Geometria analitica (249598)

[nss]

Qualcuno gentilmente potrebbe svolgere questo esercizio,l'ho provato a fare ma non mi viene e ho provato a cercare su internet la soluzione però non ci riesco a capire molto,quindi chiedo di aiutarmi in questo esercizio per favore.

a) Scrivi l'equazione della circonferenza che è tangente nel punto A(0;2) alla retta 3x−4y+8=0 e ha il centro sulla retta di equazione y=−2x+3.
b) Tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante trova quelle che, intersecando la circonferenza, determinano una corda lunga 52√/2.
c) Trova il perimetro del rettangolo che ha i vertici nei punti di intersezione delle due rette trovate nel punto b)
d) Dal punto P(4;−5) conduci le tangenti alla circonferenza, trova le loro equazioni, le coordinate dei punti E ed F di tangenza e il perimetro del triangolo EFP.
soluzioni:
a) x^2+y^2−3x−4=0.
b) y=−x+4 e y=−x−1.
c)10√2.
d) 3x+4y+2=0,x=4
E(0,−2) F(4,0) perimetro 2(5+√5) del triangolo EFP.

[nRT]

Ciao,
per ogni esercizio scrivi una tua possibile soluzione evidenziando i tuoi dubbi, così ti possiamo aiutare a colmare le lacune, oltre che semplicemente a svolgere gli esercizi. :)
Cerca di capire che cosa succede geometricamente, fatti un bel disegno di rette, punti e circonferenza per capire che cosa stai facendo.

Svolgiamo per esempio l'esercizio al punto a).
I dati che abbiamo sono:
il punto

[math]A=(0,2)[/math]

;
la retta

[math]3x-4y+8=0[/math]

tangente alla circonferenza;
la retta

[math]y=-2x+3[/math]

sulla quale giace il centro della circonferenza.

Obiettivo: trovare la circonferenza descritta dal problema.

1) Cosa utile da sapere: una retta tangente alla circonferenza è sempre perpendicolare al raggio che unisce il punto di tangenza al centro.
Nel nostro caso la retta che passerà per

[math]A[/math]

e per il centro della circonferenza sarà la retta perpendicolare a

[math]3x-4y+8=0[/math]

passante per

[math]A=(0,2)[/math]

.
Troviamo la retta

[math]y=\frac{3}{4}x+2[/math]

2) A questo punto sappiamo che il centro giace sia sulla retta

[math]y=\frac{3}{4}x+2[/math]

sia sulla retta

[math]y=-2x+3[/math]

. Ogni volta che abbiamo un punto che soddisfa più di una equazione, significa che soddisfa il sistema di equazioni.
Svolgiamo quindi il sistema di equazioni (puoi usare il metodo che preferisci):

[math]
\begin{cases}
y=-2x+3\\
y=\frac{3}{4}x+2
\end{cases}
[/math]

e troviamo il punto di intersezione delle due rette, che è il centro della circonferenza

[math]C=(\frac{3}{2}, 0)[/math]

3) Che cosa ci manca per determinare la circonferenza? Una volta che abbiamo il centro, ci basta trovare il raggio ed è fatta. Il raggio si trova in modo semplice perché possiamo misurare la distanza tra i 2 punti:

[math]A[/math]

e

[math]C[/math]

. La distanza fra

[math]A[/math]

e

[math]C[/math]

la possiamo calcolare con il teorema di Pitagora. Anzi, dal momento che l'equazione della circonferenza la si può scrivere con il raggio al quadrato, non ci disturbiamo neanche a mettere la radice e calcoliamo direttamente il quadrato della distanza:

[math](\frac{3}{2})^2+2^2=\frac{25}{4}[/math]

Ora abbiamo tutto quello che ci serve. L'equazione della circonferenza sarà dunque:

[math](x-\frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{25}{4}[/math]

(Se poi vuoi svolgere i quadrati trovi l'equazione data nella soluzione).
Spero che ti sia stato d'aiuto. Se hai dei dubbi chiedi pure. Gli altri esercizi si svolgono in modo simile.
Ciao :hi

[nss]

potrebbe per favore mostrarmi come si fa il punto b.
la corda misura comunque (5√2)/2.