Circonferenza (55018)
:hi come lo risolvo?
Stabilisci per quali valori di k l'equazione
Stabilisci per quali valori di k l'equazione
[math]x^2+y^2+(1-2k)x-2ky+5k+3=0[/math]
rappresenta una circonferenza e in quale caso la circonferenza passa per l'origine.
Risposte
l'equazione generica della circonferenza e'
Condizioni necessarie affinche' una conica del tipo:
Rappresenti una circonferenza
sono:
d=e (ovvero il coefficiente di x^2 e y^2 dev'essere il medesimo)
Nell'esercizio, x^2 e y^2 hanno stesso coefficiente (1) e pertanto non dipende da k.
Inoltre il raggio (che e' dato da
Vediamo le corrispondenze:
nel fascio dell'esercizio:
Pertanto il raggio sara'
Che avra' significato solo quando il radicando sara' maggiore o uguale a zero (nel caso uguale a zero abbiamo il caso degenere in cui r=0 e quindi la circonferenza di raggio zero sara' un punto)
Quindi
Ovvero
Risolviamo con la formula (ridotta) la disequazione:
Pertanto la disequazione e' risolta per
Che sono gli intervalli in cui la curva rappresenta una circonferenza.
Per il passaggio dal centro degli assi, ricordando che se la circonferenza passa per l'origine soddisfa le coordinate (0,0) (e quindi sostituendo 0=o^2+o^2+a0+b0+c da cui c=0) sara' sufficiente porre
Ricontrolliamo i conti, sia io che tu ;)
Il procedimento e' corretto, comunque.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
A meno che tu non abbia il risultato...
Se cosi' fosse dimmi se e' corretto, magari ho fatto un errore di conto..
[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]
Condizioni necessarie affinche' una conica del tipo:
[math] dx^2+ey^2+ax+by+c=0 [/math]
Rappresenti una circonferenza
sono:
d=e (ovvero il coefficiente di x^2 e y^2 dev'essere il medesimo)
Nell'esercizio, x^2 e y^2 hanno stesso coefficiente (1) e pertanto non dipende da k.
Inoltre il raggio (che e' dato da
[math] r= \sqrt{x_C^2+y_C^2-c} [/math]
, dove x e y sono le coordinate del centro (ovvero [math] - \frac{a}{2} , - \frac{b}{2} [/math]
)dovra' esistere (ovvero la radice dovra' esistere quindi il radicando dovra' essere maggiore o uguale a zero)Vediamo le corrispondenze:
nel fascio dell'esercizio:
[math] a=1-2k \\ b=-2k \\ c=5k+3 [/math]
Pertanto il raggio sara'
[math] r= \sqrt{ \(- \frac{1-2k}{2} \)^2+ \(- \frac{-2k}{2} \)^2-(5k+3)} [/math]
Che avra' significato solo quando il radicando sara' maggiore o uguale a zero (nel caso uguale a zero abbiamo il caso degenere in cui r=0 e quindi la circonferenza di raggio zero sara' un punto)
Quindi
[math] \frac{1-4k+4k^2}{4}+k^2-5k-3 \ge 0 [/math]
Ovvero
[math] 1-4k+4k^2+4k^2-20k-12 \ge 0 \to 8k^2-24k-11 \ge 0[/math]
Risolviamo con la formula (ridotta) la disequazione:
[math] x_{1,2}= \frac{12 \pm \sqrt{144+88}}{8} = \frac{12 \pm 2 \sqrt{58}}{8} \\ = \frac{6 \pm \sqrt{58}}{4} [/math]
Pertanto la disequazione e' risolta per
[math] k \le \frac{6- \sqrt{58}}{4} \cup k \ge \frac{6+ \sqrt{58}}{4} [/math]
Che sono gli intervalli in cui la curva rappresenta una circonferenza.
Per il passaggio dal centro degli assi, ricordando che se la circonferenza passa per l'origine soddisfa le coordinate (0,0) (e quindi sostituendo 0=o^2+o^2+a0+b0+c da cui c=0) sara' sufficiente porre
[math] 5k+3=0 \to k=- \frac35 [/math]
Ricontrolliamo i conti, sia io che tu ;)
Il procedimento e' corretto, comunque.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
A meno che tu non abbia il risultato...
Se cosi' fosse dimmi se e' corretto, magari ho fatto un errore di conto..
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