Come si fattorizza N^3+7N^2+16N+12 ?
Non ho mai capito come si fa !!
A scuola andavamo "per tentativi", ma non conosco l'algoritmo per fattorizzare questo tipo di polinomi di terzo grado...
Ovviamente il risultato lo conosco, ma vorrei sapere come ci si arriva in modo analitico !!
A scuola andavamo "per tentativi", ma non conosco l'algoritmo per fattorizzare questo tipo di polinomi di terzo grado...
Ovviamente il risultato lo conosco, ma vorrei sapere come ci si arriva in modo analitico !!
Risposte
Ruffini, per esempio ...
Ruffini se non ricordo male equivaleva esattamente ad andare per tentativi... 
Si provava dividendo per (N-i) , con i scelto tra i vari sottomultipli del termine noto...
E poi non è altro che un inutile modo grafico per fare le divisioni tra polinomi, che personalmente preferisco fare come se fossere delle divisioni normali.
Si provava dividendo per (N-i) , con i scelto tra i vari sottomultipli del termine noto...
E poi non è altro che un inutile modo grafico per fare le divisioni tra polinomi, che personalmente preferisco fare come se fossere delle divisioni normali.
Non proprio, ripassati un po' di teoria ... 
... e cmq, che io sappia, non esiste un "semplice" algoritmo "buono per tutte le stagioni", in definitiva "scomporre" significa trovare le radici di un polinomio e la cosa non è poi così banale ...
... e cmq, che io sappia, non esiste un "semplice" algoritmo "buono per tutte le stagioni", in definitiva "scomporre" significa trovare le radici di un polinomio e la cosa non è poi così banale ...
Ho appena cercato su internet, ed è come dico io...
Ti inviterei a leggere meglio le domande, e se non sei capace di rispondere magari evita... Se fosse stata una cosa banale non avrei fatto la domanda, non sono certo lo studentello pigro che non vuole studiare...
E qui ci vengo per cercare aiuto e risposte, invitare a "ripassare la teoria" davvero non mi sembra un suggerimento particolarmente brillante...
Anzi, visto che sono un po' di volte che mi dai risposte totlmente inutili, ti inviterei proprio ad evtare di rispondere ai miei messaggi, grazie...
Ti inviterei a leggere meglio le domande, e se non sei capace di rispondere magari evita... Se fosse stata una cosa banale non avrei fatto la domanda, non sono certo lo studentello pigro che non vuole studiare...
E qui ci vengo per cercare aiuto e risposte, invitare a "ripassare la teoria" davvero non mi sembra un suggerimento particolarmente brillante...
Anzi, visto che sono un po' di volte che mi dai risposte totlmente inutili, ti inviterei proprio ad evtare di rispondere ai miei messaggi, grazie...
Se qualcuno ti dice di ripassare la teoria non ti sta offendendo, anzi.
Io è solo grazie ai loro 'ripassa questa parte di teoria', che ho migliorato i miei risultati.
Io è solo grazie ai loro 'ripassa questa parte di teoria', che ho migliorato i miei risultati.
In generale per fattorizzare un polinomio di generico grado \( n \) nell'indeterminata \( X \) a coefficienti in un certo anello \( ( A, +, \cdot ) \) occorre trovarne uno zero, dove per zero di un polinomio \( p(X) \) si intende un valore \( \xi \) appartenente allo stesso anello al quale appartengono i coefficienti del polinomio tale che la valutazione della funzione polinomiale \( p(x) \) associata al polinomio \( p(X) \) sia lo \( 0 \) dell'anello in questione, i.e. tale che \( p(\xi) = 0 \).
Questo perché il teorema di Ruffini stabilisce che il resto della divisione tra un polinomio \( p(X) \) ed il binomio \( X - \xi \) è dato da \( p(\xi) \), sicché se \( p(X) \) è divisibile per \( X - \xi \) allora il resto della divisione di \( p(X) \) per \( X - \xi \), i.e. \( p(\xi) \), deve essere \( 0 \).
Per trovare questo valore \( \xi \) occorre quindi uguagliare a \( 0 \) la funzione polinomiale \( p(x) \), "impostando" l'equazione polinomiale \( p(x) = 0 \) nell'incognita \( x \) di grado \( n \). A questo punto il teorema di Abel-Ruffini stabilisce che un'equazione polinomiale di grado \( n \geq 5 \) non ha una formula generale per esprimerne le soluzioni tramite radicali, laddove il teorema fondamentale dell'algebra dice che un polinomio \( p(X) \) di grado \( n \) ha esattamente \( n \) radici complesse contate con la loro molteplicità ed al massimo \( n \) radici reali.
Tutto ciò porta al fatto che non esiste un algoritmo per trovare queso valore \( \xi \) sicché, a meno che non ti trovi in situazioni particolarmente agevoli che ti diano la possibilità di mettere in evidenza o di ricorrere ai "prodotti notevoli" o a particolari schemi relativi a particolari polinomi di particolari gradi, devi sporcarti le mani ed andare per tentativi.
In questo andare per tentativi si hanno comunque degli strumenti da poter usare per risolvere il problema: per esempio dato un polinomio monico \( p(X) \) a coefficienti interi di grado \( n \) e termine noto \( a_{0} \), se \( \xi \) è uno zero di \( p(X) \) allora esso è un divisore di \( a_{0} \). O anche dato un polinomio \( p(X) \) a coefficienti "interi", se \( \displaystyle \xi = \frac{p}{q} \) è uno zero di \( p(X) \) con \( \gcd (p,q) = 1 \) allora \( p \) è un divisore del termine noto e \( q \) è un divisore del coefficiente direttore.
Tu purtroppo, contrariamente a quanto scrivi tu stesso, hai un pessimo modo di approcciare la Matematica e in questo tuo pessimo modo di approcciare la disciplina hai anche parecchia presunzione. E bada bene che lo dico senza alcun intento polemico o di offesa: sono ben lungi dalla mia persona condizionamenti emotivi di qualsivoglia sorta. Se te lo dico è perché vedo che hai un cervello fino ma lo usi in malo modo.
Affermi di non essere
dici di venire qui per
fai domande per sapere
e contemporaneamente affermi qui che a te
aggiungi qui che
perché come dici qui
dal momento che come affermi qui
senza renderti conto di versare in realtà di condizioni di ignoranza spaventosa (la quale tua ignoranza è un'offesa alla tua stessa elasticità mentale, di cui hai dato prova per esempio nel trovare la dimostrazione alternativa alla somma dei primi \(n \) quadrati perfetti) perché il principio di induzione rende in modo matematico il concetto intuitivo di effetto domino ed è alla base della costruzione dei numeri naturali e della possibilità di operare con essi, perché ai Fisici non interessa usare con rigore gli strumenti matematici fino a che non si ha a che fare con Fisici di un certo livello che non si limitano a dire "velocità uguale spazio fratto tempo", sconfinando nella presunzione di spiegare la Matematica quando invece spieghi come risolvere meccanicamente gli esercizi, per tua stessa ammissione dato che ti interessano solo gli algoritmi per risolvere i problemi. E paradossalmente il fatto che ti interessino solo gli algoritmi per risolvere i problemi non sarebbe di per sé un problema se poi non facessi contraddittoriamente domande le cui risposte per essere comprese richiedono necessariamente di andare oltre gli algoritmi finendo poi per sentenziare e per offendere gli altri quando poi te lo fanno notare. Dove la contraddizione nasce proprio dal fatto che nel tuo personalissimo modo di vedere la Matematica, questa è, o dovrebbe essere per lo meno in parte, un manuale di algoritmo da usare ad uso e consumo dell'utente finale per risolvere problemi. Quando invece senza problemi da risolvere non ci sarebbe la necessità di indagare sui "perché" e senza spiegare i "perché" non si potrebbero mettere punto gli "strumenti" adatti alle varie situazioni.
Il tutto senza alcun intento polemico.
Questo perché il teorema di Ruffini stabilisce che il resto della divisione tra un polinomio \( p(X) \) ed il binomio \( X - \xi \) è dato da \( p(\xi) \), sicché se \( p(X) \) è divisibile per \( X - \xi \) allora il resto della divisione di \( p(X) \) per \( X - \xi \), i.e. \( p(\xi) \), deve essere \( 0 \).
Per trovare questo valore \( \xi \) occorre quindi uguagliare a \( 0 \) la funzione polinomiale \( p(x) \), "impostando" l'equazione polinomiale \( p(x) = 0 \) nell'incognita \( x \) di grado \( n \). A questo punto il teorema di Abel-Ruffini stabilisce che un'equazione polinomiale di grado \( n \geq 5 \) non ha una formula generale per esprimerne le soluzioni tramite radicali, laddove il teorema fondamentale dell'algebra dice che un polinomio \( p(X) \) di grado \( n \) ha esattamente \( n \) radici complesse contate con la loro molteplicità ed al massimo \( n \) radici reali.
Tutto ciò porta al fatto che non esiste un algoritmo per trovare queso valore \( \xi \) sicché, a meno che non ti trovi in situazioni particolarmente agevoli che ti diano la possibilità di mettere in evidenza o di ricorrere ai "prodotti notevoli" o a particolari schemi relativi a particolari polinomi di particolari gradi, devi sporcarti le mani ed andare per tentativi.
In questo andare per tentativi si hanno comunque degli strumenti da poter usare per risolvere il problema: per esempio dato un polinomio monico \( p(X) \) a coefficienti interi di grado \( n \) e termine noto \( a_{0} \), se \( \xi \) è uno zero di \( p(X) \) allora esso è un divisore di \( a_{0} \). O anche dato un polinomio \( p(X) \) a coefficienti "interi", se \( \displaystyle \xi = \frac{p}{q} \) è uno zero di \( p(X) \) con \( \gcd (p,q) = 1 \) allora \( p \) è un divisore del termine noto e \( q \) è un divisore del coefficiente direttore.
Tu purtroppo, contrariamente a quanto scrivi tu stesso, hai un pessimo modo di approcciare la Matematica e in questo tuo pessimo modo di approcciare la disciplina hai anche parecchia presunzione. E bada bene che lo dico senza alcun intento polemico o di offesa: sono ben lungi dalla mia persona condizionamenti emotivi di qualsivoglia sorta. Se te lo dico è perché vedo che hai un cervello fino ma lo usi in malo modo.
Affermi di non essere
"fisicarlo":
lo studentello pigro che non vuole studiare
dici di venire qui per
"fisicarlo":
cercare aiuto e risposte
fai domande per sapere
"fisicarlo":
come ci si arriva in modo analitico
e contemporaneamente affermi qui che a te
"fisicarlo":
interessa solo imparare gli algoritmi per risolvere i problemi, i teoremi cerco di evitarli come la peste per quanto mi è possibile
aggiungi qui che
"fisicarlo":
Mi dispiace, ma sono allergico alle dimostrazioni per induzione, non le ho mai tollerate...
perché come dici qui
"fisicarlo":
per me qeulle per induzione sono delle "non-dimostrazioni"... le dimostarzioni per induzione sono quanto di più lontano possa esistere da qualcosa di "intuitivo"
dal momento che come affermi qui
"fisicarlo":
l modo in cui si insegna la matematica a fisica, a mio parere COMPLETAMENTE FOLLE... a un fisico non importa nulla del rigore formale, ma a lui interessa imparare ad USARE degli STRUMENTI per fare i conti che gli interessano, e basta... ogni volta che spiego la matematica ai ragazzi la capiscono benissimo, e mi chiedono perché il loro professori non la spiegano come la spiego io, che come la spiegano loro a scuola non si capise mai un c***o
senza renderti conto di versare in realtà di condizioni di ignoranza spaventosa (la quale tua ignoranza è un'offesa alla tua stessa elasticità mentale, di cui hai dato prova per esempio nel trovare la dimostrazione alternativa alla somma dei primi \(n \) quadrati perfetti) perché il principio di induzione rende in modo matematico il concetto intuitivo di effetto domino ed è alla base della costruzione dei numeri naturali e della possibilità di operare con essi, perché ai Fisici non interessa usare con rigore gli strumenti matematici fino a che non si ha a che fare con Fisici di un certo livello che non si limitano a dire "velocità uguale spazio fratto tempo", sconfinando nella presunzione di spiegare la Matematica quando invece spieghi come risolvere meccanicamente gli esercizi, per tua stessa ammissione dato che ti interessano solo gli algoritmi per risolvere i problemi. E paradossalmente il fatto che ti interessino solo gli algoritmi per risolvere i problemi non sarebbe di per sé un problema se poi non facessi contraddittoriamente domande le cui risposte per essere comprese richiedono necessariamente di andare oltre gli algoritmi finendo poi per sentenziare e per offendere gli altri quando poi te lo fanno notare. Dove la contraddizione nasce proprio dal fatto che nel tuo personalissimo modo di vedere la Matematica, questa è, o dovrebbe essere per lo meno in parte, un manuale di algoritmo da usare ad uso e consumo dell'utente finale per risolvere problemi. Quando invece senza problemi da risolvere non ci sarebbe la necessità di indagare sui "perché" e senza spiegare i "perché" non si potrebbero mettere punto gli "strumenti" adatti alle varie situazioni.
Il tutto senza alcun intento polemico.
Amico caro, quelli come voi sono la causa principale dell'ignoranza scientifica del popolo italia (sì anche della mia, che avendo avuto fin troppi professori come come voi ho avuto difficoltà allucinanti a capire le cose...)
Il vostro approccio alla matematica di cui andate tanto orgogliosi, e dall'alto del quale disprezzate il mio (dandomi additrittura dell'ignorante, ma "senza intento polemico", noooo, per carità...
) la rende incompremnsibili, invisa e odiata dalla stragrande maggioranza delle persone "normali", che le cose come le spiegate voi non le capiscono...
Poi io avrò i miei limiti,come ad esempio la totale mancanza di capacità di astrazione, ma poi sta di fatto che ogni volta che spiego io la matematica a qualcuno mi dicono sempre che la spiego benissimo, faccio caire le cose, e che non capiscono perchè i loro professori non spiegano le cose come le spiego io...
Poi nel vostro mondo della matematica e della fisica teorica ovviamente voi siete i re, e vi sentite dei grandi sapientoni, ma intanto è proprio grazie a voi che la gente odia la matematica, che invece con un approccio come il mio sarebbe una materia bellissima, e anche facile, e addirittura divertente !!
Detto questo io continuerò per la mia strada, cercando di "tradurre" per le perdone normali la matematica in un linguaggio a loro comprensibile, vista la fatica che ho dovuto farte io in primis a tradurla per me stesso, a volte ristudiandomi daccapo interi esami di matematica (anche dopo averli sostenuti) da libri scritti da fisici, e capendo finalmente le cose, sì, quelle stesse cose che sui libri di matematica scritti da quelli come voi sembravano scritti in ostrogoto...
MA la cosa che veramente più è insopportabile del vostro modo di essere è la vostra saccenza arroganza e supponenza, questo sentirvi sempre più intelligenti degli altri, e guardare e trattare gli studenti "normali" come dei poveri idioti, anzichè farvi per una volta un BAGNO DI UMILTA', e provare a CAMBIARE IL VOSTRO APPROCCIO, LINGUAGGIO e ATTEGGIAMENTO !!
Per concludere, visto che l'onestà ibtellettuale non mi manca, quella derivazione non è farina del mio sacco, ma una rielaborazione di tante spiegazioni trovate in rete, senza le quali non sarei mai riuscito ad arrivare a quell'algoritmo.
Il vostro approccio alla matematica di cui andate tanto orgogliosi, e dall'alto del quale disprezzate il mio (dandomi additrittura dell'ignorante, ma "senza intento polemico", noooo, per carità...
) la rende incompremnsibili, invisa e odiata dalla stragrande maggioranza delle persone "normali", che le cose come le spiegate voi non le capiscono...Poi io avrò i miei limiti,come ad esempio la totale mancanza di capacità di astrazione, ma poi sta di fatto che ogni volta che spiego io la matematica a qualcuno mi dicono sempre che la spiego benissimo, faccio caire le cose, e che non capiscono perchè i loro professori non spiegano le cose come le spiego io...
Poi nel vostro mondo della matematica e della fisica teorica ovviamente voi siete i re, e vi sentite dei grandi sapientoni, ma intanto è proprio grazie a voi che la gente odia la matematica, che invece con un approccio come il mio sarebbe una materia bellissima, e anche facile, e addirittura divertente !!
Detto questo io continuerò per la mia strada, cercando di "tradurre" per le perdone normali la matematica in un linguaggio a loro comprensibile, vista la fatica che ho dovuto farte io in primis a tradurla per me stesso, a volte ristudiandomi daccapo interi esami di matematica (anche dopo averli sostenuti) da libri scritti da fisici, e capendo finalmente le cose, sì, quelle stesse cose che sui libri di matematica scritti da quelli come voi sembravano scritti in ostrogoto...
MA la cosa che veramente più è insopportabile del vostro modo di essere è la vostra saccenza arroganza e supponenza, questo sentirvi sempre più intelligenti degli altri, e guardare e trattare gli studenti "normali" come dei poveri idioti, anzichè farvi per una volta un BAGNO DI UMILTA', e provare a CAMBIARE IL VOSTRO APPROCCIO, LINGUAGGIO e ATTEGGIAMENTO !!
Per concludere, visto che l'onestà ibtellettuale non mi manca, quella derivazione non è farina del mio sacco, ma una rielaborazione di tante spiegazioni trovate in rete, senza le quali non sarei mai riuscito ad arrivare a quell'algoritmo.
Innanzitutto non capisco il perché di tanta animosità dinanzi all'uso della parola "ignorante": non ti ho mica dato dell'idiota. Anzi: ho scritto che si vede che sei dotato un cervello fino e dotato di elasticità mentale. Ignorante deriva dal latino e letteralmente designa quell'individuo che non è a conoscenza di un determinato fatto oppure colui che è privo in parte o del tutto di un determinato complesso di nozioni. Solo successivamente, in accezione spregiativa, designa un individuo che è privo di qualunque tipo di cultura e, per estensione, della cultura relativa alle buone maniere. Se ti faccio un complimento dicendoti che hai un cervello sveglio, come posso poi appellarti come ignorante in tono spregiativo?
Posto ciò, non c'è un approccio altezzoso in ragione del quale si guarda dall'alto verso il basso con fare sprezzante chi ha invece un approccio più umano ed user friendly alla disciplina. Sei tu che crei questa contrapposizione nell'esatto momento in cui ti tieni ben lontano dai teoremi e ti interessi soltanto degli algoritmi necessari per risolvere i problemi: sono parole tue, non mie. Non ti rendi conto che in questo modo crei una separazione che non ha ragione di esistere ed in funzione della quale determini una contrapposizione bellicosa tra la Matematica teorica di coloro che hanno un approccio altezzoso e la Matematica pratica di coloro che hanno un approccio normale.
Quando parli di algoritmi per risolvere i problemi tu stai parlando solo di una parte di un aspetto della disciplina: ti ripeto che la Matematica non si divide in modo netto tra Matematica della teoria e Matematica degli esercizi perché senza problemi da risolvere non ci sarebbe lo stimolo ad indagare e senza la formalizzazione delle indagini e dei conseguenti risultati non ci sarebbero dei "grimaldelli" da usare per risolvere i problemi. Inoltre quello degli algoritmi per risolvere i problemi è solo una parte dell'aspetto più pratico della disciplina perché non tutti i problemi possono essere risolti ricorrendo a degli algoritmi che permettano di costruire in modo quasi meccanico la soluzione del problema stesso. Un esempio lampante sono le Olimpiadi della Matematica: quando si fanno le Olimpiadi della Matematica non ci sono algoritmi a cui votarsi, non c'è un modo standard di procedere per risolvere questo o quell'esercizio. Ci sono delle linee guida generali, dei pattern a cui fare riferimento per avere una traccia, poi bisogna ingegnarsi, pensare a questo o a quel modo non convenzionale di attaccare il problema.
Quando dici che quando tu spieghi la Matematica agli altri, gli altri la trovano semplice ed addirittura divertente devi essere consapevole del fatto che non stai spiegando la Matematica, stai spiegano come avere a che fare con una parte di un'aspetto della Matematica e più precisamente con quella scolastica, strettamente operativa, pratica e pragmatica, quella in cui si può rispondere ai quesiti proposti procedendo (per dirla con te) con degli algoritmi.
Se non ti fai consapevole di questo non accetterai mai una risposta come quella di axpgn perché il tuo modo di trattare la disciplina ti porta non solo a dividerla in modo netto e quindi erroneo in Matematica teorica e Matematica pratica ma ti porta anche a valutare semplicisticamente la Matematica pratica.
La tua valutazione semplicistica della Matematica pratica e l'erronea dicotomia che operi tra essa e la Matematica teorica emerge in tutta la sua lampante evidenza proprio da questo topic. E ti spiego perché. Le risposte che si ricevono dipendono anche, se non soprattutto, dal modo in cui si fanno le domande. Tu chiedi come si scompone un polinomio del tipo \( N^{3} + 7N^{2} + 16N + 12 \) affermando che non conosci l'algoritmo per scomporre questo tipo di polinomi. Innanzitutto occorrerebbe mettersi d'accordo su cosa significhi "polinomio di questo tipo" dato che quel polinomio non ha alcunché di speciale. Inoltre poni la domanda nella sezione riservata alle scuole superiori. Infine poni la domanda senza precisare in quale anello desideri fattorizzare il polinomio . Allora, in questo contesto e sotto queste ipotesi, facendo tu una domanda generica che più generica non si può e "chiamando" una risposta generica che più generica non si può, l'unica risposta sensata è che un algoritmo non c'è. A quel punto chi ti dice che l'algoritmo non c'è deve anche spiegarti perché. E il perché è che, messa giù la questione in questo modo, scomporre un polinomio significa trovarne gli zeri e trovarne gli zeri non è una cosa sempre fattibile attraverso l'uso dell'algebra di base. Ma se si amplia il discorso, se si hanno a disposizione conoscenze di Algebra Computazione, Teoria degli Anelli e Algebra Lineare e di quella che definisci come la Matematica portata avanti con un approccio, un linguaggio ed un atteggiamento da rinnegare perché fanno scappare gli altri inducendoli ad odiare la disciplina, la risposta è che ci sono degli algoritmi che, sotto opportune condizioni e ribadisco il "sotto opportune condizioni", permettono di fattorizzare i polinomi: l'algoritmo di Berlekamp e l'algoritmo di Cantor-Zassenhaus. Prova a leggere qualcosa di questi algoritmi e fammi sapere se ritieni di poterli maneggiare senza quello che tu ritieni l'approccio sbagliato alla disciplina.
Mi dispiace ma quello che tu ritieni essere l'approccio sbagliato alla disciplina è in realtà l'unico approccio corretto. Rendere la Matematica scolastica serve solo a rendere accessibile una piccola parte della stessa. Ma per dare risposte a certe domande la Matematica scolastica non basta. Non è questione di arroganza, di presunzione o di supponenza, non è questione di voler guardare dall'alto in basso quasi schifati quelli normali trattandoli da idioti per sentirsi dei sapientoni, non è questione di farsi un bagno di umiltà per non sentirsi sempre più intelligenti degli altri, è questione che le cose stanno come stanno, che piaccia o no e, di conseguenza, per poter trattare certe questioni ci si deve porre in determinate condizioni, che piaccia o no.
Ma questo vale in tutte le discipline. Io posso certamente andare dal mio cardiologo e chiedergli qualche spiegazione in più e lui può certamente mettermela giù semplice facendomi capire a grandi linee quello che al mio cuore non va. Ma se giunge il giorno in cui deve operarmi a cuore aperto io non posso pretendere che lui mi spieghi quello che sta per fare ponendomi io da ignorante di medicina cardio-chirurgica, apostrofandolo come saccente e come arrogante perché non vuole spiegarmi a parole semplici come eseguirà l'intervento.
Albert Einstein ha detto (o almeno così pare: non l'ho conosciuto di persona): "Tutto dovrebbe essere reso il più semplice possibile, ma non più semplicistico". Tu invece intendi ridurre la Matematica ad una serie di procedure e di istruzioni, tipo foglietto delle istruzioni delle sorprese dell'ovetto Kinder, in modo tale che tutti possano usarla, liberi da vincoli, liberi da "seghe mentali" su quali debbano essere le ipotesi iniziali ed il contesto operativo. Non funziona così. Che ti piaccia o no.
Posto ciò, non c'è un approccio altezzoso in ragione del quale si guarda dall'alto verso il basso con fare sprezzante chi ha invece un approccio più umano ed user friendly alla disciplina. Sei tu che crei questa contrapposizione nell'esatto momento in cui ti tieni ben lontano dai teoremi e ti interessi soltanto degli algoritmi necessari per risolvere i problemi: sono parole tue, non mie. Non ti rendi conto che in questo modo crei una separazione che non ha ragione di esistere ed in funzione della quale determini una contrapposizione bellicosa tra la Matematica teorica di coloro che hanno un approccio altezzoso e la Matematica pratica di coloro che hanno un approccio normale.
Quando parli di algoritmi per risolvere i problemi tu stai parlando solo di una parte di un aspetto della disciplina: ti ripeto che la Matematica non si divide in modo netto tra Matematica della teoria e Matematica degli esercizi perché senza problemi da risolvere non ci sarebbe lo stimolo ad indagare e senza la formalizzazione delle indagini e dei conseguenti risultati non ci sarebbero dei "grimaldelli" da usare per risolvere i problemi. Inoltre quello degli algoritmi per risolvere i problemi è solo una parte dell'aspetto più pratico della disciplina perché non tutti i problemi possono essere risolti ricorrendo a degli algoritmi che permettano di costruire in modo quasi meccanico la soluzione del problema stesso. Un esempio lampante sono le Olimpiadi della Matematica: quando si fanno le Olimpiadi della Matematica non ci sono algoritmi a cui votarsi, non c'è un modo standard di procedere per risolvere questo o quell'esercizio. Ci sono delle linee guida generali, dei pattern a cui fare riferimento per avere una traccia, poi bisogna ingegnarsi, pensare a questo o a quel modo non convenzionale di attaccare il problema.
Quando dici che quando tu spieghi la Matematica agli altri, gli altri la trovano semplice ed addirittura divertente devi essere consapevole del fatto che non stai spiegando la Matematica, stai spiegano come avere a che fare con una parte di un'aspetto della Matematica e più precisamente con quella scolastica, strettamente operativa, pratica e pragmatica, quella in cui si può rispondere ai quesiti proposti procedendo (per dirla con te) con degli algoritmi.
Se non ti fai consapevole di questo non accetterai mai una risposta come quella di axpgn perché il tuo modo di trattare la disciplina ti porta non solo a dividerla in modo netto e quindi erroneo in Matematica teorica e Matematica pratica ma ti porta anche a valutare semplicisticamente la Matematica pratica.
La tua valutazione semplicistica della Matematica pratica e l'erronea dicotomia che operi tra essa e la Matematica teorica emerge in tutta la sua lampante evidenza proprio da questo topic. E ti spiego perché. Le risposte che si ricevono dipendono anche, se non soprattutto, dal modo in cui si fanno le domande. Tu chiedi come si scompone un polinomio del tipo \( N^{3} + 7N^{2} + 16N + 12 \) affermando che non conosci l'algoritmo per scomporre questo tipo di polinomi. Innanzitutto occorrerebbe mettersi d'accordo su cosa significhi "polinomio di questo tipo" dato che quel polinomio non ha alcunché di speciale. Inoltre poni la domanda nella sezione riservata alle scuole superiori. Infine poni la domanda senza precisare in quale anello desideri fattorizzare il polinomio . Allora, in questo contesto e sotto queste ipotesi, facendo tu una domanda generica che più generica non si può e "chiamando" una risposta generica che più generica non si può, l'unica risposta sensata è che un algoritmo non c'è. A quel punto chi ti dice che l'algoritmo non c'è deve anche spiegarti perché. E il perché è che, messa giù la questione in questo modo, scomporre un polinomio significa trovarne gli zeri e trovarne gli zeri non è una cosa sempre fattibile attraverso l'uso dell'algebra di base. Ma se si amplia il discorso, se si hanno a disposizione conoscenze di Algebra Computazione, Teoria degli Anelli e Algebra Lineare e di quella che definisci come la Matematica portata avanti con un approccio, un linguaggio ed un atteggiamento da rinnegare perché fanno scappare gli altri inducendoli ad odiare la disciplina, la risposta è che ci sono degli algoritmi che, sotto opportune condizioni e ribadisco il "sotto opportune condizioni", permettono di fattorizzare i polinomi: l'algoritmo di Berlekamp e l'algoritmo di Cantor-Zassenhaus. Prova a leggere qualcosa di questi algoritmi e fammi sapere se ritieni di poterli maneggiare senza quello che tu ritieni l'approccio sbagliato alla disciplina.
Mi dispiace ma quello che tu ritieni essere l'approccio sbagliato alla disciplina è in realtà l'unico approccio corretto. Rendere la Matematica scolastica serve solo a rendere accessibile una piccola parte della stessa. Ma per dare risposte a certe domande la Matematica scolastica non basta. Non è questione di arroganza, di presunzione o di supponenza, non è questione di voler guardare dall'alto in basso quasi schifati quelli normali trattandoli da idioti per sentirsi dei sapientoni, non è questione di farsi un bagno di umiltà per non sentirsi sempre più intelligenti degli altri, è questione che le cose stanno come stanno, che piaccia o no e, di conseguenza, per poter trattare certe questioni ci si deve porre in determinate condizioni, che piaccia o no.
Ma questo vale in tutte le discipline. Io posso certamente andare dal mio cardiologo e chiedergli qualche spiegazione in più e lui può certamente mettermela giù semplice facendomi capire a grandi linee quello che al mio cuore non va. Ma se giunge il giorno in cui deve operarmi a cuore aperto io non posso pretendere che lui mi spieghi quello che sta per fare ponendomi io da ignorante di medicina cardio-chirurgica, apostrofandolo come saccente e come arrogante perché non vuole spiegarmi a parole semplici come eseguirà l'intervento.
Albert Einstein ha detto (o almeno così pare: non l'ho conosciuto di persona): "Tutto dovrebbe essere reso il più semplice possibile, ma non più semplicistico". Tu invece intendi ridurre la Matematica ad una serie di procedure e di istruzioni, tipo foglietto delle istruzioni delle sorprese dell'ovetto Kinder, in modo tale che tutti possano usarla, liberi da vincoli, liberi da "seghe mentali" su quali debbano essere le ipotesi iniziali ed il contesto operativo. Non funziona così. Che ti piaccia o no.
Mentre voi continuate a polemizzare, mi permetto di ricordarvi che un ragazzino di scuola media non avrebbe avuto nessuna difficoltà ad applicare l'algoritmo della ricerca delle radici razionali al caso in questione:
$\pm \frac {1,2,3,4,6,12}{1}$
Se poi si odiano le dimostrazioni o le più raffinate tecniche di induzione o deduzione è sempre possibile lasciare perdere di studiare matematica e quando proprio serve utilizzare i tanti solutori automatici oggi disponibili.
$\pm \frac {1,2,3,4,6,12}{1}$
Se poi si odiano le dimostrazioni o le più raffinate tecniche di induzione o deduzione è sempre possibile lasciare perdere di studiare matematica e quando proprio serve utilizzare i tanti solutori automatici oggi disponibili.
"fisicarlo":
Ruffini se non ricordo male ...
Si provava dividendo per (N-i) , con i scelto tra i vari sottomultipli del termine noto...
"fisicarlo":
Ho appena cercato su internet, ed è come dico io...
Non proprio. Prendi ad esempio $30 N^3-31 N^2+10 N -1$.
Se scegliamo $i$ solo tra i vari sottomultipli del termine noto, abbiamo solo $i= 1$ e $i= -1$.
Nessuno dei due annulla il polinomio. Le radici sono $1/2$, $1/3$ e $1/5$.
In realtà, per trovare le eventuali radici razionali, dobbiamo prendere $i$ uguale a $p/q$,
con $p, q$ interi coprimi tali che $p$ è sottomultiplo del termine noto e $q$ è sottomultiplo del termine di grado massimo
(per una dimostrazione di questo fatto si può vedere qui, pagina 6).
Nel nostro caso $+-1, +-1/2, +-1/3, +-1/5, +-1/6, +-1/10, +-1/15,+-1/30$.
"G.D.":
Innanzitutto non capisco il perché di tanta animosità dinanzi all'uso della parola "ignorante": non ti ho mica dato dell'idiota. Anzi: ho scritto che si vede che sei dotato un cervello fino e dotato di elasticità mentale. Ignorante deriva dal latino e letteralmente designa quell'individuo che non è a conoscenza di un determinato fatto oppure colui che è privo in parte o del tutto di un determinato complesso di nozioni. Solo successivamente, in accezione spregiativa, designa un individuo che è privo di qualunque tipo di cultura e, per estensione, della cultura relativa alle buone maniere. Se ti faccio un complimento dicendoti che hai un cervello sveglio, come posso poi appellarti come ignorante in tono spregiativo?
Posto ciò, non c'è un approccio altezzoso in ragione del quale si guarda dall'alto verso il basso con fare sprezzante chi ha invece un approccio più umano ed user friendly alla disciplina. Sei tu che crei questa contrapposizione nell'esatto momento in cui ti tieni ben lontano dai teoremi e ti interessi soltanto degli algoritmi necessari per risolvere i problemi: sono parole tue, non mie. Non ti rendi conto che in questo modo crei una separazione che non ha ragione di esistere ed in funzione della quale determini una contrapposizione bellicosa tra la Matematica teorica di coloro che hanno un approccio altezzoso e la Matematica pratica di coloro che hanno un approccio normale.
Quando parli di algoritmi per risolvere i problemi tu stai parlando solo di una parte di un aspetto della disciplina: ti ripeto che la Matematica non si divide in modo netto tra Matematica della teoria e Matematica degli esercizi perché senza problemi da risolvere non ci sarebbe lo stimolo ad indagare e senza la formalizzazione delle indagini e dei conseguenti risultati non ci sarebbero dei "grimaldelli" da usare per risolvere i problemi. Inoltre quello degli algoritmi per risolvere i problemi è solo una parte dell'aspetto più pratico della disciplina perché non tutti i problemi possono essere risolti ricorrendo a degli algoritmi che permettano di costruire in modo quasi meccanico la soluzione del problema stesso. Un esempio lampante sono le Olimpiadi della Matematica: quando si fanno le Olimpiadi della Matematica non ci sono algoritmi a cui votarsi, non c'è un modo standard di procedere per risolvere questo o quell'esercizio. Ci sono delle linee guida generali, dei pattern a cui fare riferimento per avere una traccia, poi bisogna ingegnarsi, pensare a questo o a quel modo non convenzionale di attaccare il problema.
Quando dici che quando tu spieghi la Matematica agli altri, gli altri la trovano semplice ed addirittura divertente devi essere consapevole del fatto che non stai spiegando la Matematica, stai spiegano come avere a che fare con una parte di un'aspetto della Matematica e più precisamente con quella scolastica, strettamente operativa, pratica e pragmatica, quella in cui si può rispondere ai quesiti proposti procedendo (per dirla con te) con degli algoritmi.
Se non ti fai consapevole di questo non accetterai mai una risposta come quella di axpgn perché il tuo modo di trattare la disciplina ti porta non solo a dividerla in modo netto e quindi erroneo in Matematica teorica e Matematica pratica ma ti porta anche a valutare semplicisticamente la Matematica pratica.
La tua valutazione semplicistica della Matematica pratica e l'erronea dicotomia che operi tra essa e la Matematica teorica emerge in tutta la sua lampante evidenza proprio da questo topic. E ti spiego perché. Le risposte che si ricevono dipendono anche, se non soprattutto, dal modo in cui si fanno le domande. Tu chiedi come si scompone un polinomio del tipo \( N^{3} + 7N^{2} + 16N + 12 \) affermando che non conosci l'algoritmo per scomporre questo tipo di polinomi. Innanzitutto occorrerebbe mettersi d'accordo su cosa significhi "polinomio di questo tipo" dato che quel polinomio non ha alcunché di speciale. Inoltre poni la domanda nella sezione riservata alle scuole superiori. Infine poni la domanda senza precisare in quale anello desideri fattorizzare il polinomio . Allora, in questo contesto e sotto queste ipotesi, facendo tu una domanda generica che più generica non si può e "chiamando" una risposta generica che più generica non si può, l'unica risposta sensata è che un algoritmo non c'è. A quel punto chi ti dice che l'algoritmo non c'è deve anche spiegarti perché. E il perché è che, messa giù la questione in questo modo, scomporre un polinomio significa trovarne gli zeri e trovarne gli zeri non è una cosa sempre fattibile attraverso l'uso dell'algebra di base. Ma se si amplia il discorso, se si hanno a disposizione conoscenze di Algebra Computazione, Teoria degli Anelli e Algebra Lineare e di quella che definisci come la Matematica portata avanti con un approccio, un linguaggio ed un atteggiamento da rinnegare perché fanno scappare gli altri inducendoli ad odiare la disciplina, la risposta è che ci sono degli algoritmi che, sotto opportune condizioni e ribadisco il "sotto opportune condizioni", permettono di fattorizzare i polinomi: l'algoritmo di Berlekamp e l'algoritmo di Cantor-Zassenhaus. Prova a leggere qualcosa di questi algoritmi e fammi sapere se ritieni di poterli maneggiare senza quello che tu ritieni l'approccio sbagliato alla disciplina.
Mi dispiace ma quello che tu ritieni essere l'approccio sbagliato alla disciplina è in realtà l'unico approccio corretto. Rendere la Matematica scolastica serve solo a rendere accessibile una piccola parte della stessa. Ma per dare risposte a certe domande la Matematica scolastica non basta. Non è questione di arroganza, di presunzione o di supponenza, non è questione di voler guardare dall'alto in basso quasi schifati quelli normali trattandoli da idioti per sentirsi dei sapientoni, non è questione di farsi un bagno di umiltà per non sentirsi sempre più intelligenti degli altri, è questione che le cose stanno come stanno, che piaccia o no e, di conseguenza, per poter trattare certe questioni ci si deve porre in determinate condizioni, che piaccia o no.
Ma questo vale in tutte le discipline. Io posso certamente andare dal mio cardiologo e chiedergli qualche spiegazione in più e lui può certamente mettermela giù semplice facendomi capire a grandi linee quello che al mio cuore non va. Ma se giunge il giorno in cui deve operarmi a cuore aperto io non posso pretendere che lui mi spieghi quello che sta per fare ponendomi io da ignorante di medicina cardio-chirurgica, apostrofandolo come saccente e come arrogante perché non vuole spiegarmi a parole semplici come eseguirà l'intervento.
Albert Einstein ha detto (o almeno così pare: non l'ho conosciuto di persona): "Tutto dovrebbe essere reso il più semplice possibile, ma non più semplicistico". Tu invece intendi ridurre la Matematica ad una serie di procedure e di istruzioni, tipo foglietto delle istruzioni delle sorprese dell'ovetto Kinder, in modo tale che tutti possano usarla, liberi da vincoli, liberi da "seghe mentali" su quali debbano essere le ipotesi iniziali ed il contesto operativo. Non funziona così. Che ti piaccia o no.
Prima di finire de leggere ti rispondo subito che NON MI E' STATO RISPOSTO "l'algoritmo non cìè", ma mi è stato risposto "prova ad esempio con Ruffini", e Ruffini significa esattamente ANDARE PER TENTATIVI, che era ESATTAMENTE QUELLO CHE NELLA MIA DOMANDA CHIEDEVO DI NON FARE !!
Come se io chiedessi "ditemi un modo per pulirmi i denti senza fare una seduta di igiene" e mi rispondessero: "hai provato dal dentista ??
Ora continuo a leggere...
Ecco, ho finito... Direi che ti capisco molto più quando scrivi in italiano che quando spieghi la matematica... Di quella prima spiegazione sui polinomi non ho capito quasi nulla, anche perché usi il concetto di "anello" che mi propinarono a geometria e che non ho mai minimamente capito, essendo la tipica cosa astratta che per i matematici è ovvia e per me è aramaico... Poi non so che cos'è il "coefficiente direttore" ,nè cosa sia il "polinomio monico". Sarebbe molto divertente chiedere ad uno studente (o un laureato) di fisica se conosce queste parole, e vedere quanti le conoscono e quanti no...
Riguardo al resto ribadisco che non mi ritengo assolutamente un ignorante in matematica, tutt'altro, e quindi reputo un'offesa chi si permette di darmi dell'ignorante... Ho semplicemente una preparazione base che mi permette di affrontare la maggior parte dei problemi, con delle carenze da riempire come ad esempio gli integrali di superficie con cambiamenti di variabili: quelli prima o poi dovrò vedere di studiarmeli meglio, perché ad esempio su quelli ad una domanda nella sezione "università" non ho saputo rispondere... E se c'è qualcuno che si chiede il perché delle cose sono proprio io, altrimenti non mi sarei chiesto come si dimostra che le sommatorie di k^2 e k^3 diano proprio quel valore, mi sarei imparato il risultato a memoria come fanno tutti, punto e basta...
Quanto ad Albert Einstein, mi pare disse anche che una cosa si può dire davvero compresa solo se si è in grado di spiegarlo con parole semplici anche alla propria nonna... So che ci sono discussioni sulla veridicità di questo aneddoto, ma io ne sposo totalmente il senso...
Direi che è meglio fermarmi qui, altrimenti divento troppo prolisso, direi che abbiamo posizioni inconciliabili, e che tali rimarranno, ma sicuramente ho più rispetto di te di uno che mi risponde come mi ha risposto quell'altro...
Ho letto anche altre sue risposte ad altre domande e sta sempre a dire " ma è chiaro che", "non capisco come tu faccia a on capire che", "ma non hai pensato che"... E trovo questo un modo odioso e insopportabile di rispondere ad una persona che sta facendo una domanda in un forum...
"Gi8":
[quote="fisicarlo"]Ruffini se non ricordo male ...
Si provava dividendo per (N-i) , con i scelto tra i vari sottomultipli del termine noto...
"fisicarlo":
Ho appena cercato su internet, ed è come dico io...
Non proprio. Prendi ad esempio $30 N^3-31 N^2+10 N -1$.
Se scegliamo $i$ solo tra i vari sottomultipli del termine noto, abbiamo solo $i= 1$ e $i= -1$.
Nessuno dei due annulla il polinomio. Le radici sono $1/2$, $1/3$ e $1/5$.
In realtà, per trovare le eventuali radici razionali, dobbiamo prendere $i$ uguale a $p/q$,
con $p, q$ interi coprimi tali che $p$ è sottomultiplo del termine noto e $q$ è sottomultiplo del termine di grado massimo
(per una dimostrazione di questo fatto si può vedere qui, pagina 6).
Nel nostro caso $+-1, +-1/2, +-1/3, +-1/5, +-1/6, +-1/10, +-1/15,+-1/30$.[/quote]
E no, caro !!
Il discorso di prendere i sottomultipli del termine noto va ovviamente fatto dopo aver posto il polinomio in forma "normale" (mi pare si dica così), cioè lasciando davanti al coefficiente del termine a potenza più elevata il coefficiente uno !!
Nel tuo caso:
$30 N^3-31 N^2+10 N -1 => N^3-31/30 N^2+1/3 N -1/30$.
E infatti le radici che tu hai trovato (non le ho verificate, ma mi fido....) sono proprio sottomultipli di $1/30$ !!
"fisicarlo":
E no, caro !!
Il discorso di prendere i sottomultipli del termine noto va ovviamente fatto dopo aver posto il polinomio in forma "normale" (mi pare si dica così), cioè lasciando davanti al coefficiente del termine a potenza più elevata il coefficiente uno !!
Nel tuo caso:
$30 N^3-31 N^2+10 N -1 => N^3-31/30 N^2+1/3 N -1/30$.
E infatti le radici che tu hai trovato (non le ho verificate, ma mi fido....) sono proprio sottomultipli di $1/30$ !!
I concetti "multipli" e "sottomultipli" hanno significato solo all'interno dei numeri interi.
All'interno dei numeri razionali (come $1/30$) essi perdono di significato, perchè ogni numero razionale (non nullo) è multiplo di ogni altro numero razionale (non nullo):
per ogni $a, b in QQ-{0}$, posto $q:= a/b in QQ$, si ha $a= b*q$, dunque $a$ è multiplo di $b$.
Quindi controllare le soluzioni tra i sottomultipli di $1/30$ significa controllare le soluzioni tra tutti i numeri razionali.
A meno che tu non conosca una diversa definizione di "multiplo" all'interno di $QQ$.
"fisicarlo":
... e Ruffini significa esattamente ANDARE PER TENTATIVI, ...
Semplicemente, non è vero.
Se un polinomio a coefficienti interi ha delle soluzioni razionali (che è quello che stavi cercando) queste si trovano tra i rapporti dei divisori del termine noto e dei divisori del coefficiente del temine di grado più alto.
Forse non te ne sei accorto ma questo è un algoritmo ...
- si verifica che il polinomio abbia coefficienti interi
- si trovano i divisori del termine noto
- si trovano i divisori del coefficiente del temine di grado più alto
- si costruisce l'insieme dei rapporti tra questi due numeri.
- si sostituiscono all'incognita nel polinomio e si verifica se il polinomio si annulla
- se non si annulla mai non ha soluzioni razionali.
Cordialmente, Alex
P.S.: per favore, mi diresti dove avrei scritto "non capisco come tu faccia a non capire che" oppure "ma non hai pensato che" ? Perché io non le trovo ...
Non mi piace questa discussione.
O si torna nei ranghi o la chiudo.
Dissento da fisicarlo per quanto riguarda il polinomio in forma normale, perché è quello a coefficienti interi.
Quello che propone lui è il polinomio monico.
O si torna nei ranghi o la chiudo.
Dissento da fisicarlo per quanto riguarda il polinomio in forma normale, perché è quello a coefficienti interi.
Quello che propone lui è il polinomio monico.
Ahh, si, infatti, infatti non ero affatto sicuro che si dicesse "forma normale"... 
(ci vorrebbe la faccina con la lacrimuccia, ma non la trovo...)
(ci vorrebbe la faccina con la lacrimuccia, ma non la trovo...)
"Gi8":
[quote="fisicarlo"]E no, caro !!
Il discorso di prendere i sottomultipli del termine noto va ovviamente fatto dopo aver posto il polinomio in forma "normale" (mi pare si dica così), cioè lasciando davanti al coefficiente del termine a potenza più elevata il coefficiente uno !!
Nel tuo caso:
$30 N^3-31 N^2+10 N -1 => N^3-31/30 N^2+1/3 N -1/30$.
E infatti le radici che tu hai trovato (non le ho verificate, ma mi fido....) sono proprio sottomultipli di $1/30$ !!
I concetti "multipli" e "sottomultipli" hanno significato solo all'interno dei numeri interi.
All'interno dei numeri razionali (come $1/30$) essi perdono di significato, perchè ogni numero razionale (non nullo) è multiplo di ogni altro numero razionale (non nullo):
per ogni $a, b in QQ-{0}$, posto $q:= a/b in QQ$, si ha $a= b*q$, dunque $a$ è multiplo di $b$.
Quindi controllare le soluzioni tra i sottomultipli di $1/30$ significa controllare le soluzioni tra tutti i numeri razionali.
A meno che tu non conosca una diversa definizione di "multiplo" all'interno di $QQ$.[/quote]
Secondo me no:
Controllare le soluzioni tra i sottomultipli di 1/30 significa controllare le soluzioni tra gli inversi dei sottomultipli di 30, E NON tra "tutti" i numeri razonali !! C'è una bella differenza, anzi direi che c'è un' "infinità" di differenza !!
sottomultipli di 30: 1,2,3,5,6... (ad esempio non 7) che danno le soluzioni: 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/6... ma non 1/7 !!
Ovviamente se mi dimostri che esiste un polinomio che ha come radici dei numeri che non soddisfano questo criterio, significa che il mio ragionamento è sbagliato... A me non è mai capitato, ma ovviamente potrebbe anche essere...
(Comunque la sociologia è una scienza più esatta della matematica, il bullismo contro l'ultimo arrivato più che una possibilità è una certezza, in qualsiasi ambito...)
Bastavano teorema e regola di Ruffini
$(n+2)^2(n+3)$
$(n+2)^2(n+3)$
"axpgn":
P.S.: per favore, mi diresti dove avrei scritto "non capisco come tu faccia a non capire che" oppure "ma non hai pensato che" ? Perché io non le trovo ...
viewtopic.php?f=11&t=161188&p=8211935#p8211935
"Quindi sostituisci alla x il suo valore che in questo specifico caso abbiamo visto che vale zero, dove sarebbe la difficoltà?"
viewtopic.php?f=11&t=161188&p=8211930#p8211930
A me pare che cos(0)=1 , a te no? (tono estremamente fastidioso, OGGETTIVAMEMTE !!)
In generale l'atteggiamento è sempre: "come fai ad essere così stupido a non arrivarci da solo?"
Ovviamente non lo dici esplicitamente, ma tra le righe si legge sempre quello, se poi vuoi negarlo...
Io non mi rivolgerei MAI così a qualcuno che mi chiede una spiegazione !! Specie su un forum come questo...
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