Come semplifico questo radicale?

[Zeldic]

Mi sto esercitando nello svolgimento di alcune disequazioni numeriche intere e frazionarie con radicali. Ho svolto questo esercizio, ma non capisco come mai ottengo un 8, anziché 2 nel risultato finale, che dev'essere invece $ rightarrow (sqrt(5) - 2) / 2 < x < (sqrt(5) + 2) / 2. $
Chi mi può dire gentilmente dove ho sbagliato?

Ecco il mio esercizio :

$ 4(x)^(2) - 4sqrt(5) x +1 < 0 $
$ = {-(-4sqrt(5)) pm sqrt((-4sqrt(5)))^2 - 4(4)(+1)} / {2(+4)} = $
$ = {+4sqrt(5) pm sqrt((+16(5) - 16))} / 8 = $
$ = {+4sqrt(5) pm sqrt(+80 - 16)} / 8 = $
$ = {+4sqrt(5) pm sqrt(+64)} / 8 = $
$ = {+4sqrt(5) pm 8} / 8 = $
$ = x_1 = {+4sqrt(5) - 8} / {8} => {+sqrt(5) - 8} / {2}. $
$ = x_2 = {+4sqrt(5) + 8} / {8} => {sqrt(5) + 8} / {2}. $

Quindi il mio risultato leggermente diverso da quello riportato sul testo :

$ {sqrt(5) - 8} / {2} < x < {sqrt(5) + 8} / {2}. $

Dove ho sbagliato? Forse devo separare la somma con il radicale e poi calcolare il m.c.m.? C'è una proprietà dei radicali che dovrei conoscere??

Perché :
$ {4sqrt(5) + 8} / {8} => {+4sqrt(5)} / {8} + {8} / {8} => {sqrt(5)} / {2} + 1 => {sqrt(5) + 2} / {2}. $

Ed è questo il risultato atteso!

[Tacito1]

Scusa, non ho capito cosa hai fatto al primo passaggio

[Zeldic]

Scusa, non ho capito cosa hai fatto al primo passaggio

Ho applicato la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado a 2 incognite.

[@melia]

Intanto ciao e benvenuto.
Poi ti comunico che hai sbagliato sezione, perché questi non sono esercizi da scuola media, ma da superiori per cui lo passo in secondaria di II grado.
Infine vado all'esercizio:

L'errore è qui

"Zeldic":
$ = x_1 = {+4sqrt(5) - 8} / {8} => {+sqrt(5) - 8} / {2}. $
$ = x_2 = {+4sqrt(5) + 8} / {8} => {sqrt(5) + 8} / {2}. $

Non puoi semplificare il 4 perché a numeratore hai una somma, devi prima raccogliere a fattor comune e poi semplificare
Per cui la soluzione diventa
$x_1 = {+4sqrt(5) - 8} / {8} =(4*(sqrt5-2))/8 = (sqrt5-2)/2$ allo stesso modo
$ x_2 = {+4sqrt(5) + 8} / {8} ={4*(sqrt(5) + 2)} / {2}= (sqrt5+2)/2$
che sono, appunto, i risultati del libro

[Zeldic]

"@melia":

Non puoi semplificare il 4 perché a numeratore hai una somma, devi prima raccogliere a fattor comune e poi semplificare
Per cui la soluzione diventa
$x_1 = {+4sqrt(5) - 8} / {8} =(4*(sqrt5-2))/8 = (sqrt5-2)/2$ allo stesso modo
$ x_2 = {+4sqrt(5) + 8} / {8} ={4*(sqrt(5) + 2)} / {2}= (sqrt5+2)/2$
che sono, appunto, i risultati del libro

Grazie, @melia! So che così ho ottenuto il risultato corretto, ma ti dico che sarà pur una cosa banale, ma ho ancora abbastanza difficoltà nel comprenderla, perché non mi viene spontaneo raccogliere a fattor comune in questo caso! Io vedo quell'8 come se fosse un oggetto separato, che farà poi parte della somma con $ 4sqrt(5) $. Riuscirei a capire senza problemi se avessi invece avuto $ +4(sqrt(5) - 8) $ dall'inizio, o forse il mio è solo un problema di visualizzazione? Poi, scusa la mia ignoranza, ma io questa fattorizzazione non l'ho mai capita, è un concetto nuovo per me.. In pratica hai diviso il -8 col 4, ed ottenuto così -2? E perché allora la $ sqrt(5) $ va tra parentesi tonde anch'essa, se poi non la si divide per 4, che c'entra??