
- quello che vorrei sapere è che se faccio il lim x->3+ mi verrebbe 10/0, quindi +inf ... ora venendomi +inf la discontinuità è di seconda specie, quindi devo fare lo stesso anche il lim x->3-? E' questo è il mio dubbio .. cioè se al limite destro trovo non un numero, ma trovo inf devo fare anche quello sinistro? La stessa cosa vale per x->-3 ...
- per "svolgere il limite" intendo (come nel caso di discontinuità 3ª specie) se con artifici devo cercare di "semplificare" in modo che poi sostituendo mi venga un numero. La stessa cosa dev'essere fatta anche se è di 1ª specie? (questa è la mia domanda, in pratica!)
2 esercizio (ariscusa per le parentesi!)
Ok, ho capito come svolgere il dominio ... questo caso quindi è quello che ti chiedevo forse prima (non me n'ero accorto!) .. allora in questo caso faccio il lim x->3+ e mi viene e^+inf, quindi + inf ... ma ora che ho avuto più infinito devo fare lo stesso anche x->3- .. che infatti viene zero .. quindi il limite destro e sinistro va fatto sia che la discontinuità sia di prima che di seconda specie?
3 esercizio
Io infatti sostituendo gli estremi dell'intervallo mi trovavo che erano di segno opposto .. e quindi pensavo di aver finito l'esercizio .. ma poi mi è venuto il dubbio di dover dire che è continua ... è in effetti x^a è continua .. ora chiamami ignorante, ma per un ripasso, quali sono le altre funzioni continue?
4 esercizio
per esempio la funzione esponenziale è strettamente crescente cavolo è vecchio lo avevo rimosso ... ora dimmi siccome è strettamente crescente ha come minimo 0? O cmq l'hai calcolato 0 in qualche modo?
Poi se è strettamente crescente lo verifico solo nell'estremo sinistro .. se è strett decrescente [come nel caso dell'esponenziale con base 0
oggi mi metterò sui problemi riguardo la tangente al grafico della funzione (ke mi sembrano difficili), spero di poter postare qui casomi ho qualche dubbio, mentre spero di farli tutti quelli sui differenziali
Grazie
grazie per i chiarimenti ... e scusa per le parentesi hai ragionissimo ... ti volevo chiedere:
1 esercizio
- cosa intendi per punti critici? Nel senso i punti che annullano, in questo caso, il denominatore ossia +3 e - 3?
- quello che vorrei sapere è che se faccio il lim x->3+ mi verrebbe 10/0, quindi +inf ... ora venendomi +inf la discontinuità è di seconda specie, quindi devo fare lo stesso anche il lim x->3-? E' questo è il mio dubbio .. cioè se al limite destro trovo non un numero, ma trovo inf devo fare anche quello sinistro? La stessa cosa vale per x->-3 ...
- per "svolgere il limite" intendo (come nel caso di discontinuità 3ª specie) se con artifici devo cercare di "semplificare" in modo che poi sostituendo mi venga un numero. La stessa cosa dev'essere fatta anche se è di 1ª specie? (questa è la mia domanda, in pratica!)
2 esercizio (ariscusa per le parentesi!)
Ok, ho capito come svolgere il dominio ... questo caso quindi è quello che ti chiedevo forse prima (non me n'ero accorto!) .. allora in questo caso faccio il lim x->3+ e mi viene e^+inf, quindi + inf ... ma ora che ho avuto più infinito devo fare lo stesso anche x->3- .. che infatti viene zero .. quindi il limite destro e sinistro va fatto sia che la discontinuità sia di prima che di seconda specie?
3 esercizio
Io infatti sostituendo gli estremi dell'intervallo mi trovavo che erano di segno opposto .. e quindi pensavo di aver finito l'esercizio .. ma poi mi è venuto il dubbio di dover dire che è continua ... è in effetti x^a è continua .. ora chiamami ignorante, ma per un ripasso, quali sono le altre funzioni continue?
4 esercizio
per esempio la funzione esponenziale è strettamente crescente cavolo è vecchio lo avevo rimosso ... ora dimmi siccome è strettamente crescente ha come minimo 0? O cmq l'hai calcolato 0 in qualche modo?
Poi se è strettamente crescente lo verifico solo nell'estremo sinistro .. se è strett decrescente [come nel caso dell'esponenziale con base 0
oggi mi metterò sui problemi riguardo la tangente al grafico della funzione (ke mi sembrano difficili), spero di poter postare qui casomi ho qualche dubbio, mentre spero di farli tutti quelli sui differenziali
Grazie
1) forse l'espressione "punti critici" non è esatta. comunque quelli che intendevo sono tutti i punti "pericolosi" che possono dar luogo a discontinuità. tali sono gli zeri dei denominatori, punti quali lo 0 per il logaritmo, pi/2 + k pi per la tangente, e così via.
2) in generale devi sempre fare il limite sinistro e destro, perché come hai visto possono dare risultati differenti. in pratica con un po' di esperienza riesci a capire se i due limiti sono o no equivalenti (ad es 1/x^2), ma nel dubbio è sempre meglio calcolarli entrambi. in genere non ci vuole molto.
3) le funzioni continue sono tutte quelle il cui grafico, se ce l'hai presente, non fa mai salti. quindi polinomi, seno, coseno, logaritmo (tranne in 0), radice, esponenziale, ecc.
4) il minimo non è 0, è IN x = 0, ovvero nell'estremo sinistro dell'intervallo, perché la funzione è strettamente crescente. in x = 0 si ha y = e^0 = 1, che è il minimo.
è giusto il discorso sull'esponenziale con base 0 < a < 1.
ciao!
2) in generale devi sempre fare il limite sinistro e destro, perché come hai visto possono dare risultati differenti. in pratica con un po' di esperienza riesci a capire se i due limiti sono o no equivalenti (ad es 1/x^2), ma nel dubbio è sempre meglio calcolarli entrambi. in genere non ci vuole molto.
3) le funzioni continue sono tutte quelle il cui grafico, se ce l'hai presente, non fa mai salti. quindi polinomi, seno, coseno, logaritmo (tranne in 0), radice, esponenziale, ecc.
4) il minimo non è 0, è IN x = 0, ovvero nell'estremo sinistro dell'intervallo, perché la funzione è strettamente crescente. in x = 0 si ha y = e^0 = 1, che è il minimo.
è giusto il discorso sull'esponenziale con base 0 < a < 1.
ciao!
Grazie mille Elijah .. ci vediamo dopo casomai!
una sola cosa ... ma quando indico il minimo devo indicare le coordinate (x,y) ossia (o,1) o scrivo minimo in 0 o minimo in 1?
una sola cosa ... ma quando indico il minimo devo indicare le coordinate (x,y) ossia (o,1) o scrivo minimo in 0 o minimo in 1?
il "minimo" è il valore MINIMO della funzione (che si misura sulle ordinate). dire che "il minimo è in 0" significa che il punto corrispondente al valore minimo della funzione ha ascissa x = 0.
se P = (x,y) è il punto di minimo di f,
x = posizione del "minimo"
y = valore del minimo, o semplicemente minimo
quindi diremo: il minimo della funzione è y; tale minimo è in x!
prego, ciao!
se P = (x,y) è il punto di minimo di f,
x = posizione del "minimo"
y = valore del minimo, o semplicemente minimo
quindi diremo: il minimo della funzione è y; tale minimo è in x!
prego, ciao!
Grazie mille ancora!
Ammazza non ci credo quasi ... sto facendo i problemi sulla tangente è non ho problemi .. continuo ad averne invece sulle discontinuità .. esempio:
esercizio 1
y=x/[log(1+x)]
pongo il denominatore diverso da zero (mi trovo che x è diverso da 0) e poi pongo l'argomento del logartimo > 0 (quindi x>-1).
Ora se faccio il lim x->0 allora mi viene indeterminata la funzione, e con artifici me la risolvo .. è un limite notevole ed è = 1 .. ok, quindi è di terza specie!
Se invece faccio il lim x->-1+ allora avrò -1/-inf .. ossia 0. Ma se faccio lim x->-1- allora avrò (visto che a sinistra la x è negativa) -1/log2 ... quindi perchè il libro mi dice invece che in questo punto la funzione è di 3ª specie .. a me non sembra che questi risultati indichino che sia di 3ª specie!
esercizio 2
ho un sistema.
=x+2 per x>0
y =3 per x=0
=sinx/x per x<0
Ora se risolvo
- la prima per x->0+ avrò 2 ... se la risolvo per x->0- avrò -2, quindi è di 1ª specie
- la seconda avrò 3, quindi 1ª specie
- la terza per x->0- avrò 0/0 [indeterminata], quindi 3ª specie, la risolvo e viene uno .. invece per x->0+ allora avrò credo sempre 0/0 (mica esiste -0?) comunque sarà un'indeterminata ... 3ª specie .. ora .. perchè il libro mi dà come risultato 1ª specie ...???
Ammazza non ci credo quasi ... sto facendo i problemi sulla tangente è non ho problemi .. continuo ad averne invece sulle discontinuità .. esempio:
esercizio 1
y=x/[log(1+x)]
pongo il denominatore diverso da zero (mi trovo che x è diverso da 0) e poi pongo l'argomento del logartimo > 0 (quindi x>-1).
Ora se faccio il lim x->0 allora mi viene indeterminata la funzione, e con artifici me la risolvo .. è un limite notevole ed è = 1 .. ok, quindi è di terza specie!
Se invece faccio il lim x->-1+ allora avrò -1/-inf .. ossia 0. Ma se faccio lim x->-1- allora avrò (visto che a sinistra la x è negativa) -1/log2 ... quindi perchè il libro mi dice invece che in questo punto la funzione è di 3ª specie .. a me non sembra che questi risultati indichino che sia di 3ª specie!
esercizio 2
ho un sistema.
=x+2 per x>0
y =3 per x=0
=sinx/x per x<0
Ora se risolvo
- la prima per x->0+ avrò 2 ... se la risolvo per x->0- avrò -2, quindi è di 1ª specie
- la seconda avrò 3, quindi 1ª specie
- la terza per x->0- avrò 0/0 [indeterminata], quindi 3ª specie, la risolvo e viene uno .. invece per x->0+ allora avrò credo sempre 0/0 (mica esiste -0?) comunque sarà un'indeterminata ... 3ª specie .. ora .. perchè il libro mi dà come risultato 1ª specie ...???
studio di funzione
E' possibile studiare il segno di una funzione come (x-1)^(radice quadrata di 3) o simili ??? (soprattutto se all'esponente c'e' un intero polinomio)
Grazie
E' possibile studiare il segno di una funzione come (x-1)^(radice quadrata di 3) o simili ??? (soprattutto se all'esponente c'e' un intero polinomio)
Grazie
nel primo esercizio, se il campo di esistenza è x > -1, è perché il logaritmo non è definito per argomento <= 0. dunque non ha senso fare il limite per x -> -1-, in quanto non puoi avvicinarti a -1 da sinistra, perchè... a sinistra non c'è nulla! 
nel secondo: a seconda da che parte fai il limite devi usare uno dei diverse "pezzi" di funzione
se fai x -> 0+ devi considerare y = x + 2 -> 2
se fai x -> 0- devi considerare y = sinx/x -> 1
in x = 0 si ha y = 3
però non mi ricordo come si chiama questo tipo di discontinuità
vedi sul libro!
nel secondo: a seconda da che parte fai il limite devi usare uno dei diverse "pezzi" di funzione
se fai x -> 0+ devi considerare y = x + 2 -> 2
se fai x -> 0- devi considerare y = sinx/x -> 1
in x = 0 si ha y = 3
però non mi ricordo come si chiama questo tipo di discontinuità
vedi sul libro!
per il terzo: la funzione esponenziale è definita per basi positive, dunque il segno sarà sempre positivo (chiaramente dove la funzione è definita)!
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