Come risolvo questo tipo di limiti?
Ciao a tutti, come risolvo questo tipo di limite, cioè quelli in cui compare pigreco? ç_ç
lim per x che tende a pigreco terzi di [sen(x-pi/3)]/(1-2cosx)
Grazie mille in anticipo!
ps: non posso usare Hopital.
lim per x che tende a pigreco terzi di [sen(x-pi/3)]/(1-2cosx)
Grazie mille in anticipo!
ps: non posso usare Hopital.
Risposte
Ciao,
per prima cosa scriviamo il limite con le formule: $$\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}$$ Poi possiamo fare il cambio di variabile $$x-\frac{\pi}{3} = t$$ e il limite si può riscrivere come $$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{1-2\cos\left(t+\frac{\pi}{3}\right)} = \ldots = \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{1-\cos t+\sqrt{3}\sin t}$$ Riesci a concludere da qui?
per prima cosa scriviamo il limite con le formule: $$\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}$$ Poi possiamo fare il cambio di variabile $$x-\frac{\pi}{3} = t$$ e il limite si può riscrivere come $$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{1-2\cos\left(t+\frac{\pi}{3}\right)} = \ldots = \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{1-\cos t+\sqrt{3}\sin t}$$ Riesci a concludere da qui?
non credo ç_ç
il risultato è 1/rad(3)?
se sì, penso di aver capito xD e ti ringrazio
il risultato è 1/rad(3)?
se sì, penso di aver capito xD e ti ringrazio
Ok, moltiplichiamo a dividiamo tutto per $t$, quindi otteniamo $$\lim_{t\to 0}\ \left[\frac{\sin t}{t}\ \frac{t}{1-\cos t+\sqrt{3}\sin t}\right]$$ Ricordiamo i limiti notevoli $$\lim_{x\to 0}\ \frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to 0}\ \frac{1-\cos x}{x} = 0$$ E riscriviamo il limite con una divisione al posto del prodotto: $$\lim_{t\to 0}\left[\frac{\sin t}{t}\ : \frac{1-\cos t+\sqrt{3}\sin t}{t}\right]$$ Spezziamo quindi il secondo termine: $$\lim_{t\to 0}\left[\frac{\sin t}{t}\ : \left(\frac{1-\cos t}{t}+\sqrt{3}\frac{\sin t}{t}\right)\right]$$ Passando al limite otteniamo $$1:\left(0+\sqrt{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Grazie ancora! 
Altro esercizio che non riesco a fare >.<
questa volta il limite tende a -1 di cos [(pi (rad^3 x + 1))/(x+1)]
scusate il mio modo di scrivere le formule >.<
questa volta il limite tende a -1 di cos [(pi (rad^3 x + 1))/(x+1)]
scusate il mio modo di scrivere le formule >.<
Beh con le formule si può anche migliorare, non credi?
Ricopio il testo: $$\lim_{x\to -1}\ \cos\left(\frac{\pi\left(\sqrt[3]{x}+1\right)}{x+1}\right)$$ E' sufficiente moltiplicare sopra e sotto, dentro al coseno, per $$\sqrt[3]{x^2}+1-\sqrt[3]{x}$$ e sfruttare il fatto che $$A^3+B^3 = \left(A+B\right)\left(A^2+B^2-AB\right)$$
Ricopio il testo: $$\lim_{x\to -1}\ \cos\left(\frac{\pi\left(\sqrt[3]{x}+1\right)}{x+1}\right)$$ E' sufficiente moltiplicare sopra e sotto, dentro al coseno, per $$\sqrt[3]{x^2}+1-\sqrt[3]{x}$$ e sfruttare il fatto che $$A^3+B^3 = \left(A+B\right)\left(A^2+B^2-AB\right)$$
Capito, grazie mille
ps: hai ragione riguardo al modo di scrivere xD ho il compitino di analisi tra una settimana e sono in crisii ç_ç
ps: hai ragione riguardo al modo di scrivere xD ho il compitino di analisi tra una settimana e sono in crisii ç_ç
ti dispiace se ti chiedo di aiutarmi anche con questo?! >.<
$lim_(x->2)((x^2-4)/(cos(pi x/4)))$
$lim_(x->2)((x^2-4)/(cos(pi x/4)))$
Bello questo! 
Cambio di variabile: $$y=x-2$$ quindi il limite diventa $$\lim_{y\to 0} \frac{y^2+4y}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\left(y+2\right)\right)} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2+4y}{\cos\left(\frac{\pi}{4}y+\frac{\pi}{2}\right)} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2+4y}{-\sin\left(\frac{\pi}{4}y\right)}$$ Sopra fattorizzo, poi moltiplico e divido per $pi/4$. $$\lim_{y\to 0}\left[ -\frac{\frac{\pi}{4}y}{\sin\left(\frac{\pi}{4}y\right)}\left(y+4\right)\ \frac{4}{\pi}\right] = -\frac{16}{\pi}.$$
Cambio di variabile: $$y=x-2$$ quindi il limite diventa $$\lim_{y\to 0} \frac{y^2+4y}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\left(y+2\right)\right)} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2+4y}{\cos\left(\frac{\pi}{4}y+\frac{\pi}{2}\right)} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2+4y}{-\sin\left(\frac{\pi}{4}y\right)}$$ Sopra fattorizzo, poi moltiplico e divido per $pi/4$. $$\lim_{y\to 0}\left[ -\frac{\frac{\pi}{4}y}{\sin\left(\frac{\pi}{4}y\right)}\left(y+4\right)\ \frac{4}{\pi}\right] = -\frac{16}{\pi}.$$
Grazie mille! sono finalmente riuscita a capire il metodo!!
ps: posso chiederti una cosa? >.<
ho questo esercizio da svolgere :
trovare l'immagine e l'inversa della funzione
f(x)=1+2/x con dominio (0,1)
io ho fatto il limite per x che tende a 0 e per x che tende ad 1, stabilendo che l'immagine della funzione è y>3, e ho trovato l'inversa y=2/(x-1)
il metodo che ho usato, è corretto?
ps: posso chiederti una cosa? >.<
ho questo esercizio da svolgere :
trovare l'immagine e l'inversa della funzione
f(x)=1+2/x con dominio (0,1)
io ho fatto il limite per x che tende a 0 e per x che tende ad 1, stabilendo che l'immagine della funzione è y>3, e ho trovato l'inversa y=2/(x-1)
il metodo che ho usato, è corretto?
Se la tua funzione è $$y=1+\frac{2}{x}, \qquad x\in\left(0,1\right)$$ l'inversa è $$y=\frac{2}{\left(x-1\right)}, \qquad x\in\left(3, +\infty\right)$$ La limitazione sulla seconda la trovi imponendo $$0<\frac{2}{x-1}<1$$
non ho ben capito...
il dominio di y=1+2/x è (0,1) e il codominio è (3,+infinito)
per l'inversa il dominio è (3,+infinito) e il codominio è (0,1)
giusto?! >.<
il dominio di y=1+2/x è (0,1) e il codominio è (3,+infinito)
per l'inversa il dominio è (3,+infinito) e il codominio è (0,1)
giusto?! >.<
La $y$ della seconda non è altro che la $x$ della prima, quindi deve stare tra $0$ e $1$. Di conseguenza $$0<\frac{2}{x-1}<1$$ 
capito
come faccio a vedere se la funzione è continua nel suo dominio?
come faccio a vedere se la funzione è continua nel suo dominio?
Beh dipende... ad esempio spesso si può dire che una funzione è continua perché composizione di funzioni continue. Diciamo che di solito le discontinuità saltano all'occhio in modo piuttosto evidente.
capito...
scusa se continuo a disturbarti ç_ç
ma ad esempio, ho quest'altro esercizio:
trovare l'immagine e l'inversa, se esiste, della funzione f(x)= (x^2+1)/(x^2-1) con dominio I=(-1,1)
in questo caso la funzione è continua nell'intervallo e decrescente, quindi è invertibile, giusto?
come calcolo l'immagine? <.<
scusa se continuo a disturbarti ç_ç
ma ad esempio, ho quest'altro esercizio:
trovare l'immagine e l'inversa, se esiste, della funzione f(x)= (x^2+1)/(x^2-1) con dominio I=(-1,1)
in questo caso la funzione è continua nell'intervallo e decrescente, quindi è invertibile, giusto?
come calcolo l'immagine? <.<
Perché decrescente?
forse è crescente tra -1 e 0 e decrescente tra 0 e 1? >.<
Eh, direi ...
... e non è invertibile.
... e non è invertibile.
hai ragione xD
non essendo monotona risulta non invertibile quindi?!
ps: grazie
non essendo monotona risulta non invertibile quindi?!
ps: grazie
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