Chiarimento sull'integrazione per parti

[FemtoGinny]

Buonasera forum! So che oggi sto spammando un pò troppo ma più aumenta il carico di esercizi più aumentano i miei dubbi.. ecco, nel caso dell'integrazione per parti, che credo di aver assimilato abbastanza bene, c'è un unico dubbio che mi tormenta... vi faccio vedere un esercizio a titolo esemplificativo... devo integrare $ int_( )^( ) arctg(x) dx $ integrando per parti arrivo al passaggio $ xarctg(x)-int_( )^( ) x*1/(1+x^2) dx $ a questo punto lascio da parte $ xarctg(x) $ e mi preoccupo dell'integrale rimanente che integro di nuovo per parti, ottenendo come risultato finale $ 1/2log|1+x^2|+c $ ..a questo punto non capisco (e so che e un dubbio stupiderrimo) se il risultato definitivo dell'esercizio ossia dell'integrazione è soltanto $ 1/2log|1+x^2|+c $ oppure le due parti unite (il risultato che prima ho lasciato da parte e quello nuovo) cioè $ xarctg(x) + 1/2log|1+x^2|+c $ ...grazie mille

[@melia]

A me sembra che la seconda parte sia stata integrata per sostituzione, però se dici che ci sei riuscita per parti...

$int_( )^( ) arctan(x) dx=xarctan(x)-int_( )^( ) x*1/(1+x^2) dx = xarctan(x)-1/2log|1+x^2|+c$

La soluzione finale è quindi $xarctan(x) - 1/2log|1+x^2|+c$,
infatti facendone la derivata ottieni proprio $arctanx$

[FemtoGinny]

Yeah! Adesso e chiaro thanks!