Come si costruisce l'insieme dei numeri reali?
Salve,spero che questa sia la sezione giusta,nel caso non lo sia mi scuso;l'argomento,su cui chiedo,se non vi reca disturbo, il vostro aiuto è "la costruzione dell'insieme dei numeri reali".
Risposte
Vai su https://www.matematicamente.it/ scorri un po' e si trovano verso la fine della pagina dei manuali sotto licenza Creative Commons.
Sì.
grazie,proverò a leggere questo capitolo per vedere se e come ne parla.
comunque ho letto il pdf che mi hai consigliato ieri(e correggimi se ho capito male),preso \( \phi:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R} \) ,tale che \( \phi(r)=(r)+C_{0} \) \( \forall r \in \mathbb{Q} \) (dove \( C_{0}=\{\{{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}}:\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0\} \) ); \( \mathbb{R}=\{{\phi(r): \forall r \in \mathbb{Q}}\} \) .
Giusto?
Giusto?
Non puoi definire una funzione da un insieme ad un insieme non ancora definito.
allora la definizione è quest'altra:
\( \mathbb{R}=C/C_0 \) ,dove $C$ è un sottoanello di \( \{\mathbb{Q}^{\mathbb{N}},+,*\} \),dove \( \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \) è l'insieme delle successioni \( (r_k)_{k\in \mathbb{N}} \) e $+,*$,sono somma e moltiplicazione delle componenti?
\( \mathbb{R}=C/C_0 \) ,dove $C$ è un sottoanello di \( \{\mathbb{Q}^{\mathbb{N}},+,*\} \),dove \( \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \) è l'insieme delle successioni \( (r_k)_{k\in \mathbb{N}} \) e $+,*$,sono somma e moltiplicazione delle componenti?
Questo e' il completamento di $\mathbb Q$. Io se fossi in te cercherei di capire la definizione alla Dedekind, sui libri buoni di geometria del biennio la trovi senz'altro perche' prima o poi si deve parlare di misura reale di un segmento (altrimenti, ad esempio, sarebbe impossibile dare una misura dalla diagonale del quadrato di lato 1).
ma anche la definizione di Dedekind,prevede la conoscenza delle classi di equivalenza?
Che io sappia no.
ma la costruzione di Dedekind è quella che afferma che la coppia di partizioni di $QQ$(con certe proprietà,che ora non ricordo) è un numero reale è che l'insieme di queste coppie è $RR$?
Si, prevede il passaggio al quoziente anche la definizione alla Dedekind, diverse coppie di classi contigue possono fornirti lo stesso numero reale. Ti faccio osservare che anche il passaggio da $\mathbb Z$ a $\mathbb Q$ prevede un quoziente (frazioni equivalenti sono lo stesso numero razionale). Si tratta solo di un fatto tecnico pero'.
quindi non devo vedere le classi di equivalenza come una specie di mostro della teoria degli insiemi?
"Luca.Lussardi":
Si, prevede il passaggio al quoziente anche la definizione alla Dedekind, diverse coppie di classi contigue possono fornirti lo stesso numero reale.
Mi sembra aver perso qualcosa.
Si, ma e' solo un fatto tecnico come dicevo: il problema sta solo nella corretta definizione di classi contigue, devi fare una scelta su $<$ o $\le$ quando la classe origina un razionale.
Ah ok.
"mklplo":
quindi non devo vedere le classi di equivalenza come una specie di mostro della teoria degli insiemi?
Un anello quoziente è, dal punto di vista insiemistico, una partizione dell'anello di partenza le cui classi di equivalenza sono definite in un certo modo. Le classi di equivalenza sono usate ovunque.
grazie del chiarimento.
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