Circonferenza

[francescodd1]

In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri e' 10. Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4 e che esiste una retta che ne interseca almeno 4.

1) per il primo ho pensato di dimostrare che prese tre circonferenze sul lato di 1 cm il loro perimetro era sempre minore di 10.

quindi ho preso le tre circonferenze con raggio il piu grande possibile ovvero prima circonferenza r1=1/2 r2 e r3 dovevano essere piu piccoli di 1/2(perche non devono essere coincidenti le circonferenze). comunque io ho considera per assurdo che tutte e tre abbiano raggio=1/2 quindi il perimetro delle tre circonferenze era uguale a S=2$\pi$(1/2+1/2+1/2) che e' minore di 10. è esatto? è un po difficile da leggere

2)per il secondo non saprei

grazie ciao

[G.D.5]

Forse non centra nulla... ma cosa intendi per "In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze"? Le circonferenze devono giacere interamente nel quadrato? Possono essere tangenti ai lati? Possono essere secanti, esterni e tangenti tra loro, o una cosa esclude l'altra?

[francescodd1]

l' esercizio è preso dalla normale. io ho supposto che le circonferenze possono essere al massimo tangenti internamente al quadrato. le circonferenze tra di loro possono essere in qualsiasi relazione. penso che sia cosi ciao

[cozzataddeo]

Per il primo punto è sufficiente supporre che tutte e 3 le circonferenze abbiano diametro pari a 1 cm (caso non ammissibile ma che costituisce una maggiorazione di qualunque combinazione ammissibile di 3 circonferenze contenute nel quadrato). In tal caso la somma dei perimetri è

$P = \pi + \pi + \pi = 3\pi < 10$

per cui le circonferenze sono almeno 4.

Per il secondo punto non saprei...

[maurer]

Credo che la condizione limite per cui quattro circonferenze disposte in un quadrato non possano essere tagliate da una stessa retta sia quella della figura seguente... Naturalmente andrebbe dimostrato!

[asvg]noaxes();
line([4,4],[4,-4]);
line([4,-4],[-4,-4]);
line([-4,-4],[-4,4]);
line([-4,4],[4,4]);
circle([2,2],2);
circle([2,-2],2);
circle([-2,-2],2);
circle([-1.313708,1.313708],2.686291);
line([-1.313708,1.313708],[0.5857864,-0.5857864]);
text([-0.8,0.8],"r4",above);
line([-2,-2],[0,-2]);
text([-1,-2],"r1",below);
line([2,-2],[0,-2]);
text([1,-2],"r2",above);
line([2,2],[2,0]);
text([2,1],"r3",right);[/asvg]

In questo caso, però, la somma dei perimetri (essendo $r_1=r_2=r_3=1/4$ e $r_4=(7-4sqrt(2))/4$ è $2\pi<10$. Si tratta quindi o di aumentare il raggio di qualcuna delle circonferenze rendendo possibile l'esistenza della retta che le taglia tutte e quattro, oppure di aggiungere delle altre circonferenze in modo da portare la somma a 10.
Il problema è che anche in questo caso bisogna far vedere che l'aggiunta delle circonferenze rende possibile l'esistenza della retta...
Da questo punto non ho più idee per proseguire il ragionamento... e a dirla tutta non sono nemmeno sicuro che queste elucubrazioni siano corrette...