Come si calcola l'immagine di una funzione?

[grezzo23]

come si calcola l'immagine di una funzione? non ho il libro di matematica e su internet è spiegato male. ho letto un po in giro e tutti dicono che + la Y per la quale x esiste, ma che significa? ad esempio x^2+1 quale sarebbe l'immagine? e di 3-x/2?

[Matlurker]

[math]x^2+1[/math]

non è una funzione, ma

[math]f(x): x^2+1[/math]

lo è. Ora, ammettiamo di avere, appunto:

[math]y=x^2+1[/math]

Se prendiamo un qualsiasi valore reale di x, la funzione esiste. Dunque diciamo che il Dominio della funzione è tutto R.
Poi osserviamo che se prendo tutti questi valori di x e li vado a sostituire alla funzione, ottengo valori di y che stanno in un certo intervallo, e questo intervallo è:

[math][1; +\infty)[/math]

Questa è l'immagine di f(x).
Invece per:

[math]y=3-\frac{x}{2}[/math]

il Dominio è tutto R, così come l'immagine che coincide, in questo caso, col codominio. In questo caso infatti comunque preso x ottengo un valore ed uno solo di y, e viceversa, e nulla ostacola il poter prendere e ottenere valori di x e y, tramite quella funzione, su tutto R.
In questo caso la funzione è biiettiva. Tuttavia è sufficiente che sia suriettiva perché immagine e codominio coincidano.

[grezzo23]

scusa la mia domanda, molto probabilmente ignorante, perdonami ma sto imparando da 0.. quindi tu è come se sostituissi la x con qualsiasi numero reale nel caso in cui la derivata sia R in R? ma una domanda mi sorge spontanea,s e il ragionamento è giusto tu puoi dire che x^2 + 1 abbia come immagine 1 e infinito perchè assegnando un qualsiasi valore alla x, partendo dal minimo ovvero 0 il minimo che otterresti sarebbe 1. è questo il ragionamento che porta a dire 1 e infinito? e poi nella seconda essendo biiettiva il suo valore quale sarebbe? y=R o y=inifnito? scusa per le troppe domande ma ne sto uscendo matto. poi ultima cosa come fai a sapere il tipo di grafico solo da questi dati generici?

[Matlurker]

La derivata non c'entra nulla e, ricorda, la definizione di funzione e i concetti di Dominio, Immagine, Codominio ecc, non si limitano alle curve descritte in un piano. Vediamo dunque di fare un po' di chiarezza ai tuoi, legittimi, dubbi.

[math]y=x^2+1[/math]

Questa è una curva. Se provo a disegnarla, posso farlo prendendo un valore di x, ad esempio x=1, e ottengo y=2. Tuttavia anche x=-1 darà y=2. Se metto x=2, y=5, ma anche x=-2 darà y=5. E così via. Osservo anche che x può assumere qualsiasi valore reale tipo

[math]\sqrt{1+\sqrt{7}}[/math]

o

[math]\log_{13}{\pi}[/math]

. L'unico fastidio sarà calcolare questi numeri.



Questo metodo si chiama interpolazione ed è utile per poter disegnare una curva con equazioni complicate oppure perché i dati sono strati estrapolati empiricamente, ad esempio.
Ad ogni modo, anche senza disegnarla, è agevole constatare che non c'è modo di avere, ad esempio valori di y negativi. Infatti la somma di un quadrato e un numero positivo sarà sempre un numero positivo.

E' questo che mi porta a dire che, forse, c'è un minimo. Per ora infatti ho scoperto una restrizione (=non posso ottenere valori di y