Circonferenza

[angela.russotto]

Quesito:Dato un triangolo ABC,siano AH e BK,rispettivamente,le altezze del triangolo relative a BC e ad AC. Come si dimostra che A,B,H,K appartengono alla stessa circonferenza?
Ragionamento: $ hat(AKB) $ e $ hat(AHB) $ sono retti,potrei immaginarli come angoli alla circonferenza che insistono sulla semicirconferenza AB; ma non mi viene in mente nessun teorema che mi permetta di asserire con certezza che A,B,H,K si trovino sulla stessa circonferenza.
Chiamando L il punto medio di AB,potrei dimostrare che KL,AL,HL,BL sono congruenti dimostrando la congruenza degli angoli alla base dei vari triangoli isosceli (AKL,LKH,LBH); ma credo che tutto ciò non si possa fare.

[@melia]

L'idea è corretta, devi solo prendere alcuni accorgimenti.
Puoi considerare la circonferenza per A, B, K (per tre punti passa una e una sola circonferenza). Poiché l'angolo in K è retto, allora AB è il diametro della circonferenza. Dato il segmento AB, esiste ed è unico il suo punto medio L, che sarà anche il centro della circonferenza per A, B, K.
Considera la circonferenza per A, B, H, poiché in H c'è un angolo retto, allora AB è il diametro di tale circonferenza, inoltre AB ha come punto medio L, che esiste ed è unico.
Le due circonferenze coincidono avendo lo stesso centro e lo stesso raggio.

[angela.russotto]

In effetti era molto semplice,grazie mille melia.