Come si costruisce l'insieme dei numeri reali?
Salve,spero che questa sia la sezione giusta,nel caso non lo sia mi scuso;l'argomento,su cui chiedo,se non vi reca disturbo, il vostro aiuto è "la costruzione dell'insieme dei numeri reali".
Risposte
È un argomento classico dei primi capitoli di un qualsiasi libro di Analisi (non c'entra molto con questa sezione a meno che non ti stia riferendo a "come" si sia arrivati a ciò ...)
grazie della risposta.
p.s:scusatemi,l'avevo messo in questa sezione,perché pensavo fosse argomento di fondamenti di matematica.
p.s:scusatemi,l'avevo messo in questa sezione,perché pensavo fosse argomento di fondamenti di matematica.
Ci sono tanti modi per costruire $\mathbb R$ a partire da $\mathbb Q$, quello che io preferisco e' il completamento perche' in modo quasi automatico hai l'espansione decimale illimitata di ogni reale. Il neo di questo approccio e' che ti serve parlare di successioni di Cauchy in $\mathbb Q$, concetto normalmente introdotto dopo. L'approccio che va per la maggiore e' quello noto come "sezioni di Dedekind". Ti rimando, per approfondimenti, a un libro di analisi 1 (non su tutti lo trovi pero'), ti spiego solo l'idea, che parte dal disporre i razionali sulla retta e cercare di tappare i buchi che restano. I razionali hanno infatti una proprieta' detta "di sezionamento": puoi cioe' trovare sottoinsiemi $A,B$ di $\mathbb Q$ disgiunti la cui unione e' tutto $\mathbb Q$ e tali per cui per ogni $x\in A$ e per ogni $y\in B$ hai $x2\}$. Si puo' verificare che $A,B$ sono come detto in precedenza. Ebbene, le due classi $A,B$ "identificano" il "numero" $\sqrt 2$, unico elemento separatore tra $A$ e $B$. E' opportuno precisare che l'elemento separatore viene proprio definito come la coppia $(A,B)$. Questa e' solo l'idea della costruzione, che come vedi e' molto complicata e poco maneggevole. Alla fine di tutto la cosa importante e' che i numeri reali verifichino, in aggiunta alle regole di calcolo vere anche per $\mathbb Q$, la proprieta' dell'estremo superiore (ad esempio, ci sono anche altre assiomatiche per $\mathbb R$): ogni sottoinsieme $A$ superiormente limitato in $\mathbb R$ ha estremo superiore.
grazie,per la risposta,proverò ad approfondire su un libro di analisi 1,sperando che tratti questo argomento.
@Luca.Lussardi
Ho notato (spulciando qualche libro qua e là quindi senza la benché minima pretesa di qualsiasi cosa
) che spesso, ora, si usa definirli come "successioni illimitate non periodiche di cifre decimali" o meglio, usando questo concetto, ... in pratica "liste di cifre" (che rispettano alcune condizioni, minime per la verità), senza parlare ancora di "successioni" vere e proprie ...
Cordialmente, Alex
Ho notato (spulciando qualche libro qua e là quindi senza la benché minima pretesa di qualsiasi cosa
) che spesso, ora, si usa definirli come "successioni illimitate non periodiche di cifre decimali" o meglio, usando questo concetto, ... in pratica "liste di cifre" (che rispettano alcune condizioni, minime per la verità), senza parlare ancora di "successioni" vere e proprie ...Cordialmente, Alex
Infatti questo e' il completamento di $\mathbb Q$, approccio che io preferisco alle sezioni di Dedekind. Di fatto pero' sono successioni vere e proprie. Il problema non e' nella necessita' di parlare di successioni, una successione in $\mathbb Q$ e' semplicemente una funzione $\mathbb N \to \mathbb Q$. Il vero "problema" e' che devi parlare di successioni di Cauchy perche' la rappresentazione decimale non e' unica, quindi devi identificare tra loro le espansioni che ti danno origine allo stesso numero reale. Questo non accade se togli la periodicita' come hai detto pero' c'e' un inconveniente: cosi' facendo escludi tutti i razionali e diventa un pasticcio perche' risulta farraginoso metterci le operazioni e farci il calcolo.
In effetti non mi ero accorto di aver definito gli irrazionali invece dei reali ... 
La prima volta che ho letto di questo approccio mi è sembrato abbastanza "banale" ma dimostrare l'uguaglianza di due numeri reali così definiti oppure la relazione d'ordine usuale non lo era ...
Comunque non è il topic né la sezione giusta, solo un'ultima cosa: perché preferisci questo "metodo" e perché si sta affermando/diffondendo?
Cordialmente, Alex
La prima volta che ho letto di questo approccio mi è sembrato abbastanza "banale" ma dimostrare l'uguaglianza di due numeri reali così definiti oppure la relazione d'ordine usuale non lo era ...
Comunque non è il topic né la sezione giusta, solo un'ultima cosa: perché preferisci questo "metodo" e perché si sta affermando/diffondendo?
Cordialmente, Alex
Lo preferisco per vari motivi, e' piu' facile dimostrare le regole di calcolo di $\mathbb R$, ti da' quasi gratis la rappresentazione decimale dei reali e ricalca quello che si fa in geometria a scuola nell'ambito della teoria delle grandezze, cioe' la costruzione della misura reale di un segmento vedendolo come approssimazione di misure razionali. Inoltre, il procedimento di completamento e' molto piu' generale e puo' essere applicato anche al caso del completamento di uno spazio metrico qualsiasi: con la stessa tecnica infatti costruisci, a partire da un dato spazio metrico, uno spazio metrico completo aggiungendo i limiti delle successioni di Cauchy identificati tra loro in modo opportuno.
In Analisi matematica, Bertsch, Dal Passo, Giacomelli c'è questa definizione
Ma alla fine come ha detto Luca.Lussardi, quello che importa è che $RR$ soddisfi delle proprietà sulle operazioni e sull'ordinamento - che alla fine sono quelle definite su $QQ$ - e che sia completo, il che non vale per $QQ$. Su questa scia a volte si presenta l'insieme $RR$ in maniera assiomatica. Ciò non sminuisce affatto le diverse costruzioni fornite, anzi! Io penso che abbiano un loro fascino.
Un numero reale è un allineamento decimale proprio.
Ma alla fine come ha detto Luca.Lussardi, quello che importa è che $RR$ soddisfi delle proprietà sulle operazioni e sull'ordinamento - che alla fine sono quelle definite su $QQ$ - e che sia completo, il che non vale per $QQ$. Su questa scia a volte si presenta l'insieme $RR$ in maniera assiomatica. Ciò non sminuisce affatto le diverse costruzioni fornite, anzi! Io penso che abbiano un loro fascino.
grazie a tutti per l'aiuto.
"Luca.Lussardi":
... L'approccio che va per la maggiore e' quello noto come "sezioni di Dedekind". Ti rimando, per approfondimenti, a un libro di analisi 1 (non su tutti lo trovi pero')...
Nei testi di matematica del Liceo Scientifico c'è una breve spiegazione di questo nel libro di seconda.
in realtà da quello che dice il mio professore,la definizione dell'insieme $RR$ non si studia al liceo scientifico.Le uniche che si studiano sono di $NN,ZZ,QQ$(e di fatto gli unici che abbiamo studiato,per quanto riguarda $RR$ il libro non ne parla).
"@melia":
Nei testi di matematica del Liceo Scientifico c'è una breve spiegazione di questo nel libro di seconda.
Sì, hai ragione. I libri di solito fanno una introduzione alla costruzione dei numeri reali proprio prima di cominciare la teoria delle grandezze e delle proporzioni, con tanto di assioma di continuità della retta e con l'assioma di Archimede.
Puoi guardare il tuo libro di seconda prima. Puoi guardare pure il libro di geometria razionale di matematicamente.it.
la definizione nel mio libro di seconda è :"Chiamiamo numero reale,ogni numero che sia razionale o irrazionale(che vengono definiti a loro volta come:ogni numero che può essere rappresentato da un numero decimale illimitato e non periodico) e indichiamo con $RR$ l'insieme dei numeri reali.
E' vero che porta una definizione,ma non parla minimamente di sezioni di Dedekind.
E' vero che porta una definizione,ma non parla minimamente di sezioni di Dedekind.
Non credo che nella parte di geometria la definizione sia questa.
infatti,nella sezione di geometria(ammesso che non mi sia sfuggito) non viene proprio citato l'argomento.
Vai a pagina 172 del libro di geometria razionale di matematicamente.it.
su il sito di matematicamente.it esiste qualcosa del genere? e io che pensavo fosse composto solo dal forum.
No, è un mondo.
ah,allora come posso dare per trovare il suddetto libro?
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