Codominio di funzioni logaritmiche
Ciao ragazzi, ho bisogno del vostro aiuto..!!
non riesco a capire come si trova il codominio delle funzione logaritmiche..
Ad esempio di y=ln(x-4)..
non voglio la soluzione per fare bella figura con la prof, ma voglio capire come si fa..
Grazie..
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Admin
Appunti di analisi matematica
Esercizi sullo studio di funzione
non riesco a capire come si trova il codominio delle funzione logaritmiche..
Ad esempio di y=ln(x-4)..
non voglio la soluzione per fare bella figura con la prof, ma voglio capire come si fa..
Grazie..
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Risposte
Il dominio di $ln(f(x))$ è $f(x) > 0$, quindi nel tuo caso $x-4 > 0 -> x > 4$
Il codominio invece è tutto R, la funzione va da - infinito a + infinito, pensa al grafico.
(Dopotutto la funzione logaritmo è l'inverso della funzione esponenziale, che ha come dominio $R$ e codominio $R_0+$
Il codominio invece è tutto R, la funzione va da - infinito a + infinito, pensa al grafico.
(Dopotutto la funzione logaritmo è l'inverso della funzione esponenziale, che ha come dominio $R$ e codominio $R_0+$
Non è però così facile determinare a priori il codominio di $ln[f(x)]$!! Poniamo ad esempio $f(x)=1-x^2$: in questo caso il codominio sarà $C=(-\infty;0]$... In particolare mi sembra (ma non ci ho pensato abbastanza, potrei sbagliarmi di grosso...) che il codominio di $ln[f(x)]$ è compreso tra $ln(m)$ e $ln(M)$, dove $m$ è il minimo assoluto di $f(x)$ in $f(x)>0$ e $M$ è il massimo assoluto di $f(x)$ in $f(x)>0$...
Forse bisogna anche ipotizzare che $f(x)$ sia continua...
Forse bisogna anche ipotizzare che $f(x)$ sia continua...
Per me oggi è stata la mia prima lezione sulle funzioni.. Gatto pensando al grafico mi si è illuminata una piccola luce.. la funzione ha solo un asindoto verticale, ciò vuol dire che il codominio è R...???
Provo a risponderti io... allora... il codomionio di $log(x)$ è $RR$, ma non perché ha solo un asintoto verticale... se pensi al grafico il dominio è rappresentato sull'asse delle x (i punti in prossimità dei quali la funzione esiste fanno parte del dominio, gli altri ne sono esclusi); il codominio è invece rappresentato dall'asse delle y; quindi se la funzione assume tutti i valori dell'asse delle y allora ha codominio $RR$.
Provo a farti alcuni esempi. Considera la funzione $f(x)=x^2$; tale funzione ha codominio $RR^+$; se invece consideri $g(x)=1/x$, essa avrà codominio $(-\infty,0)uu(0,+\infty)$... Tutto chiaro?
Se ti dessi, ad esempio, la funzione $h(x)=sin(x)$ sapresti trovare il codominio? e per $tg(x)$? e per le funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente)?
Prova a rispondere a queste domande... se c'è qualcosa che non ti è chiara, chiedi...
Provo a farti alcuni esempi. Considera la funzione $f(x)=x^2$; tale funzione ha codominio $RR^+$; se invece consideri $g(x)=1/x$, essa avrà codominio $(-\infty,0)uu(0,+\infty)$... Tutto chiaro?
Se ti dessi, ad esempio, la funzione $h(x)=sin(x)$ sapresti trovare il codominio? e per $tg(x)$? e per le funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente)?
Prova a rispondere a queste domande... se c'è qualcosa che non ti è chiara, chiedi...
@Maurer: Si per il codominio non c'è una regola precisa che io sappia, $RR$ era riferito alla funzione particolare proposta da lui 
@Christian: Il codominio in questo caso è $RR$ perchè la funzione va da - infinito a + infinito ed è continua, come hai visto dal grafico.
In generale non basta dire che c'è un asintoto verticale, perchè la funzione può non assumere particolari valori ($ln(x^2 + 1)$ per esempio non assume mai valori negativi) oppure può essere discontinua. In generale ripeto per il codominio il consiglio è sempre quella di rappresentarla con gli strumenti/metodi a tua disposizione (anche se poi una volta fatta un pò di pratica alcuni codomini li riconosci facilmente a occhio).
@Christian: Il codominio in questo caso è $RR$ perchè la funzione va da - infinito a + infinito ed è continua, come hai visto dal grafico.
In generale non basta dire che c'è un asintoto verticale, perchè la funzione può non assumere particolari valori ($ln(x^2 + 1)$ per esempio non assume mai valori negativi) oppure può essere discontinua. In generale ripeto per il codominio il consiglio è sempre quella di rappresentarla con gli strumenti/metodi a tua disposizione (anche se poi una volta fatta un pò di pratica alcuni codomini li riconosci facilmente a occhio
).
cerca,quando puoi,di esplicitare la x in funzione della y. $y=log(x)$ , esplicitando la x ottieni $e^y=x$ e da qui vedi che il codominio è $RR$ perchè la y può prendere tutti i valori. Così come $y=x^2$ ottieni $|x|=sqrty$ e quindi il dominio di quest'ultima,che poi è il codominio della tua funzione è $RR^+$. $y=log(x^2+1)$ ottieni $e^(x^2+1)=y$ e quindi $e^x^2=y/e$ e vedi che la x può assumere ugualmente qualsiasi valori appartenenti a $RR^+$
Ciao ragazzi mi aggancio a questo post per non aprirne uno identico. Non ho ben capito perchè il codominio di $ln(x-4)$ è tutto R.
Io in particolare ho la seguente funzione $y=ln(x-1)$. Il dominio è $x>1$. Quindi non dovrei considerare solo la parte di grafico con gli $x>1$ e determinare il codominio in questa parte? E quindi il codominio sarebbe R+...
Dove sbaglio?
Io in particolare ho la seguente funzione $y=ln(x-1)$. Il dominio è $x>1$. Quindi non dovrei considerare solo la parte di grafico con gli $x>1$ e determinare il codominio in questa parte? E quindi il codominio sarebbe R+...
Dove sbaglio?
Ciao!
Disegna il grafico della funzione,
ed osserva che si sviluppa nella regione di piano "strettamente a dx" della retta $a_v:x=1$:
in questa parte del diagramma,poi,
i punti sul grafico di f(d'ora in avanti lo indicherò con $G_f$)
avranno tutti coordinate (x,y) t.c. x assumerà appunto tutti i valori di $(1,+oo)$,
e le y in corrispondenza a ciascuna di tali x saranno vincolate a passare da
"infinitamente in basso e vicinissima ad $a_v$(ma senza toccarla mai..)"
a "infinitamente in alto ed infinitamente a destra".
Non sò poi se sai perchè nel tracciare $G_f$ "non dovrai mai staccare la penna dal foglio",
ma nel caso prendi al momento per buono che è cosi;
a questo punto osserva semplicemente in quale insieme variano le ordinate di tali punti di $G_f$,
senza alcuna esclusione proprio in virtù del fatto $G_f$ non dovrà mai "smaterializzarsi":
cosa ne deduci?
Saluti dal web.
Disegna il grafico della funzione,
ed osserva che si sviluppa nella regione di piano "strettamente a dx" della retta $a_v:x=1$:
in questa parte del diagramma,poi,
i punti sul grafico di f(d'ora in avanti lo indicherò con $G_f$)
avranno tutti coordinate (x,y) t.c. x assumerà appunto tutti i valori di $(1,+oo)$,
e le y in corrispondenza a ciascuna di tali x saranno vincolate a passare da
"infinitamente in basso e vicinissima ad $a_v$(ma senza toccarla mai..)"
a "infinitamente in alto ed infinitamente a destra".
Non sò poi se sai perchè nel tracciare $G_f$ "non dovrai mai staccare la penna dal foglio",
ma nel caso prendi al momento per buono che è cosi;
a questo punto osserva semplicemente in quale insieme variano le ordinate di tali punti di $G_f$,
senza alcuna esclusione proprio in virtù del fatto $G_f$ non dovrà mai "smaterializzarsi":
cosa ne deduci?
Saluti dal web.
Quindi il codominio della funzione ln è sempre tutto R a prescindere di ciò che sta nell'argomento?
No perchè,se ad esempio considerassi la $f(x)=log(e^x+1):RR->RR$,
in modo analogo a quanto fatto in precedenza potresti verificare che il "codominio" è $(0,+oo)$
(sarebbe più appropriato chiamarlo "insieme immagine"..):
per una risposta più generale alla tua domanda avrei però bisogno di sapere quali sono le tue conoscenze d'Analisi..
Saluti dal web.
in modo analogo a quanto fatto in precedenza potresti verificare che il "codominio" è $(0,+oo)$
(sarebbe più appropriato chiamarlo "insieme immagine"..):
per una risposta più generale alla tua domanda avrei però bisogno di sapere quali sono le tue conoscenze d'Analisi..
Saluti dal web.
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