Circonferenza esercizioo
Determinare per quali valori del parametro reale k l'equazione data rappresenta una circonferenza:(sono due esercizi distinti)
1)x^2 + y^2-2x+4ky+8k+1=0
2)x^2+y^2-2(2-k)x+8y+16=0
Macavo alla spiegazione e di conseguenza non ci sto capendo nullaaa
1)x^2 + y^2-2x+4ky+8k+1=0
2)x^2+y^2-2(2-k)x+8y+16=0
Macavo alla spiegazione e di conseguenza non ci sto capendo nullaaa
Risposte
Affinchè sia una circonferenza il raggio deve essere maggiore o uguale a 0
quindi dato che il raggio è uguale a $1/2$$sqrt(a^2+b^2-4*c)$
e nel caso dell'esercicio n. 1, a=-2, b=4k e c=8k+1
sostituendo: 16$k^2$-32k >= 0 quindi per k<=0 e per k>=2
Stessa cosa per l'esercizio n. 2
quindi dato che il raggio è uguale a $1/2$$sqrt(a^2+b^2-4*c)$
e nel caso dell'esercicio n. 1, a=-2, b=4k e c=8k+1
sostituendo: 16$k^2$-32k >= 0 quindi per k<=0 e per k>=2
Stessa cosa per l'esercizio n. 2
Ti dico la regola, poi tu applicherai. Un'equazione rappresenta una circonferenza quando sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) è di secondo grado nelle incognite x, y e manca il termine x*y
2) ci sono entrambi i termini con $x^2$ e $y^2$ ed hanno lo stesso coefficiente (anche come segno). Dividendo il tutto per quel coefficiente ottieni quella che è detta la forma canonica della circonferenza: $x^2+y^2+ax+by+c=0$, dove a, b, c possono avere qualsiasi valore
3) quando si cerca di calcolare il raggio al quadrato si deve ottenere un numero positivo (o nullo, nel qual caso la circonferenza ha raggio zero e si riduce al suo centro: di solito questo caso viene scartato). Le formule per questo calcolo sono le seguenti, dove $r$ è il raggio e $C(alpha, beta)$ il centro:
$a=-2 alpha$
$b=-2 beta$
$c=alpha^2+beta^2-r^2$
o, se preferisci vederle al contrario come conviene nel tuo caso,
$alpha=-a/2$
$beta=-b/2$
$r^2=alpha^2+beta^2-c$
Negli esercizi che proponi le prime due condizioni sono soddisfatte e sei già in forma canonica; ti è quindi sufficiente calcolare $alpha, beta, r^2$ ed imporre poi che quest'ultimo sia positivo.
Poiché hai perso la spiegazione, ti metto in guardia per un errore abbastanza frequente: prima di applicare le formule date controlla che sia rispettate le prime due condizioni e che il tutto sia in forma canonica, cioè che i termini di secondo grado abbiano coefficiente 1.
Ventura mi ha preceduto, ma lascio lo stesso la mia risposta, ritenendola più esauriente della sua.
1) è di secondo grado nelle incognite x, y e manca il termine x*y
2) ci sono entrambi i termini con $x^2$ e $y^2$ ed hanno lo stesso coefficiente (anche come segno). Dividendo il tutto per quel coefficiente ottieni quella che è detta la forma canonica della circonferenza: $x^2+y^2+ax+by+c=0$, dove a, b, c possono avere qualsiasi valore
3) quando si cerca di calcolare il raggio al quadrato si deve ottenere un numero positivo (o nullo, nel qual caso la circonferenza ha raggio zero e si riduce al suo centro: di solito questo caso viene scartato). Le formule per questo calcolo sono le seguenti, dove $r$ è il raggio e $C(alpha, beta)$ il centro:
$a=-2 alpha$
$b=-2 beta$
$c=alpha^2+beta^2-r^2$
o, se preferisci vederle al contrario come conviene nel tuo caso,
$alpha=-a/2$
$beta=-b/2$
$r^2=alpha^2+beta^2-c$
Negli esercizi che proponi le prime due condizioni sono soddisfatte e sei già in forma canonica; ti è quindi sufficiente calcolare $alpha, beta, r^2$ ed imporre poi che quest'ultimo sia positivo.
Poiché hai perso la spiegazione, ti metto in guardia per un errore abbastanza frequente: prima di applicare le formule date controlla che sia rispettate le prime due condizioni e che il tutto sia in forma canonica, cioè che i termini di secondo grado abbiano coefficiente 1.
Ventura mi ha preceduto, ma lascio lo stesso la mia risposta, ritenendola più esauriente della sua.
Grazie a tutti e due 
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