Circonferenza (249778) (249780)
qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come risolvere il punto nel metodo piu semplice grazie mille.
a) Scrivi l'equazione della circonferenza che è tangente nel punto A(0;2) alla retta 3x−4y+8=0 e ha il centro sulla retta di equazione y=−2x+3.
b) Tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante trova quelle che, intersecando la circonferenza, determinano una corda lunga (5√2)/2.
l'equazione delle circonferenza è questa: x^2+y^2−3x−4=0.
e il risultato del B sono
y=−x+4 e y=−x−1
a) Scrivi l'equazione della circonferenza che è tangente nel punto A(0;2) alla retta 3x−4y+8=0 e ha il centro sulla retta di equazione y=−2x+3.
b) Tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante trova quelle che, intersecando la circonferenza, determinano una corda lunga (5√2)/2.
l'equazione delle circonferenza è questa: x^2+y^2−3x−4=0.
e il risultato del B sono
y=−x+4 e y=−x−1
Risposte
Ciao nss,
la risposta al punto a) è qui: forum.skuola.net/matematica/geometria-analitica-249598.html . Se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure.
Per quanto riguarda il punto b) si può osservare che dall'equazione della circonferenza trovata nel punto a):
abbiamo
Cerchiamo di vedere se esiste un legame particolare fra
Questo significa che possiamo cercare il quadrato inscritto alla circonferenza e usare, come diametri di riferimento, le rette
A questo punto possiamo intersecare le rette
La retta passante per
Mi sono soffermato sui punti in cui penso sia più facile incontrare difficoltà, altrimenti soffermandosi su tutto diventa lunghissimo. Se però non ti sono chiari alcuni passaggi, chiedi pure che te li spiego ;)
la risposta al punto a) è qui: forum.skuola.net/matematica/geometria-analitica-249598.html . Se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure.
Per quanto riguarda il punto b) si può osservare che dall'equazione della circonferenza trovata nel punto a):
[math](x- \frac{3}{2} )^2 + y^2 = \frac{25}{4}
[/math]
[/math]
abbiamo
[math]r^2 = \frac{25}{4} \\
[/math]
[/math]
Cerchiamo di vedere se esiste un legame particolare fra
[math]\frac{5 \sqrt{2}}{2}[/math]
e [math]r^2[/math]
:[math]
r^2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \\
r^2 = \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{2}} \\
r^2 = \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \\
r^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2} }{2} \\
2r^2 = \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2} }{2} \\
r \sqrt{2} = \frac{5 \sqrt{2} }{2}
[/math]
r^2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \\
r^2 = \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5}{2 \sqrt{2}} \\
r^2 = \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \\
r^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2} }{2} \\
2r^2 = \frac{5 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2} }{2} \\
r \sqrt{2} = \frac{5 \sqrt{2} }{2}
[/math]
[math]r \sqrt{2}[/math]
sembra avere a che fare con un quadrato, infatti se ci riflettiamo, un quadrato inscritto a una circonferenza di lato [math]r \sqrt{2}[/math]
ha la diagonale uguale a [math]r \sqrt{2} \sqrt{2} = 2r[/math]
.Questo significa che possiamo cercare il quadrato inscritto alla circonferenza e usare, come diametri di riferimento, le rette
[math]x = \frac{3}{2}[/math]
e [math]y = 0[/math]
.A questo punto possiamo intersecare le rette
[math]x = \frac{3}{2}[/math]
e [math]y = 0[/math]
con la circonferenza, trovando i punti:[math]
A = (-1, 0) \\
B = (4, 0) \\
C = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \\
D = \left( \frac{3}{2}, -\frac{5}{2} \right)
[/math]
A = (-1, 0) \\
B = (4, 0) \\
C = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \\
D = \left( \frac{3}{2}, -\frac{5}{2} \right)
[/math]
La retta passante per
[math]A[/math]
e [math]D[/math]
e la retta passante per [math]B[/math]
e [math]C[/math]
sono rispettivamente le rette [math]y = -x - 1[/math]
e [math]y = -x + 4[/math]
che cercavamo.Mi sono soffermato sui punti in cui penso sia più facile incontrare difficoltà, altrimenti soffermandosi su tutto diventa lunghissimo. Se però non ti sono chiari alcuni passaggi, chiedi pure che te li spiego ;)
sembra complicato il ragionamento della parte iniziale.
ho trovato giorni fa un link su internet che risolveva lo stesso punto del problema,sembrava più semplice di questo. quindi,potete spiegare cosa fanno in questo sito: https://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110105120049AAB8NKw per favore?
ho capito che trovato la distanza tra il raggio e e la corda con il teorema di pitagora,poi non capisco come procedono.
Aggiunto 2 secondi più tardi:
sembra complicato il ragionamento della parte iniziale.
ho trovato giorni fa un link su internet che risolveva lo stesso punto del problema,sembrava più semplice di questo. quindi,potete spiegare cosa fanno in questo sito: https://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110105120049AAB8NKw per favore?
ho capito che trovato la distanza tra il raggio e e la corda con il teorema di pitagora,poi non capisco come procedono.
ho trovato giorni fa un link su internet che risolveva lo stesso punto del problema,sembrava più semplice di questo. quindi,potete spiegare cosa fanno in questo sito: https://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110105120049AAB8NKw per favore?
ho capito che trovato la distanza tra il raggio e e la corda con il teorema di pitagora,poi non capisco come procedono.
Aggiunto 2 secondi più tardi:
sembra complicato il ragionamento della parte iniziale.
ho trovato giorni fa un link su internet che risolveva lo stesso punto del problema,sembrava più semplice di questo. quindi,potete spiegare cosa fanno in questo sito: https://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110105120049AAB8NKw per favore?
ho capito che trovato la distanza tra il raggio e e la corda con il teorema di pitagora,poi non capisco come procedono.
Eccomi :)
I due procedimenti non sono molto diversi. Quello che ti ho proposto l'ho scelto fra le possibili soluzioni perché rendeva immediata la risoluzione del successivo punto c) che avevi postato qui: https://forum.skuola.net/matematica/geometria-analitica-249598.html ;)
Ti consiglio di fare dei disegni di quello che succede, altrimenti resta più difficile collegare la geometria alle equazioni. Te ne allego uno così verifichi se hai fatto bene.
Attenzione! Quello che hai scritto riguardante la distanza fra il raggio e la corda è sbagliato: la distanza fra raggio e corda è 0. La risoluzione proposta dal link che mi hai lasciato calcola la distanza fra
Per il calcolo successivo ha usato la formula della distanza punto retta:
dove
e
Entrambe le soluzioni vanno bene: si arriva al risultato senza troppi calcoli.
Nella soluzione che ti ho proposto il punto c) è praticamente già risolto, con quest'altra soluzione sarà un po' più lungo. Scegli tu quella che preferisci, l'importante è capire cosa succede. :)
Per quanto riguarda il fatto che ti sembra complicato il ragionamento della parte iniziale: a quale punto particolare ti riferisci?
Qui di seguito provo a spiegarti i passaggi, sperando di indovinare il punto che non ti è chiaro.
La prima equazione è l'equazione della circonferenza
che penso tu conosca, ma se non è così dimmi che si trova un'alternativa.
Seconda equazione:
I passaggi successivi non sono magia nera: cerchiamo di scrivere
Più in dettaglio, passaggio per passaggio, facciamo questo:
-
- moltiplichiamo per
- razionalizzazione seconda frazione (moltiplichiamo e dividiamo per
- raccogliamo
- moltiplichiamo per 2 a sinistra e a destra
- radice quadrata a sinistra e a destra
Poi usiamo la formula, anche questa è una formula nota che penso tu conosca, ma se non è così chiedi che troviamo una soluzione alternativa:
Nel nostro caso
Se hai altri dubbi chiedi pure, cerca di essere precisa nella domanda, evitando cose come "sembra complicato il ragionamento della parte iniziale" perché non capisco che cosa è complicato, né quale passaggio della parte iniziale non hai capito". Dicendo per esempio: "non capisco perché scriviamo
Ciao :hi
I due procedimenti non sono molto diversi. Quello che ti ho proposto l'ho scelto fra le possibili soluzioni perché rendeva immediata la risoluzione del successivo punto c) che avevi postato qui: https://forum.skuola.net/matematica/geometria-analitica-249598.html ;)
Ti consiglio di fare dei disegni di quello che succede, altrimenti resta più difficile collegare la geometria alle equazioni. Te ne allego uno così verifichi se hai fatto bene.
Attenzione! Quello che hai scritto riguardante la distanza fra il raggio e la corda è sbagliato: la distanza fra raggio e corda è 0. La risoluzione proposta dal link che mi hai lasciato calcola la distanza fra
[math]C[/math]
, centro della circonferenza, e la corda.Per il calcolo successivo ha usato la formula della distanza punto retta:
[math]d(C, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]
dove
[math]C = (x_0, y_0)[/math]
è il centro della circonferenzae
[math]r : \ \ x+y-k = 0[/math]
è l'equazione del fascio improprio che contiene le rette che dobbiamo trovare.Entrambe le soluzioni vanno bene: si arriva al risultato senza troppi calcoli.
Nella soluzione che ti ho proposto il punto c) è praticamente già risolto, con quest'altra soluzione sarà un po' più lungo. Scegli tu quella che preferisci, l'importante è capire cosa succede. :)
Per quanto riguarda il fatto che ti sembra complicato il ragionamento della parte iniziale: a quale punto particolare ti riferisci?
Qui di seguito provo a spiegarti i passaggi, sperando di indovinare il punto che non ti è chiaro.
La prima equazione è l'equazione della circonferenza
[math](x- \alpha )^2 + (y- \beta )^2 = r^2
[/math]
[/math]
che penso tu conosca, ma se non è così dimmi che si trova un'alternativa.
Seconda equazione:
[math]r^2[/math]
è quindi già presente nell'equazione ed è uguale a [math]\frac{25}{4}[/math]
I passaggi successivi non sono magia nera: cerchiamo di scrivere
[math]r^2 = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot qualcosa[/math]
.Più in dettaglio, passaggio per passaggio, facciamo questo:
-
[math]\frac{25}{4}[/math]
lo possiamo scrivere come [math]\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}[/math]
;- moltiplichiamo per
[math]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/math]
. Lo possiamo fare perché è come moltiplicare per 1: l'equazione resta valida;- razionalizzazione seconda frazione (moltiplichiamo e dividiamo per
[math]\sqrt{2}[/math]
);- raccogliamo
[math]\frac{1}{2}[/math]
dalla frazione a destra- moltiplichiamo per 2 a sinistra e a destra
- radice quadrata a sinistra e a destra
Poi usiamo la formula, anche questa è una formula nota che penso tu conosca, ma se non è così chiedi che troviamo una soluzione alternativa:
[math]d = l \sqrt{2}[/math]
dove [math]d[/math]
è la diagonale del quadrato e [math]l[/math]
è il lato del quadrato.Nel nostro caso
[math]l = r \sqrt{2}[/math]
Se hai altri dubbi chiedi pure, cerca di essere precisa nella domanda, evitando cose come "sembra complicato il ragionamento della parte iniziale" perché non capisco che cosa è complicato, né quale passaggio della parte iniziale non hai capito". Dicendo per esempio: "non capisco perché scriviamo
[math]r^2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}[/math]
" oppure "come abbiamo fatto a intersecare le rette con la circonferenza per trovare i punti [math]A[/math]
, [math]B[/math]
, [math]C[/math]
e [math]D[/math]
?". In questo modo evito di riscrivere la Divina Commedia per risponderti, e tu risparmi tempo evitando di leggere la Divina Commedia per capire magari un singolo passaggio ;)Ciao :hi
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