Come ricavo questa funzione dati questi vincoli?

[markzzz]

Io dovrei ricavare "una" funzione da questi vincoli:

- Campo esistenza: R \ {0} (reali escluso lo zero)
- La funzione è dispari, quindi f(x) != f(-x)
- Positiva tra -11
- Asintoto orizzontale y=0

Ora, ho disegnato il grafico (e a me sembra debba essere una parabola, con vertice spostato leggermente a destra, tra 0 e 1 sull'asse delle x, e leggermente in basso, nell'asse delle y.

Solo che non capisco il procedimento per arrivare alla funzione, e soprattutto come può funzionare (una parabola può assumere valore x=0).

Inoltre, il libro come soluzione da ln |x|/x : secondo voi non è sbagliato? Cioè se x=-1/2, non esiste il ln -1 :O

P.S. non posso usare nessuna derivata!

[Zero87]

"markzzz":Inoltre, il libro come soluzione da ln |x|/x : secondo voi non è sbagliato? Cioè se x=-1/2, non esiste il ln -1 :O

Sicuro che non sia $\frac{ln|x|}{x}$ invece di $ln(\frac{|x|}{x})$.

Comunque ammetto la mia ignoranza: in 5 anni di superiori (ora faccio l'uni) non ho mai visto un esercizio del genere e l'unica soluzione - per me - sussiste nell'andare a tentativi.

[markzzz]

ma anche se fosse (ln|x|)/x non può essere. Se x=-1/2 non può prendere un valore positivo (vincolo funzione positiva -1

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[giammaria2]

markzzz, ti faccio presente che dopo 30 messaggi l'uso del codificatore per le formule è obbligatorio; se non ti correggi dovrò bloccare i tuoi post.
Per la tua ultima obiezione, sono negativi sia $ln|-1/2|$ (che ha $"base">1$ ed $"0 Per quanto riguarda il tuo grafico, non può assolutamente assomigliare ad una parabola perché la funzione che cerchi cambia segno tre volte (in $ 0, +1, -1$) ed anche perché una parabola non ha asintoti orizzontali.
Per quanto riguarda trovare la funzione, occorre un po' di fantasia e sono possibili infinite risposte; una è quella data dal tuo libro ed un'altra può essere
$y=(x^2-1)/x^3$

[markzzz]

Ma come ci sei arrivato a quest'ultima soluzione? Sei andato "a caso"?

[giammaria2]

Abbastanza a caso, ma non del tutto. Per semplicità, ho limitato l'attenzione alle funzioni razionali (se non fosse bastato avrei pensato a cose più complesse); poi
- per avere l'asintoto $y=0$ il grado del denominatore doveva essere maggiore di quello del numeratore;
- perché fosse dispari, uno fra N e D doveva avere solo termini con esponenti pari e l'altro con esponenti dispari;
- doveva cambiare segno in $x=1$, quindi uno fra N e D doveva essere divisibile per $(x-1)$ ed entrambi non dovevano cambiar segno in punti diversi da quelli indicati.
Non occorre pensare ai cambiamenti di segno in $0, -1$: vengono da soli come conseguenza della disparità.