Circonferenza
Scrivi l'equazione delle circonferenze che soddisfano le seguenti condizioni:
a) Ha centro sulla retta $x-2y+3=0$, raggio= $3sqrt2$ e passa per l'origine.
b) Passa per i punti A(0,2) e B(3,1) ed è tangente in A alla retta di coefficiente angolare uguale a $1/2$
Mi potreste aiutare? Purtroppo è da molto che non tratto questo argomento e devo aiutare un cugino.
Grazie mille.
a) Ha centro sulla retta $x-2y+3=0$, raggio= $3sqrt2$ e passa per l'origine.
b) Passa per i punti A(0,2) e B(3,1) ed è tangente in A alla retta di coefficiente angolare uguale a $1/2$
Mi potreste aiutare? Purtroppo è da molto che non tratto questo argomento e devo aiutare un cugino.
Grazie mille.
Risposte
Ciao, in base al regolamento non si svolgono esercizi completi. Provo però a darti qualche suggerimento:
a) Se il raggio è $3sqrt(2)$ e passa per l'origine, allora il centro sarà a distanza $3sqrt(2)$ dall'origine stessa. Tu però sai anche che il centro sta su quella retta, quindi ti basta trovare qual è quel punto che appartiene alla retta e dista $3sqrt(2)$ dall'origine. Quando hai il centro è fatta: ti basta applicare la formula \[
\left(x-x_C\right)^2 + \left(y-y_C\right)^2 = r^2
\]
b) Imposta le condizioni di passaggio per i due punti $A$ e $B$, cioè imponi che le coordinate dei due punti soddisfino l'equazione della circonferenza. Poi scrivi la retta che passa per $A$ e ha quel coefficiente angolare con la formula \[
y-y_0 = m\left(x-x_0\right)
\] Quindi metti a sistema retta e circonferenza e imponi che la soluzione sia unica (cioè che valga $Delta = 0$).
Facci sapere come va...
a) Se il raggio è $3sqrt(2)$ e passa per l'origine, allora il centro sarà a distanza $3sqrt(2)$ dall'origine stessa. Tu però sai anche che il centro sta su quella retta, quindi ti basta trovare qual è quel punto che appartiene alla retta e dista $3sqrt(2)$ dall'origine. Quando hai il centro è fatta: ti basta applicare la formula \[
\left(x-x_C\right)^2 + \left(y-y_C\right)^2 = r^2
\]
b) Imposta le condizioni di passaggio per i due punti $A$ e $B$, cioè imponi che le coordinate dei due punti soddisfino l'equazione della circonferenza. Poi scrivi la retta che passa per $A$ e ha quel coefficiente angolare con la formula \[
y-y_0 = m\left(x-x_0\right)
\] Quindi metti a sistema retta e circonferenza e imponi che la soluzione sia unica (cioè che valga $Delta = 0$).
Facci sapere come va...
Il centro: $(-a/2, -b/2)$, dove per $a e b$ considero i coefficienti delle variabili della equazione della retta?
No, non c'entra. Quello che dici tu sarebbe come trovare il centro di una conferenza della quale hai l'equazione \[
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
\] Invece tu devi prendere un generico punto della retta $x-2y+3=0$, che puoi scrivere come $(2y-3, y)$, e imporre che la sua distanza dall'origine sia pari a $3sqrt(2)$. Così ottieni il centro.
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
\] Invece tu devi prendere un generico punto della retta $x-2y+3=0$, che puoi scrivere come $(2y-3, y)$, e imporre che la sua distanza dall'origine sia pari a $3sqrt(2)$. Così ottieni il centro.
Sarà l'ansia ma non ricordo proprio come si deve procedere.
Dimostro sempre di tentare la risoluzione dei problemi, quindi non appartengo alla schiera dei "copia e incolla".
Quindi se puoi farmi vedere il procedimento completo, te ne sarei grato.
Grazie.
Dimostro sempre di tentare la risoluzione dei problemi, quindi non appartengo alla schiera dei "copia e incolla".
Quindi se puoi farmi vedere il procedimento completo, te ne sarei grato.
Grazie.
Impongo che : $3sqrt2=(x-2y+3)/sqrt5$ ? dove x e y sono le coordinate generiche del centro della circonferenza?
No, purtroppo non ci siamo. Devi imporre $OC = 3sqrt(2)$, quindi \[
\sqrt{\left(2y-3\right)^2 + y^2} = 3\sqrt{2}
\] Svolgendo i calcoli si trova \[
y = -\frac{3}{5} \quad\vee\quad y = 3
\] Quindi ci sono due possibilità per il centro: $(-21/5, -3/5)$ oppure $(3, 3)$. A questo punto applichi la formula che ti avevo scritto prima e trovi le due possibili circonferenze. Questo è il risultato:
\sqrt{\left(2y-3\right)^2 + y^2} = 3\sqrt{2}
\] Svolgendo i calcoli si trova \[
y = -\frac{3}{5} \quad\vee\quad y = 3
\] Quindi ci sono due possibilità per il centro: $(-21/5, -3/5)$ oppure $(3, 3)$. A questo punto applichi la formula che ti avevo scritto prima e trovi le due possibili circonferenze. Questo è il risultato:
Propongo un aiuto per Sentinel sul secondo esercizio
Ti scrivo in modo più esteso le stesse cose che ti ha suggerito Minomic, che saluto
Anzitutto devi trovare la equazione della retta. Sai che ha coefficiente angolare 1/2
$y=1/2 x + q$
e che passa per A(0,2)
$2=q$
in definitiva
$y=1/2 x +2$
scrivi stavolta la equazione della circonferenza nella forma
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
imponi il passaggio per A(0,2) e B(3,1) da solo... scrivi le due equazioni che ottieni! Hai 2 equazioni dove adesso le incognite sono a,b,c. Per il momento le tieni da parte, ti serviranno dopo
Poi imponiamo la terza condizione.. la tangenza... come ti suggeriva Minomic metti a sistema la circonferenza e la retta
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
$y=1/2 x +2$
sostituisci la seconda nella prima... ottieni una equazione nella incognita x di secondo grado... le sue soluzioni sarebbero le coordinate x dei punti di intersezione tra circonferenza e retta... DEVE essercene uno solo... allora qui imponi il DELTA=0 e ottieni una terza equazione nelle incognire a,b,c che metti a sistema con le altre due ottenute in precedenza. In definitiva ottieni un sistema di 3 equazioni e 3 incognite che risolto ti fornisce a,b,c
Ti scrivo in modo più esteso le stesse cose che ti ha suggerito Minomic, che saluto
Anzitutto devi trovare la equazione della retta. Sai che ha coefficiente angolare 1/2
$y=1/2 x + q$
e che passa per A(0,2)
$2=q$
in definitiva
$y=1/2 x +2$
scrivi stavolta la equazione della circonferenza nella forma
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
imponi il passaggio per A(0,2) e B(3,1) da solo... scrivi le due equazioni che ottieni! Hai 2 equazioni dove adesso le incognite sono a,b,c. Per il momento le tieni da parte, ti serviranno dopo
Poi imponiamo la terza condizione.. la tangenza... come ti suggeriva Minomic metti a sistema la circonferenza e la retta
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
$y=1/2 x +2$
sostituisci la seconda nella prima... ottieni una equazione nella incognita x di secondo grado... le sue soluzioni sarebbero le coordinate x dei punti di intersezione tra circonferenza e retta... DEVE essercene uno solo... allora qui imponi il DELTA=0 e ottieni una terza equazione nelle incognire a,b,c che metti a sistema con le altre due ottenute in precedenza. In definitiva ottieni un sistema di 3 equazioni e 3 incognite che risolto ti fornisce a,b,c
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo